11-12学年高二数学课件：1.3.3 函数的最值与导数(新人教版选修2-2)
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高中数学人教版选修2-2教学课件：1.3《函数的最值与导数》课件(1)
思考2：下图中，函数f(x)在区间[a，b] 上是否存在最值？若存在，其最大值和 最小值分别是什么？
y
a
x1 x2 O x3
x4
x5 b x
最小值为f(a)，最大值为f(x3).
思考3：一般地，如果在闭区间[a，b]上 函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，那么函数f(x)在区间[a，b]上是否 存在最值？ 连续函数在闭区间上一定存在 最大值和最小值.
4
4
例3 已知函数 3 3 2 f (x ) ax (a 2)x 6x 3 2 （1）当a＞2时，求函数f(x)的极小值； （2）当a＜0时，试确定函数f(x)的零点 个数.
2 （1）极大值为 f ( ) ，极小值为f(1). a
（2）有三个零点.
a (2x 1) 例4 已知函数 f (x ) x 在区间（0，1）内存在极小值，求实数a 的取值范围. 3
3.求函数在开区间上的最值，一般先 利用导数确定函数的单调性，再结合函 数图象求最值.
作业：P31练习.
探究（一）：函数最值的有关概念
思考1：在什么条件下，f(x0)是函数f(x) 在区间D上的最大（小）值？
若对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)成立， 则f(x0)是区间D上的最大值； 若对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)成立， 则f(x0)是区间D上的最小值.
思考2：函数的最大值和最小值的几何意 义是什么？ y A
O
B
x
最大值：函数图象最高点的纵坐标；
最小值：函数图象最低点的纵坐标；
思考3：函数的最值就存在性而言有哪几 种可能情形？
有最小值无最大值；
有最大值无最小值；
既有最小值又有最大值； 没有最值.
高中数学选修2-2(从导数到微积分) 1.3.3函数的最值与导数 理科班课件
8
2
,求常数a,b.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
2 2 3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. p1 p1 p1 p1 解: f ( x) px p(1 x) p[ x (1 x) ]. 令 f ( x ) 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.
大值为1,最小值为
2
解:令 f ( x) 3 x 3ax 0 得x=0或a. 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f’(x) + 0 0 + f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小. f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
10
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m, 若M=m,则f '(x) ( A ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
2
,求常数a,b.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
2 2 3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. p1 p1 p1 p1 解: f ( x) px p(1 x) p[ x (1 x) ]. 令 f ( x ) 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.
大值为1,最小值为
2
解:令 f ( x) 3 x 3ax 0 得x=0或a. 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f’(x) + 0 0 + f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小. f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
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思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m, 若M=m,则f '(x) ( A ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
高中数学选修2-2函数的极值与导数课件
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
《函数的最大(小)值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.3课时)
新知探究
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. y
a x1 o X
X3
bx
2
发现图中__f_(x_1_)_、__f(_x_3_) _是极小值，____f(_x_2)___是极大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，
最小值是__f_(_x3_)__.
新知探究
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际 问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？
y’
-0
+0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-0 +
y 13
↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例题讲解
极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ （1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 .
例题讲解
（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.
y
y fx
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x
b
图1.3 13
新知探究
探究 你能找出函数y=f(x) 在区间[a，b]上的最大值﹑最小值吗？
从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是 f x3 .
新知探究
y
y fx
y
y fx
ao bx
2
（2，5）
5
y'
-
0
高中数学人教A版选修2-2：1.3.3函数的最大最小值与导数课件
❖ ②、从个数上看，一个函数在给定的闭区间【a，b】 上的最值是唯一的；而极值可能有多个，也可能只 有一个，还可能一个都没有；
❖ ③、在极值点x0处的导数f′（x0）=0，而最值点不一 定，最值有可能在极值点取得，也可能在端点处取 得。
2.怎样得到函数最值？ y
最大值
y=f(x)
a x1 o X2
(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20
习题答案
练习（第31页）
1.
