提取公因式应当注意的几个问题
七年级数学提公因式法知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。
提公因式 注意几个问题
学习提公因式五注意提取公因式法不仅是一种重要的分解因式的方法，也是把一个多项式分解因式时首要考虑的步骤，即分解因式时，首先要看多项式中是否有公因式可提。
有公因式的一定要先提公因式。
在提公因式时应注意以下五点：一、注意提系数例1 、把多项式4x2+4y-36分解因式.分析：通过观察多项式可知各项的系数有最大的公约数4，提出公约数4可将多项式分解因式。
解：4x2+4y-36=4（x2+y-9）说明：当一个多项式各项的系数有公约数时，应先提出最大公约数，然后再考虑提字母。
此题通过提系数的最大公约数可将多项式分解因式。
二、注意提字母例2、把多项式3x4y2-6x2y3+12x3y分解因式分析：通过观察发现多项式各项的系数有最大的公约数3，我们还发现各项都含有字母x，y，且字母的x的最低指数是2，y的最低指数是1，所以公因式是3x2y.解：3x4y2-6x2y3+12x3y=3x2y（x2y-2y2+4x）说明：当一个多项式提取最大公约数后，还应注意看各项的字母是否有相同的.相同的字母是各项的公因式，这时一起提出来.当字母含有指数时，应注意提取字母的最低次数.三、注意提多项式例3、分解因式3(x-y)2-(y-x)3.分析：观察多项式中的每一项都含有多项式x-y，且(x-y)的最低次数是2，所以多项式的公因式是(x-y)2. 还要注意(y-x)3=-(x-y)3的变形.解：3(x-y)2+(x-y)3=(x-y)2·[3+(x-y)]=(x-y)2·(3+x-y).说明：当一个多项式的公因式是以多项式的形式出现的，应将多项式作为一个整体提出. 四、注意提负号例4、分解因式-x-x2+2xz.分析：本题的多项式的第一项的系数是-1，在提公因式时，应注意将负号一并提出.解：-x-x2+2xz=-x(1+x-2z)说明：当多项式的首项系数是负数时，这时可以把负号同时提出，提负号时应注意多项式的各项都要变号.五、注意提彻底例5、分解因式3a(x+y)2+6a(y+x)3.分析：这个多项式的两项的系数有公约数5，含有字母a，并且含有多项式x+y.所以此多项式的公因式是3a(x+y)2.解：3a(x+y)2+6a(y+x)3=3a(x+y)2[1+2(x+y)]=3a(x+y)2(1+2x+2y).说明：当一个多项式中既有系数又含有字母时,应注意综合考虑多项式的公因式.做到三看：一看系数，二看字母，三看指数.。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
七年级数学提取公因式法
代数方程
求解一元一次方程
01
在一元一次方程中，提取公因式法可以帮助我们化简方程，使
其更容易求解。
化简多元一次方程组
02
在多元一次方程组中，提取公因式法可以用于化简方程，简化
计算过程。
证明代数恒等式
03
在证明代数恒等式时，提取公因式法可以帮助我们化简等式两
边，使其更易于验证。
几何图形
计算面积和周长
特点
提取公因式法是一种简化多项式 的有效方法，它可以将多项式中 的相似项合并，使多项式更易于 理解和计算。
提取公因式法的重要性
01
02
03
提高计算效率
提取公因式法可以简化多 项式的计算过程，提高计 算效率。
培养数学思维
通过提取公因式法，可以 培养学生的数学思维和逻 辑推理能力，提高数学素 养。
应用广泛
出现。
在提取公因式后，应注意剩余部 分的符号变化，确保结果与原多
项式相等。
掌握基本代数规则
掌握基本的代数规则是正确使用提取公因式法的前提。 了解代数式的展开、合并同类项、乘法分配律等基本规则。
熟悉代数式的化简和变形技巧，能够灵活运用代数规则进行多项式的简化。
05 提取公因式法练习题与解 析
练习题一
解析
首先观察多项式$x^2 - 2x - 3x + 6$，可以发现$x$是所有项的公因式。然后提取 公因式$x$，得到$x(x - 2 - 3 + 6)$。
答案
提取公因式后，多项式变为$x(x - 1)$。
练习题二
解析
首先观察多项式$(x + y)^2 - (x - y)^2$，可以发现这是一个平方差公式，即$(a+b)(a-b)$。根据平方差公式， $(x + y)^2 - (x - y)^2$可以化简为$(x + y + x - y)(x + y - x + y)$。
提取公因式应当注意的几个问题
提取公因式应当注意的几个问题提取公因式法是最基本的也是最常用的因式分解方法，对于提取公因式法应当注意以下几个问题：1. 公因式要提尽也就是提取公因式后的多项式的各项不应该再有公因式。
例如：都是没有提尽公因式，因而没有达到因式分解的目的。
2. 小心丢掉“1”当多项式中的某一项恰好是公因式时，提完公因式这一项的位置应该是“1”，而不能把它丢掉。
例如：提取公因式的结果是，而不是。
3. 当多项式第一项系数为负时，要提出“－”号，使提取公因式后的多项式的第一项系数为正但要注意，提出“－”号后，括号内的各项都要变号。
例如：4. 公因式是多项式时，要小心符号对于公因式是多项式或多项式的幂时，要注意几种常见的变形：一般地，n为偶数时，；n为奇数时，。
