5最值系列之阿氏圆问题

最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
下给出证明
法一：首先了解两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则
AB DB
AC DC
=
． F
E
D
C
B
A
证明：ABD ACD
S BD S
CD =
，ABD ACD
S AB DE AB S
AC DF AC ⨯=
=⨯，即AB DB
AC DC
=
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则
AB DB
AC DC
=
．
A
B
C D
E
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），
CD=ED且AD平分∠BDE，则DB AB
DE AE
=，即
AB DB
AC DC
=．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PA
k MB PB
==，
故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PA
k
NB PB
==，故N点为
定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
法二：建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，
y ），PA=kPB ，即：
()()()()()()22
2222
2
2222222
2
22
12210
2201
x m y k x m k y k
x y m k m x k m m k m
x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-
解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交
AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1
2
PA PB +的最小值为__________．
E
A
B
C D
P
【分析】这个问题最大的难点在于转化1
2PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所
不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形
注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使
得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1
2
PA ．
问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．
【问题剖析】
（1）这里为什么是1
2
PA ？
答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造1
2PA ．
（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为2
3
．
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型
对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
已知PA 、圆确定PB
已知PA 、PB 之比确定圆
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，
不妨让P点与D点重合，此时DM=1
2
DA=1，即可确定M点位置．
如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．
【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．
A
B
C
D
【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，故求23AD BD +最小值即可．
考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造2
3AD ，条件已经足够明显．
当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在2
3
DM DA =
．
问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，
BM 长度的3倍即为本题答案．
【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，
则
1
2
PD PC
的最大值为_______．
A
B C
D
P
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造1
2
PC，在BC上取M
使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=1
2
PC，从而将问题转化为求PD-PM
的最大值．
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。