(1) f (x) 6x2 x 2
fmax f (2) 20
f min
f
( 1 ) 49 12 24
(2) f (x) x3 27x
fmax f (3) 54
fmin f (3) 54
习题答案
由图表知：
x （0,2） 2 （2,3）
f'(x)
-
0
+
f(x)
-4/3
所以函数在 [0,3]上没有极大值，极小值 为f (2) 4 3
又f (0) 4, f (3) 1
因此，函数f (x)在[0,3]上最大值是4，最小值为 4 . 3
练习 1、变式将区间 [0，3] 改为[-3,4] 求函数的最大值和最小值
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
2、求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
求定义域 求导 求极值点 列表 左正右负极大值，左负右正极小值 写极值
导数的应用之三、求函数最值.
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
❖ ③、在极值点x0处的导数f′（x0）=0，而最值点不一 定，最值有可能在极值点取得，也可能在端点处取 得。
2.怎样得到函数最值？ y
最大值
y=f(x)
a x1 o X2
(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20
习题答案
练习（第31页）
1.
(1) f (x) 6x2 x 2
fmax f (2) 20
f min
f
( 1 ) 49 12 24
(2) f (x) x3 27x
fmax f (3) 54
fmin f (3) 54
习题答案
由图表知：
x （0,2） 2 （2,3）
f'(x)
-
0
+
f(x)
-4/3
所以函数在 [0,3]上没有极大值，极小值 为f (2) 4 3
又f (0) 4, f (3) 1
因此，函数f (x)在[0,3]上最大值是4，最小值为 4 . 3
练习 1、变式将区间 [0，3] 改为[-3,4] 求函数的最大值和最小值
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
2、求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
求定义域 求导 求极值点 列表 左正右负极大值，左负右正极小值 写极值
导数的应用之三、求函数最值.
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
高中数学选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数
§1.3.3函数的最值与导数编者：（1） 掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值的求法（2） 在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系使用说明： （1）预习教材P 32~ P 36，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．二．新知导学【知识点一】函数在闭区间[],a b 上的最值的定义一般地，在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图像是一条 ，那么函数()y f x =组长评价：教师评价：在[],a b 上必有思考1：观察右图定义在闭区间[]b a ,上的函数()f x 的图象，请指出它的极值 你能找出它在闭区间[],a b 上的最值吗？思考2：极值和最值有何关系？思考3：如果把上述区间改为(),a b ，极值和最值的结论有何改变？【知识点二】利用导数判断函数最大值和最小值的步骤（★）利用导数求函数()f x 在[],a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）（2） 思考1：函数的极大值是否唯一？函数在某个闭区间上的最大值是否唯一？探究案（30分钟）三．典例探究【典例一】求函数的最值（★）（注意书写格式）例1-1：求函数()3126f x x x =-++在区间1,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最值？例1-2：设函数()()2ln 23f x x x =++（1） 讨论()f x 的单调性；（2） 求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值。
高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修2_2
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
大值、极小值吗?
图3.3 - 13
观察图象,我们发现,f x1 ,
f x3 ,f x5 是函数y = f x
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
y
f
x
=
1 3
x3
-
4x
+
4
2
o
3x
图1
当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0+
f (x) 4
↘
4 ↗ 1
3
当x
=
2时,fx有极小值,并且极小值为f2 =
-
4. 3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
所以函数的最大值为 f (2) 22 a,最小值为 5 a
22 a 20 即a 2
最小值为 5 2 7
（五）当堂训练，巩固提高
1.求函数f (x)=6x2 －x －2在区间 [0，2] 上的最大值和最小值.
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
大值、极小值吗?
图3.3 - 13
观察图象,我们发现,f x1 ,
f x3 ,f x5 是函数y = f x
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
y
f
x
=
1 3
x3
-
4x
+
4
2
o
3x
图1
当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0+
f (x) 4
↘
4 ↗ 1
3
当x
=
2时,fx有极小值,并且极小值为f2 =
-
4. 3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
所以函数的最大值为 f (2) 22 a,最小值为 5 a
22 a 20 即a 2
最小值为 5 2 7
（五）当堂训练，巩固提高
1.求函数f (x)=6x2 －x －2在区间 [0，2] 上的最大值和最小值.
