2.双曲线的标准方程

关于2a的讨论 关于 的讨论
M点轨迹是双曲线 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时， 点轨迹是双曲线 、 其中当|MF 2a时 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 点轨迹是双曲线 中靠近F 的一支； 2a时 中靠近 2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 点 轨迹是双曲线中靠近F 的一支. 轨迹是双曲线中靠近 1的一支 M点轨迹是在直 M 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时， 点轨迹是在直 、 上且以F 为端点向外的两条射线。 线F1F2上且以 1和F2为端点向外的两条射线。 3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在 、 点的轨迹不存在 4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M点的轨迹是线段F1F2 、 2a=0时 点的轨迹是线段F 点的轨迹是线段 的垂直平分线 。
解：设点P的坐标为( x p , y p ), 则有 6 2 − = 1, 即x = y p + 9 (1) 9 16 16 由焦点坐标分别为F1 (−5,0), F2 (5,0), 得
2 p
→
→
x2 p
y2 p
PF1 = (−5 − x p ,− y p ), PF2 = (5 − x p ,− y p )
y2 x2 − =1 4 5
2 y2 y2 x x + = 1(m > n > 0 ) 与双曲线 2 − 2 = 1(a, b > 0) 2、已知椭圆 m n 、 a b
2
有相同的焦点F 为两条曲线的交点， 有相同的焦点 1、F2，P为两条曲线的交点，求 为两条曲线的交点 的值. |PF1|⋅|PF2|的值 ⋅ 的值 3、已知F1、F2为 、已知 P •F1 M •F2
2 2
2
解：不妨设P点在双曲线的右支上， 设 | PF1 |= a, | PF2 |= b, a −b = 8 根据题意，有 2 , 2 a + b = 100 解得 ab = 18 从而 S = 9.
则关于x、 的方程 的方程(1例3、k > 1,则关于 、y的方程 k )x2+y2= 1 - k2 、 则关于 所表示的曲线是
y
（2）建系如图，设爆炸点 P(x，y)，则 ）建系如图， ， ， |PA|-|PB|=340×4=1360 ×
•
P ( x, y )
O
•
又 | AB | = 2000 ，
∴ 2a = 1360 ，2c = 2000 ， ∴ a = 680 ，c = 1000 ，a 2 = 462400
b 2 = c 2 − a 2 = 537600 .
作业： 1.练习册 : A − 4, B − 1,2 2.堂堂练： 6， 1- 8 3.走进新课程：
四、练习与习题： 练习与习题：
y2 x + =1 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 有共同的焦点， 有共同的焦点，且与
2
椭圆相交，一个交点 的纵坐标为 的纵坐标为4，求双曲线的方程. 椭圆相交，一个交点A的纵坐标为 ，求双曲线的方程
(1) K=0时,直线 ±2. 直线y=± 时 直线 (2) k=1时,是x2+y2=4,圆. 时是 圆 (3)0<k<1时,是焦点在 轴上的椭圆 是焦点在x轴上的椭圆 时 是焦点在 轴上的椭圆. (4) k>1时,是焦点在 轴上的椭圆 是焦点在y轴上的椭圆 时 是焦点在 轴上的椭圆. (5)k<0时,焦点在 轴上的双曲线 焦点在y 时 焦点在 轴上的双曲线.
∆F1 PF2
； .
③*设P为双曲线上一点，且∠ F1PF2=120°，求S 为双曲线上一点， 设 为双曲线上一点 °
∆F1 PF2
x2 y2 习题：已知双曲线 − = 1的两焦点分别为 F1 , F2 , P为双曲线 16 9 上一点，且∠F1 PF2 =
→
→
→
→
π
2
, 求∆F1 PF2的PF2 ||= 2a; 由∠F1 PF2 =
π
2
，有 | PF1 | + | PF2 | = (2c)
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在 轴上的双曲线 、焦点在 轴上的椭圆 、焦点在y轴上的双曲线 C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在 轴上的双曲线 、焦点在 轴上的椭圆 、焦点在x轴上的双曲线
例4、已知方程 2+y2=4(k∈R),讨论 、已知方程kx ∈ 讨论 k取不同实数时方程所表示的曲线 取不同实数时方程所表示的曲线. 取不同实数时方程所表示的曲线
双曲线的标准方程(2)
一、复习回顾： 复习回顾： 定义 图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
方程 焦点 a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − 2 =1 2 a b
2
2
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁是 a
→
→
由 PF1 ⊥ PF2 ，得 PF1 ⋅ PF2 = 0，即 (−5 − x p )(5 − x p ) + (− y p )(− y p ) = 0 化简得 : x 2 + y 2 = 25 (2) p p 由(1)(2)得， y 2 = 16 2， 25 p 16 16 所以y p = ± ,因此，点P到x轴的距离为 . 5 5
处听到爆炸声的时间比在B处早 例1、一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在 处早 s . 、一炮弹在某处爆炸， 处听到爆炸声的时间比在 处早4 （1）爆炸点应在什么样的曲线上？ ）爆炸点应在什么样的曲线上？ 两地相距2000 m，并且此时声速为 （2）已知 、B两地相距 ）已知A、 两地相距 ，并且此时声速为340 m/s，求 ， 曲线的方程 . 解： 1）由A、B两处听到爆炸声的时间差为 s ，可知 、B 两处听到爆炸声的时间差为4 可知A、 （ ） 、 两处听到爆炸声的时间差为 两处与爆炸点的距离的差为4v（v为声速），因此爆炸点 为声速）， 两处与爆炸点的距离的差为4v（v为声速），因此爆炸点 应位于以A、 为焦点的双曲线上 为焦点的双曲线上。 应位于以 、B为焦点的双曲线上。 因为爆炸点离A处比离 处更近 所以爆炸点应在靠近A处 因为爆炸点离 处比离B处更近，所以爆炸点应在靠近 处 处比离 处更近， 的一支上。 的一支上。
A•
B
x
故所求双曲线方程为： 故所求双曲线方程为：
x2 y2 − = 1 ( x < −680) . 462400 537600
x2 y 2 例2.双曲线 − = 1的两个焦点为F1 , F2 , 点P在双曲线上， 9 16 若PF1 ⊥ PF2 , 求点P到x轴的距离.
分析：由PF1 ⊥ PF1 , 可得 PF1 ⋅ PF2 = 0. 点P到x轴的距离即求P的纵坐标.
y2 x − =1 双曲线 16 9
2
的焦点， 的焦点，弦MN过F1且M、 过 、 N在同一支上，若|MN|=7， 在同一支上， 在同一支上 ， 的周长. 求△MF2N的周长 的周长
•F1 N
•F2
4、已知双曲线16x2-9y2=144 、已知双曲线 ①求焦点的坐标； 求焦点的坐标； 为双曲线上一点， ②设P为双曲线上一点，且|PF1|⋅|PF2|=32，求 S 为双曲线上一点 ⋅ ，