(九)熟悉性原则

熟悉性原则---杨飞

在加工处理信息的过程中，利用我们的认知经验对问题信息的表述形式或内容进行处理，转化为我们认知结构中熟悉的信息材料，这种处理信息的原则就是熟悉性原则。

由于每一个解题者的知识结构各不相同，各自有独立的熟悉结构。而问题呈现的信息又是纷繁复杂的，即使具有相同形式和内容某一信息也不可能适合于每一个解题者的认知结构。在解题时，我们必须对问题信息进行加工处理，化陌生为熟悉，寻找问题信息与自己的熟悉结构间的联系。熟悉化的新信息更适合个人的认知活动的心理欲求，使神经系统的工作积极主动而且方向准确，有利于新信息与认知结构的正确链接。

例1 设对一切实数x ，不等式1

2log 2)1(4log 2

22

+++a a

x a a x 2224)1(log a a ++＞0恒成立，求实数a 的取值范围.

解 令t a

a =+21

log 2，则t a a t a a t a a 24)1(log ,12log ,3)1(4log 22222

=+-=++=+。 所以原不等式化为t tx x t 22)3(2+-+＞0 ①

由于对于一切实数x ，不等式①恒成立. 又当03=+t ，对R x ∈不恒成立.

则⎩

⎨⎧<⨯+-+∆>+02)3(440

3t t t t ⇒t ＞0

所以a

a 21

log 2

+＞0⇒10<

例2 （1994年澳大利亚竞赛题）设,1 ,1 ),,2,1( ,10q a a i R a R q n +===∈∈+ 且对所有自然数k ，均有 ①

1

222212---=k k k k a a

a a ； ②k k k k a a a a 212122 -=-+-. 求证：对每个给定的正数q ，总能找到自然数N ，使得N n >时，总有1994>n a .

证明 因①对所有自然数k ，均有222122222

12----=⇒=k k k k k k a a a a a a .

代入②得k k k k k k a a a a a a 22222222-=-+-222222-+-=-⇒k k k k a a a a 所以}{2k a 为等差数列，公差为q a a =-02.

于是2202)1(1+=⇒+=+=qk a kq kq a a k k .

)1)(1(22212+++==++qk q qk a a a k k k . 则}{n a 是递增无上界数列，从而得证.

上述解答将信息①形变化归后再与信息②综合加工，就得到了“}{2k a 为等差数列”

这一结论，的确巧妙。 怎么会想到这一系列加工信息的方法呢？因为“双重递推数列问题，用消元法可化为线性递推数列求解”已扎根于熟悉结构之中，我们将信息①化为

22212--=k k k a a a 是为了寻找奇数项与偶数项的关系，然后再与信息②综合，

消去奇数项就可找到偶数项的递推关系，即使得不到“}{2k a 为等差数列”，也一定会产生其它类似结果。（此题求通项可用先猜后证法）

例3 第39届IMO 预选题：已知x 、y 、z +∈R ，且1=xyz .

求证：4

3

)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z x z y z y x

此赛题的证法很多，“一道IMO 预賽题的推广”（中等数学，2001（2））曾对此给以推广，南开中学赵毅同学发现其结论有误，给出了新的推广：

设+∈R x x x n ,,,21 ，且k x x x n = 21，

则)

())(()())((312

321n n

n n x k x k x k x x k x k x k x ++++

+++ 1

121)()())((--+≥

++++n n n n n k k nk

x k x k x k x . 证明 令

s x

n

i i

=∑=1

，则n k n s ≥.

n

n i i n n i i n n n x k n x k x x k x k x x k x k x k x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≥++=+++∑

∏

==1111

11321)(1)

()()()())(( n n n s nk x k x n )()(11++= 左边=

=

++≥

++∑

∑

∏===n

i n

i n i n n

i n

j j n i s nk x k x n x

k x k x 1

1

1

1)()()

()

(⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++∑∑

==+n i n

i k i n i n

n

x k x s nk n 111)( 1()n n

n

n

n s s n nk nk s n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥

+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣

⎦()()n n

s s nk nk s =++11()(1)n s nk nks -=++ 令1

1(), ().(1)

n

f s

g s s nk nks -=

=++显然(), ()f s g s

在[)+∞恒正且递增.

所以[

]min () ()((f s g s f g =

=(

)

1

n nk

k -=

+.

2001年暑假，笔者在课堂上，突发灵感，巧用“等号条件成立法”得到新证：