【数学】1.3.2 函数的极值与导数 课件(人教A版选修2-2)
（2）如果在 x0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0，
那么 f x0 是极小值
随堂练习2
下列结论中正确的是（ B ）。
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么
f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么
第一章 导数及其应用 王创建
1.3.2 函数的极值与导数
知识点回顾 利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求出函数的导数 f′(x). (3)解不等式 f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式 f′(x)＜0， 得函数的单调递减区间.
f (b) 0
y
y
f (x) 0 f (x) 0
ao
f
(a)
b
(0图一)
问题：
f (x) 0
x
y f x
e cd of g
(图二)
y f x
hx
（1）函数 y f x在点 a, b的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
（2）函数 y f x在点 a, b 的导数值是多少?
（3）在点 a, b 附近,y f x 的导数的符号有什么规律?
பைடு நூலகம்
y
x3
a x1 o x2 x4 x5
yy ff' xx x6 b x
答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
那么 f x0 是极小值
随堂练习2
下列结论中正确的是（ B ）。
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么
f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么
第一章 导数及其应用 王创建
1.3.2 函数的极值与导数
知识点回顾 利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求出函数的导数 f′(x). (3)解不等式 f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式 f′(x)＜0， 得函数的单调递减区间.
f (b) 0
y
y
f (x) 0 f (x) 0
ao
f
(a)
b
(0图一)
问题：
f (x) 0
x
y f x
e cd of g
(图二)
y f x
hx
（1）函数 y f x在点 a, b的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
（2）函数 y f x在点 a, b 的导数值是多少?
（3）在点 a, b 附近,y f x 的导数的符号有什么规律?
பைடு நூலகம்
y
x3
a x1 o x2 x4 x5
yy ff' xx x6 b x
答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
1.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修2-2课件
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2-2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能：使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
图 1－3－8
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选修2-2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、 极小值．
【提示】 极大值为：f(x1)、 f(x3)， 极小值为： f(x2)，f(x4)．
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函数的最大(小)值与导数
【问题导思】 如图 1－3－8 为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
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●三维目标 1．知识与技能：使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、 极小值．
【提示】 极大值为：f(x1)、 f(x3)， 极小值为： f(x2)，f(x4)．
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函数的最大(小)值与导数
【问题导思】 如图 1－3－8 为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
函数的最值与导数(选修2-2)
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间 [2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f ( 2) 2 a ， f (3) 18 a
所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a 曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
2 (1) f ( x ) 3 x 3 令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 1 解: 当 x变化时,f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) f ( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ 2 a ↗ 2 a ↘
又由于
f (0) 4 , f (3) 1
4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 3
应用 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例2：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
5 a 所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为
22 a 20
即a 2
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
(2) 由（1）可知，函数在区间 [2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f ( 2) 2 a ， f (3) 18 a
所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a 曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
2 (1) f ( x ) 3 x 3 令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 1 解: 当 x变化时,f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) f ( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ 2 a ↗ 2 a ↘
又由于
f (0) 4 , f (3) 1
4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 3
应用 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例2：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
5 a 所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为
22 a 20
即a 2
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
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• 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在[－2,2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 ( ) • A．－37 B．－29 • C．－5 D．－11 • [答案] A • [解析] f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)． • 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2 • ∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m. • ∴f(0)>f(2)>f(－2) • ∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故应选A.
• (2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下 表： x (－1,0) 0 (0,2) 0 f′(x) － ＋ f(x) b • 所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－ 29. • 又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a， • f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值， • 即－16a－29＝3，所以a＝－2. • 综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
3．函数 y＝x＋2cosx 为 A．0 π C. 3
π 在0，2上取最大值时，x
的值 )
( π B. 6 π D. 2
• [答案] B
[解析]
π y′＝1－2sinx，令 y′＝0，解得 x＝ . 6
π π 当 x＝0 时，y＝2，当 x＝ 时，y＝ ， 2 2 π π 当 x＝ 时，y＝ ＋ 3 6 6 π π π ∵ ＋ 3>2> ，∴当 x＝ 时取最大值，故应选 B. 6 2 6
• [例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． • (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程； • (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． • [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a； • ②在a确定的情况下，求切线方程； • ③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最 大值． • 解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取 值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．
27 所以函数的最大值为 32，最小值为－ . 16
• 5．若函数f(x)在[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a) 是函数的最________值，f(b)是函数的最 ________值． • [答案] 小 大 • [解析] 由f′(x)>0，∴f(x)在[a，b]上是增函 数， • ∴f(a)是函数的最小值，f(b)是函数的最大 值．
• [点评] 已知函数的最值求解待定系数的取 值或参数的取值范围是函数最值应用的常 见题型之一，由于参数会对函数的最值的 取到点有影响，所以解决这类问题常需要 分类讨论，并结合不等式的知识进行求 解．
• 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其 图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－ 7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. • (1)求a，b，c的值； • (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
• 1．3.3 ．
函数的最大(小)值与导数 函数的最大 小 值与导数
• 1．理解函数最值的概念及闭区间上函数 存在最值的定理． • 2．掌握用导数求闭区间上函数最大值和 最小值的方法．
• 本节重点：函数在闭区间上最值的概念与 求法． • 本节难点：极值与最值的区别与联系，求 最值的方法．
• 极值与最值的区别和联系 • (1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对 函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情 况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较． • (2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函 数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性． • (3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极 大值就是最大值，极小值就是最小值． • (4)可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在[a， b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)，若 f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为 函数的最小值．
• ∵a＋22＞a＋2， • ∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2. • 此时f(x)min＝a－5＝－7.
