高考数学二轮复习 小题提速练7“12选择+4填空”80分练 理

小题提速练(七) “12选择＋4填空”80分练
(时间：45分钟 分值：80分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x ∈N *
|x －1≤2}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |1≤x ≤3}
B ．{x |0≤x ≤3}
C ．{0,1,2,3}
D ．{1,2,3}
D [因为B ＝{x ∈N *
|x ≤3}＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2,3}，故选D.] 2．若z 是复数，z ＝1－2i
1＋i
，则z ·z ＝( )
A.
102
B ．
52
C ．1
D ．52
D [因为z ＝1－2i
1＋i
＝
－－＋
－
＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32
i ，所以z ·z ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D.]
3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )
A ．80
B ．85
C ．90
D ．95
C [由题意，得(a 1＋5)2
＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90，故
选C.]
4．(2017·广东梅州一模)设椭圆x 2m 2＋y 2n
2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相
同，离心率为1
2
，则此椭圆的方程为( )
【导学号：07804220】
A.x 212＋y 216＝1 B ．x 216＋y 212＝1
C.
x 2
48＋y 2
64
＝1 D ．x 2
64＋y 2
48
＝1
B [y 2
＝8x 的焦点坐标为(2,0)，即c ＝2，所以椭圆的焦点在x 轴上，排除A ，C ，又e
＝c a ＝1
2
，所以a ＝4，故排除D.故选B.]
5．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15－1
2，c ＝log 15
10，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．b ＞a ＞c
D [0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1215＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝51
2＞50
＝1，即b ＞1，又c ＜0，
所以b ＞a ＞c ，故选D.]
6．已知(1＋ax )(1＋x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
D [(1＋x )5
中含有x 与x 2
的项为T 2＝C 1
5x ＝5x ，T 3＝C 25x 2
＝10x 2
，∴x 2
的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]
7．某几何体的三视图如图17所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(
)
图17
A.16π3 B ．π3
C.2π9
D ．16π9
D [由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分，设底面扇形的圆心角为θ，则cos(π－θ)＝12，所以θ＝2π3，所以所求几何体的体积V ＝23π2π×
1
3π×22
×4＝16π9
，故选D.]
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有类似问题：今有良马与驽马发长安，至齐，
齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问：几何日相逢及各行几何？该问题所对应的程序框图如图18所示，则在这个问题中，两马相逢时，良马比驽马多跑的路程里数为( )
图18
A ．540
B ．450
C ．560
D ．460
A [由题意，良马每日所行路程构成等差数列{a n }，其中首项a 1＝103，公差d ＝13； 驽马每日所行路程构成等差数列{b n }，其中首项b 1＝97，公差t ＝－0.5. 从而{a n }的前n 项和A n ＝na 1＋n n －
2d ＝103n ＋
n n －
2
×13，
{b n }的前n 项和B n ＝nb 1＋
n n －
2
t ＝97n ＋
n n －
2
×(－0.5)，所以良马和驽马前
n 天所行路程之和S n ＝A n ＋B n ＝200n ＋
n n －
2
×12.5.
令S n ＝2×1 125＝2 250，则200n ＋n n －
2
×12.5＝2 250，整理得n 2
＋31n －360＝
0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)．
故良马所行路程A 9＝103×9＋9×8
2×13＝1 395，
驽马所行路程B 9＝97×9＋9×8
2×(－0.5)＝855.
良马比驽马多行路程里数为1 395－855＝540.故选A.]
9．已知双曲线y 2
4
－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O
为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2 2
D ．4
B [双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p
2
，故A ，B 两点
的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12·2p ·p 2＝p 2
2＝1，解得p ＝2，故选B.] 10．如图19所示，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，点A (0,1)为圆C 与y 轴的上交点，一
动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝s ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (s )的图象大致为( )
图19
D [当s 由0→12时，t 从－∞→0，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上单调递增；当s 由12→1时，t
从0→＋∞，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上也单调递增．∴排除A ，B ，C ，故选D.]
11．在三棱锥S ­ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝1
2
SC ，且三棱锥S ­ABC 的
体积为932
，则该三棱锥的外接球的半径为( )
【导学号：07804221】
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，
因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB ＝12SC ，OA ＝1
2SC ，
所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC 为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB ＝12SC ＝R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA ＝60°，所以V S ­ABC ＝V S ­OAB ＋V C ­OAB ＝2×12
R 2
sin
60°×13×R ＝932，解得R ＝3，故选C.]
12．已知函数
f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－n
sin πx
2
＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋
，
－
n ＋1
sin πx
2
＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋
(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f (m )(m ∈N *
)，数列{a m }的前m 项和为S m ，则S 105－S 96＝( )
A ．909
B ．910
C ．911
D ．912
A [S 105－S 96＝a 97＋a 98＋a 99＋…＋a 105＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (105)＝
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－972π＋98＋⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－
982π＋98＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 992π＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1002π＋100＋⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤－
1012π＋102＋⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－
1022π＋102＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 1032π＋104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1042π＋104＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
105
2π＋106＝97＋98＋99＋100＋101＋102＋103＋104＋105＝97＋105
2
×9＝909.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →
＝________.
[解析] BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝BA 2→＋BC →·BA →＝22
＋2×2cos 60°＝6. [答案] 6
14．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx －a 2
－7a 在x ＝1处取得极小值10，则b
a
＝________.
[解析] 因为f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，由题意，得f ′(1)＝0，所以3＋2a ＋b ＝0,1＋a
＋b －a 2
－7a ＝10，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－6，
b ＝9.
又当⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－6，
b ＝9
时，f ′(x )＝3x
2
－12x ＋9，函数f (x )在x ＝1处取得极大值10；当⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1时，f ′(x )＝3x 2
－4x
＋1，函数f (x )在x ＝1处取得极小值10，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1，
即b a 的值为－12
.
[答案] －1
2
15．在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2
＋(y －4)2
＝m 2
没有
公共点”发生的概率为________．
[解析] 因为m ∈(0,8)，直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2
＋(y －4)2
＝m 2没有公共点，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜m ＜8，|3＋4－1|
2＞m ，解得0＜m ＜32，所以所求概率P ＝32
8
.
[答案]
328
16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0x －2y －2≤0
x ＋y －2≤0
，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝
________.
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．
[答案] 3。