例如：5. 多项式系数中出现分数的处理一般来说，当提取系数为分数的公因式后，得到的多项式的各项的系数都应该是整数，为了达到这样的目的，有两种处理方法：（1）利用分数的基本性质化成同一分母后再提取公因式。
例如：（2）直接提取各项系数中分子的最大公约数，分母的最小公倍数，作为整个公因式的系数。
如分子8、4的最大公约数是4，分母27、9的最小公倍数是27，故系数提取，于是：6. 提取公因式后，括号中的多项式要注意化简例如：7. 提取公因式分解因式的结果，对于相同因式的积一般写成幂的形成例如：例1. 下列各式因式分解正解的是（）A.B.C.D.解：A错，因为提取y后，第二项应为1而不是0。
B错，因为提取后，括号中的第二项、第三项没有变号。
C错，因为公因式没有全部提取尽，应提取，而不是。
对于D。
因为，故分解正确，应选D。
例2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）。
浅谈因式分解要注意的几个问题
浅谈因式分解要注意的几个问题因式分解是初中代数重要内容,学好因式分解可为今后的数学学习打好基础,就因式分解需要注意的几个问题谈一谈。
一、要注意到“1”的存在而避免漏项在提取公因式时,多数同学易忘记观察被分解多项式的项数是多少,更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系,而在分解因式时应注意到“1”在这个多项式分解中的存在和作用。
例1分解因式3x2+5xy+x错解:3x2+5xy+x=x(3x+5y),这样就漏了“x”这一项,提出“x”后应由“1”来补其位。
正解:3x2+5xy+x=x(3x+5y+1)二、提取公因式时要注意符号的变化牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号,去括号时括号里的各项都要变号”这一运算律,而因式分解与乘法运算之间互为逆变形,首相为负号应提取负号,但加括号并且括号里的各项都要变号。
例2分解因式-10x2+10xy.错解:-10x2+10xy=-10x(x+y),错在括号里没有变号。
正解:-10x2+10xy=-10x(x-y).三、要注意整体与个体之间的关系在公式a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2中,a、b代表符合这一特点的整个代数式里的整个因式,而不只代表这个代数式里的某一个因式。
如16x2是表示(4x)2,而不是(16x)2.因此再分解因式时要注意整体与个体之间的关系。
例3分解因式9x2-1错解:9x2-1=(9x+1)(9x-1),错在9x2只能写为(3x)2不能写为(9x)2.正解:9x2-1=(3x+1)(3x-1).四、要注意分解完整因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式的乘积形式,因式分解需要分解到不能再分解为止。
例4分解因式16x4-72x2+81错解:16x4-72x2+81=(4x2-9)2,很多学生就分解到此为止,但没有注意到4x2-9还可以分解。
因为4x2可以写成(2x)2,9可以写成(3)2,故4x2-9符合平方差公式的特点应继续分解。
因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法”在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。
一、“八个注意”事项（一）首项有负常提负例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。
（二）各项有公先提公例2因式分解8a4－2a2解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.（三）某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
防止学生出现诸如a3-2a 2+a=a(a 2-2a)的错误。
（四）括号里面分到“底”。
例4 因式分解x 4－3x 2－4解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1）这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
《提公因式法》 知识清单
《提公因式法》知识清单一、什么是提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。
如果一个多项式的各项有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，其中 3 是公因式，可以将其提取出来，得到 3(2x ＋ 3)。
二、提公因式法的关键1、确定公因式公因式的确定是提公因式法的核心步骤。
公因式是多项式各项中都含有的因式。
（1）系数：取各项系数的最大公约数。
例如，对于 12x ＋ 18，系数 12 和 18 的最大公约数是 6。
（2）字母：取各项相同的字母。
如 5x²y ＋ 10xy²中，相同的字母是 x 和 y。
（3）指数：取相同字母的最低次幂。
