安徽省高考数学一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课后自测 理

安徽省2015届高考数学一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量
词与存在量词课后自测 理
(见学生用书第229页)
A 组 基础训练
一、选择题
1．(2014·青岛模拟)给出下列三个结论：(1)若命题p 为真命题，命题綈q 为真命题，则命题“p∧q”为真命题；(2)命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；(3)命题“∀x ∈R,2x
>0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”，则以上结论正确的个数为( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个 【解析】 綈q 为真，则q 为假，所以p ∧q 为假命题，所以(1)错误．“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，所以(2)错误．(3)正确．选C.
【答案】 C
2．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.
【答案】 B
3．(2014·山东省实验中学模拟)设命题p ：曲线y ＝e －x 在点(－1，e)处的切线方程是：y ＝－ex ；命题q ：a ，b 是任意实数，若a>b ，则
1a ＋1<1b ＋1，则( ) A ．“ p 或q”为真
B ．“p 且q”为真
C ．p 假q 真
D ．p ，q 均为假命题 【解析】 y′＝(e －x )′＝－e －x ，所以切线斜率为－e ，切线方程为y －e ＝－e(x ＋1)，
即y ＝－ex ，所以p 为真．当a ＝0，b ＝－2时，1a ＋1＝1，1b ＋1＝1－2＋1＝－1，此时1a ＋1>1b ＋1
，所以命题q 为假．所以“p 或q”为真，选A.
【答案】 A
4．(2014·潍坊模拟)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2
－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a|a≤－2或a ＝1}
B ．{a|a≤－2}
C ．{a|a≤－2或1≤a≤2}
D ．{a|－2≤a≤1} 【解析】 由x 2－a≥0，得a≤x 2，x ∈[1,2]，所以a≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2
－a)≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题“p 且q”是真命题，则p ，q 同时
为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ a≤1a≥1或a≤－2，即a≤－2或a ＝1，选A.
【答案】 A
5．(2014·杭州模拟)下列命题中，假命题为( )
A ．存在四边相等的四边形不是正方形
B ．z 1，z 2∈
C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2为共轭复数
C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y>2，则x ，y 至少有一个大于1
D ．命题：∃n ∈N,2n >1 000的否定是：∀n ∈N,2n
≤1 000
【解析】 只要z 1，z 2的虚部互为相反数，则z 1＋z 2就为实数，比如z 1＝1＋i ，z 2＝2－i ，则有z 1＋z 2＝1＋i ＋2－i ＝3为实数，所以B 错误，选B.
【答案】 B
二、填空题
6．命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________．
【解析】 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0无实根”．
【答案】 存在k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0无实根
7．(2013·皖南八校高三第三次联考)已知p 和q 都是命题，则“命题：p ∨q 为真命题”是“命题：p ∧q 为真命题”的________条件．(填“充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要”四者之一)
【解析】 p ∨q 为真，二者至少有一个为真，p ∧q 为真，二者均为真，故“p∨q 真”⇐“p∧q 真”，所以填“必要非充分”．
【答案】 必要非充分
8．(2013·皖北协作区高三联考)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若“p∨q”为假命题，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 因为命题“p∨q”是假命题，所以命题p ，q 都是假命题，所以命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0是假命题，则m≥0，命题q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0是假命题，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，所以m 2≥1，得m≤－1或m≥1，所以实数m 的取值范围是[1，＋∞)．
【答案】 [1，＋∞)
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)∀T ＝2kπ，k ∈Z ，sin(x ＋T)＝sin x ；
(2)若直线l ⊥平面α，则对任意l′⊂α，l ⊥l′；
(3)若a n ＝－2n ＋10，则∃n ∈N *，使S n <0.
【解】 (1)原命题的否定为：∃T ＝2kπ，k ∈Z ，sin(x ＋T)≠sin x，假命题．
(2)原命题的否定为：若直线l ⊥平面α，则存在l′⊂α，l 与l′不垂直，假命题．
(3)若a n ＝－2n ＋10，则对∀n ∈N *，S n ≥0，假命题．
10．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a ，x≥2a ，2a ，x ＜2a ，函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．
【解】 若p 是真命题，则0＜a ＜1，
若q 是真命题，则y min ＞1，又y min ＝2a ，∴2a ＞1，
∴q 为真命题时a ＞12
. 又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，则0＜a≤12
；若p 假q 真，则a≥1. 故a 的取值范围为0＜a≤12
或a≥1. B 组 能力提升
1．(2014·北京四中模拟)下列命题中是假命题的是( )
A ．∀φ∈R ，函数f(x)＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数
B ．∀a>0，f(x)＝ln x －a 有零点
C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β
D ．∃m ∈R ，使f(x)＝(m －1)·xm 2
－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减
【解析】 当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x ＋π2
)＝cos 2x 为偶函数，所以A 错误．选A. 【答案】 A
2．(2013·青岛二模)设A 、B 是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x ∈A ∪B ，且x ∉A∩B}，已知A ＝{x|y ＝2x －x 2}，B ＝{y|y ＝2x ，x>0}，则A×B＝________.
【解析】 由2x －x 2≥0得0≤x≤2，即A ＝{x|0≤x≤2}，
当x>0时，2x >1，即B ＝{y|y>1}，
所以A ∪B ＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，
所以A×B＝{x|0≤x≤1或x>2}．
【答案】 {x|0≤x≤1或x>2}
3．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不
等式x 2
＋2ax ＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值范围．
【解】 由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a≤0”，即抛物线y ＝x 2
＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2；
∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2；
即a 的取值范围为a>2或a<－2.。