等差数列与等比数列

专题复习：等差数列与等比数列
辛集市第一中学 王庆旺
一、教材分析：
数列知识是历年高考的重点内容，是必考的热点。

数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。

这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。

二、复习目的：
1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．
2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。

培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力.
三、重点、难点：
重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．
难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问题、解决问题．
四、过程：
（一）知识要点回顾：
1、重要公式：
（1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：
1n 1 n 1S n 2n n S a S -=⎧=⎨-≥⎩. （2）等差数列：
①定义：1{}(n n n a a a d +⇔-=为等差数列常数）.
②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- .
③前n 项和公式：
11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= . ④等差中项:
112n n n a a a -+=+ .
(3)等比数列: ①定义：1{}(0.n n n n a a q q a a +⇔
=≠为等比数列，为常数）,
②通项公式：11n n a a q -= n m n m a a q -= .
③前n 项和公式：111 , 1(1) , 111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩.
④等比中项:
211n n n a a a -+= . 2、重要性质：
（1）若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈*N ）
在等差数列
{}n a 中有：m n p q a a a a +=+ 在等比数列{}n a 中有： m n p q a a a a =
（2）等差（比）数列依次k 项之和仍然成等差（比）数列：
若数列{}n a 是等差（比）数列，则23243,,,,k k k k k k k S S S S S S S ---
仍然成等差（比）数列.
（3）等差（比）数列依次“等距离”取出若干项仍然成等差（比）数列
（二）基础练习
1.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
2.在由正数组成的等比数列
{}n a 中，若569,a a =3132310log log log a a a +++ 则 的值为（ C ）
A. 32log 5+
B. 12
C. 10
D. 8
（三）例题讲解：
例1.已知等差数列｛an ｝的首项a1=1，公差d>0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列｛bn ｝的第2、3、4项.
⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
⑵设数列
{}n c 对任意自然数n 均有3121231n n n c c c c b b b b a =+++++ 成立,
求：1232009c c c c ++++ 的值.
解:⑴由题意得，
,2111()(13)(4)(0)a d a d a d d ++=+>, 1(2)0d d a -=化简得，
解得，1020d d a =-=（舍去） 或
112a d =∴= ，
{}2 1.n n a a n ∴=-数列的通项公式为，
22353,9b a b a ∴====
{}3n 2 3.b a q q b ==设等比数列的公比为，则
{}2212333.n n n n n b b b q ---⋅=⋅=∴=数列的通项公式为，
⑵当n=1时，121113,33c a c b b ==∴=⋅=
当n ≥2时, 3121123n n n c c c c a b b b b +++++= 由，①
31121231n n n c c c c a b b b b --++++= 得，②
由①-②得，12,
n n n
n a a c b +=-=
1223.n n n c b -∴==⋅(n )≥2
113.n c == 当时，不满足上式
13,(1)23,()n n n c n ⎧⎪⎨⎪⎩-=∴=⋅≥2,
2200812320093232323c c c c ∴++=+⨯+⨯++⨯++
200823(13)313⨯-=+-2008200933(31)3.=+-=
小结：本小题考查等差、等比数列的基本知识，利用基本量
1,a d 结合等比数列的中项公式，得出数列{}{}n n a b 、的通项公式。

还考查已知前n 项和n S 求通项公式的基本方法，要注意分n=1和 n ≥2两种情况。

最后根据等比数列的前n 项和公式求和.考查方程思想、化归思想、及分类讨论等思想方法，以及推理和运算能力．
例2.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．
（1）证明数列
{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
（1）证明：由题设
1431n n a a n +=-+，得 1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．
又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为
14n n a n -=+．
所以数列{}n a 的前n 项和
41(1)32n n n n S -+=+． （3）证明：对任意的n ∈*
N ， 1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭
1212413244443232n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫-++-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21(34)2n n =-+-2314()233
n n =-+-23149()2636n ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦． *1,4n n n N S S +∴∈当时-单调递减，
2121144(3114)02n n S S S S +∴≤=-⨯+-=--
所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
另解：14n n n T S S +=令-，161)2n T n '∴=-+（
*104n n n n N T S S +'∴∈≤∴当时，，-单调递减，
2121144(3114)02n n S S S S +∴≤=-⨯+-=--
所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
小结：本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念、通项公式及分组求和的方法。

并且解决数列与不等式证明综合运用的问题。

考查转化思想，以及推理和运算能力．
（四）巩固练习：
1.在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+，设12n
n n a b -=．
证明：数列{}n b 是等差数列；且求出{}n a 的通项公式。

解：（1）122n n n a a +=+，
11122n n n n a a +-=+，
11n n b b +=+，
则n b 为等差数列，11b =，
n b n =，1
2n n a n -=⋅．
2.等差数列{}n a 的各项均为正数，13,a =前n 项和n s ，{}n b 为等比数列，11,b =且223364,960b s b s ==
（1）求n
n a b 与（2）求12111n s s s +++ （1）设
{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1
n n b q -=
依题意有23322
(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩① 解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴1
21111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+
1111(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++ （五）专题小结
1.数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、中项公式及等比、等差数列的性质的灵活运用。

2.解数列问题时，若条件中指出数列为等差或等比数列一般将条件化归为基本量首项和公差（比）运用方程的思想求出基本量，进而解决问题。

3.解数列问题时，若条件中的数列不是等差（比）数列，一般通过构造新的等差（比）数列，将问题转化为等差（比）数列问题来解决。