比如在 8x³y² 12x²y³中，x 的最低次幂是 2，y 的最低次幂是 2，所以公因式是 4x²y²。
2、提出公因式确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，得到另一个因式。
三、提公因式法的步骤1、分解因式首先对多项式的每一项进行仔细观察和分析，确定各项是否存在公因式。
2、提取公因式将确定的公因式提取出来，写在括号外面。
3、化简剩余项用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商写在括号内，与公因式相乘。
例如，对于多项式 4x²＋ 8x，先确定公因式为 4x，然后提取出来得到 4x(x ＋ 2)。
四、提公因式法的应用1、简化计算在代数式的运算中，通过提公因式可以简化计算过程。
比如计算：24a ＋ 36ab，提取公因式 12a 得到 12a(2 ＋ 3b)，这样计算更简便。
2、解方程在方程求解中，有时通过提公因式可以使方程更容易求解。
例如方程：6x² 9x ＝ 0，提取公因式 3x 得到 3x(2x 3) ＝ 0，从而解得 x ＝ 0 或 x ＝ 3/2 。
3、证明等式通过提公因式可以对等式进行变形和证明。
上海七年级-数学-因式分解专题讲解
上海七年级 数学 因式分解专题讲解一、提取公因式1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？（1）1)32(1322+-=+-a a a a ; （2）)11(1xy xy xy -=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)21(412+=++x x x ;例2、指出下列各式中的公因式：（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、-2、提取公因式的注意事项（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—"号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取,否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式,当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：（1）a a 463-、； （2）32394278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、； (4）)(3)(2m a x a m --、；例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)41)(12(+-x x ，求n m 、的值？例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时,求电压U 的值?3、整式乘法与因式分解有什么关系？整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式.而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
提公因式法要点解读
提公因式法要点解读提公因式法是因式分解的最基本最常用的方法，是因式分解中首先必须考虑的第一步，因此，学好提公因式法是学好因式分解的必要前提，那么如何学好提公因式法呢，同学们应从以下几个方面人手．一、准确地理解公因式的概念公因式是指一个多项式的各项都含有的因式，它的确定一般采取“三看”的方法：一看“系数”，公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数，如在多项式32223246b a ab b a --中，各项系数的绝对值是6、4、2，它们的最大公约数是2，所以公因式的系数是2；二看“字母”，公因式中的字母应是各项相同的字母（注意这里的字母具有广泛性，可以是一个整式），如上式中各项都含有a 、b ，所以公因式的字母是a 、b ；三看“字母的次数”，公因式中字母的次数是相同字母的最低次幂，如上式中的a 是1次、b 是2次，所以这个多项式的公因式是2a 2b ．二、明确提公因式的依据我们在学习乘法分配律时知道，mc mb ma c b a m ++=++)(，现在把它反过来就有mc mb ma ++=)(c b a m ++，这正是提公因式法，可见提公因式法的依据是乘法分配律的逆运用．三、掌握提公因式的方法运用提公因式法分解因式一般分为三步：第一步，确定公因式；第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式；第三步，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内．如32223246b a ab b a --=2a 2b ·32a -2a 2b ·2-2a 2b ·ab=2a 2b （32a - ab-2）．四、提公因式法运用中的几点注意1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如)2(22--=+-x x x x ；2．