• [例3] 已知f(x)＝ax3 －6ax2 ＋b，问是否存在实 数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－ 29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明 理由． • [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①函数f(x)＝ax3 －6ax2 ＋b在x∈[－1,2]上的最大 值为3，最小值为－29； • ②根据最大值、最小值确定a，b的值． • 解答本题可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的 单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的 值．
• • • • •
[解析] (1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， 又∵a>0，∴b＝－12.
1 又直线 x－6y－7＝0 的斜率为6，
• 因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2， • 故a＝2，b＝－12，c＝0. • (2)f(x)＝2x3－12x，
• 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 • 设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连 续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取 得 最大值与最小值 ，函数的 最值 必在 极值点 或 区间端点 取得．但在开区间(a，b)内可导的函数 f(x) 不一定 有最大值与最小值． • 2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的 步骤： • (1)求f(x)在开区间(a，b)内的 极值 ； • (2)计算函数f(x)在各 极值点 和端点 处的函数值f(a)， 最大 最小 的 f(b)比较，其中 的一个为最大值， 一个为最小值．
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－ 2或 x＝ 2. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (－∞， 2) － 2 (－ 2， 2) － f′ (x) f(x) 极大 极小 ＋ 0 － 2 0 ( 2，＋∞) ＋
2a 当 ≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而 3 f(x)max＝f(0)＝0.
2a 2a 当 0< <2，即 0<a<3 时，f(x)在0， 3 上单调递减， 3 2a 在 3 ，2上单调递增．
从而
8－4a (0<a≤2) f(x)max＝ 0 (2<a<3)
所以函数 f(x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2)，( 2，＋∞)． 因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2； 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值为－8 2. 当 x＝3 时，f(x)取得最大值为 18.
• • • • • • • • • •
一、选择题 1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) ( ) A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值 C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值 [答案] B [解析] f′(x)＝－4x3＋4x 由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0 易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.
参数对最 值的影响 参数的分 类标准
常见结论
• 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a • (1)求f(x)的单调递减区间． • (2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值． • [解析] (1)f′(x)＝－3x2 ＋6x＋9＝－3(x2 － 2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)， • 令f′(x)<0，则－3(x－3)(x＋1)<0，解得x< －1或x>3. • ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)， (3，＋∞)．
• • • •
[解析] 存在． 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况 如下表： x f′(x) f(x) (－1,0) ＋ 0 0 b (0,2) －
• 所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以f(0)＝b ＝3. • 又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)， • 所以当x＝2时，f(x)取最小值， • 即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.
• • • • • • • • •
(2)令f′(x)＝0， ∵x∈[－2,2]，∴x＝－1. 当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0； 当－1＜x＜2时，f′(x)＞0. ∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值 也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值， 即f(x)min＝f(－1)＝a－5. 又函数f(x)的区间端点值为 f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22， f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
，
• [点评] 由于参数的取值范围不同会导致函数在所 给区间上的单调性的变化，从而导致最值 的变化． 可以从导函数值为零时自变量的大小或通 过比较函数值的大小等方面进行参数分界 的确定． (1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调 时，其最大值、最小值在端点处取得． (2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只 有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在 该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也 可以是无穷区间.
2
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) －2 －1 (－1,0) 0 ＋ 0 1
4 0， 3
4 3 0 5 － 27
4 ，2 3