不能漏项，提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同．特别注意，当多项式的某一项与公因式相同，被全部提出后，剩下的多项式应在相应位置上补上1，而不是0，如)123(22462223-+=-+xz y x xy xy yz x y x ，而不是)23(22462223xz y x xy xy yz x y x +=-+；3．最后要检查是不是分解到最后结果，不能有公因式遗漏未提，应养成检查的习惯；4．公因式提取后，每一项的剩余部分，可根据同底数幂相乘法则的逆用来确定；5．要注意“字母”的广泛性及一些隐含的公因式，如a （a —b ）—b （b —a ），从表面上看似乎没有公因式，但由于b —a=—（a —b ），因此有公因式a —b ．。
因式分解之提取公因式法四注意教学内容
因式分解之——提取公因式法四注意提取公因式法分解因式是因式分解最基本、最常用的方法，也是学习因式分解的基础，要学好这部分内容，必须注意以下四点：㈠注意提取公因式法的概念和步骤一个多项式中每一项中都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。
提取公因式法的依据是乘法分配律。
提取公因式法分解因式的关键是确定公因式。
确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母系数分别进行考虑：⑴对于系数，如果是数字系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；⑵对于字母，要考虑两条，一是提取各项的相同字母；二是各相同字母的指数取其次数最低的。
提取公因式法分解因式的基本步骤：⑴确立应提取的公因式；⑵用公因式去阶除这个多项式，所得的商作为另一个因式；⑶把多项式写成这两因式积的形式。
1、公因式为纯数字例1：分解因式：4x26x 8思路分析：多项式有三项，各项系数的最大公约数是2,而最后一项中不含有字母，只要提公因式2即可分解因式。
解：4x2 6x 8 2 2x2 3x 42、公因式为单项式3 2 2 3 2例2：分解因式：15x y 20x y 5x y。
思路分析：⑴系数：其最大公约数是5;⑵字母：都含有字母x,y;⑶指数：字母x的最低次数是2,字母y的最低次数是1，因此公因式为5x2y。
解：15x3y2 20x2y3 5x2y 5x2y 3xy 4y2 1。
1 2 2 2 1例3：分解因式：—a b ab -ab3 6思路分析：对于含有分数系数的多项式，应注意公因式系数的确定，分母为各分母的最小公倍数，分子为各分子的最大公约数。
1 2 2 2 1 1解：一a b ab ab ab 3a 4b 13 6 61点评：可将公因式-ab乘回去，验证分解结果的正确性。
63、公因式为多项式2例4：分解因式：a a b a b 。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
矩阵公因式提取原则
矩阵公因式提取原则矩阵公因式提取是矩阵运算中的一种重要方法，也是代数学中的一个重要内容。
它可以将一个多项式矩阵表示为几个矩阵的乘积形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍矩阵公因式提取的原则和基本步骤，帮助读者更好的理解和应用这个重要的矩阵运算方法。
一、原则矩阵公因式提取的原则是尽量将多项式矩阵表示为几个矩阵的乘积形式，使其更加简洁和易于处理。
在提取公因式时，需要采用如下原则：1. 求公共因子。
将多项式矩阵中公共的因子提取出来，形成一个公共的因子矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B，如果它们都含有因子C，那么就可以将C提取出来，得到公共的因子矩阵。
2. 合并同类项。
将多项式矩阵中相同的项合并起来，形成一个简单的矩阵。
例如，对于矩阵A中的项a和矩阵B中的项b，如果它们相同，那么就可以将它们合并到一个矩阵中，形成更加简单的矩阵。
3. 应用分配律。
将多项式矩阵中的乘积运算分配到每个矩阵中，形成一个简单的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B，如果它们的乘积为AB，那么就可以将乘积拆开，得到一个简单的矩阵C=AB。
二、基本步骤矩阵公因式提取的基本步骤分为如下几步：1. 将多项式矩阵中的项按照相同的指数进行分类。
2. 对于每一类指数相同的项，将它们合并成一个简单的矩阵。
3. 对于每个简单的矩阵，将其化为公共的因子和一个剩余的矩阵。
4. 将所有的公共因子提取出来，得到一个公共的因子矩阵。
5. 将剩余的矩阵与公共的因子矩阵相乘，得到原始的多项式矩阵。
三、实例分析下面我们以一个实例来详细介绍矩阵公因式提取的具体操作步骤。
假设有一个多项式矩阵A：A=[2x^2+3xy , 4x^2+7xy][3xy+5y^2 , 2x^2+8xy]我们可以按照如下步骤进行矩阵公因式提取：1. 将多项式矩阵中的项按照相同的指数进行分类。
分类结果如下：项1: 2x^2 和 4x^2项2: 3xy 和 7xy 和 3xy 和 8xy项3: 5y^22. 对于每一类指数相同的项，将它们合并成一个简单的矩阵。
谈因式分解中的提取公因式问题
谈因式分解中的提取公因式问题摘要：在初中数学教学中，因式分解是一个重点也是一个难点，在本文中，主要讲解了因式分解中的提取公因式问题，为学生掌握公因式提供更好的参考。
关键词：初中数学；因式分解；提取公因式对于多项式的因式分解中，最常用的方法有提公因式法、公式法、以及简单的十字相乘法，其中最基础上、最常用的方法是提公因式法。
那么，我们在用提公因式法进行因式分解的时候，需要注意些什么呢？一、要明确因式分解的步骤：1、找出公因式所谓公因式，它包括“两最”，即：（1）多项式中，各个项的系数的最大公约数（2）多项式中，各个项都共同拥有的字母，且要取该字母的最小指数幂这两个“最”相乘所谓的积，为我们所需要寻找的分因式。
如：多项式5α+20αｂ+10α²ｂ中，各项的系数分别为5、20、10，它们的最大公约数是5，5α、20αｂ、10α²ｂ三个项中共同拥有的字母是α，而α的最小指数幂是1次，可以省略不写，这两“最”相乘所得的积为5α，所以，多项式5α+20αｂ+10α²ｂ的公因式为5α。
2、进行因式分解在进行因式分解时，就是把找出的公因式作为结果的一个单独的因式，然后用原多项式的每一个项去除以这个公因式，并将所得的商相加的和，作为结果的另一个因式，如：多项式5α+20αｂ+10α²ｂ中的5α÷5α=1，所得的商为1多项式5α+20αｂ+10α²ｂ中的20αｂ÷5α=4b，所得的商4b多项式5α+20αｂ+10α²ｂ中的10α²ｂ÷5α=2αｂ，所得的商2αｂ然后我们将此三个商相加的所得和为1+ 4b+ 2αｂ看作是一个整体，把它作为结果的另一个因式，所以，多项式5α+20αｂ+10α²ｂ分解因式的结果为5α（1+ 4b+ 2αｂ），即：5α+20αｂ+10α²ｂ=5α（1+ 4b+ 2αｂ）二、在明确了因式分解的步骤之后，进行具体的操作时，还要特别注意找公因式的具体与细节：1、明确目标，即弄清楚所须进行因式分解的多项式究竟有多少个项，在寻找公因式的时候，要做到顾全大局、兼顾每一个项。
配方法提取公
配方法提取公【原创版2篇】篇1 目录1.配方法的概念与应用2.提取公因式的方法3.提取公因式的实际应用4.提取公因式的注意事项篇1正文1.配方法的概念与应用配方法是一种解决数学问题的方法，主要通过将一个数或一个式子表示为两个数的乘积，从而简化问题。
在数学中，配方法常常用于分解因式、求解方程和不等式等问题。
通过配方法，我们可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而更容易地找到答案。
2.提取公因式的方法提取公因式是配方法的一种具体应用，它指的是在一个多项式中找出所有项的公共因子，并将其提取出来。
提取公因式的方法有多种，其中最常见的是提公因式法和公式法。
提公因式法指的是通过观察多项式的各项，找出它们的公共因子，并将其提取出来。
例如，对于多项式 3x^2+9x，我们可以提取出公因式 3x，从而将多项式简化为 3x(x+3)。
公式法是指利用公式来提取公因式。
在初中阶段，我们学过一些常用的公式，如平方差公式和完全平方公式。
利用这些公式，我们可以快速地提取公因式。
例如，对于多项式 x^2-4，我们可以利用平方差公式将其分解为 (x+2)(x-2)。
3.提取公因式的实际应用提取公因式在解决数学问题中有广泛的应用。
首先，它可以帮助我们简化多项式，使得多项式的计算更加简便。
例如，对于多项式 2x^3+6x^2，我们可以提取出公因式 2x^2，从而将多项式简化为 2x^2(x+3)。
其次，提取公因式还可以帮助我们求解方程和不等式。
例如，对于方程 3x^2+9x=0，我们可以提取出公因式 3x，从而将方程转化为 3x(x+3)=0。
这样，我们就可以很容易地找到方程的解。
4.提取公因式的注意事项在使用提取公因式的方法时，我们需要注意以下几点：（1）观察多项式的各项，找出它们的公共因子。
（2）在提取公因式时，要注意不要漏掉任何一项。
（3）对于一些复杂的多项式，可能需要利用公式法来提取公因式。
（4）在求解方程和不等式时，提取公因式后，需要将方程或不等式化为两个因式相乘的形式，以便于求解。
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提取公因式应当注意的几个问题
提取公因式法是最基本的也是最常用的因式分解方法，对于提取公因式法应当注意以下几个问题：
1. 公因式要提尽
也就是提取公因式后的多项式的各项不应该再有公因式。
例如：
都是没有提尽公因式，因而没有达到因式分解的目的。
2. 小心丢掉“1”
当多项式中的某一项恰好是公因式时，提完公因式这一项的位置应该是“1”，而不能把它丢掉。
例如：提取公因式的结果是
，而不是。
3. 当多项式第一项系数为负时，要提出“－”号，使提取公因式后的多项式的第一项系数为正
但要注意，提出“－”号后，括号内的各项都要变号。
例如：
4. 公因式是多项式时，要小心符号
对于公因式是多项式或多项式的幂时，要注意几种常见的变形：
一般地，
n为偶数时，；
n为奇数时，。
例如：
5. 多项式系数中出现分数的处理
一般来说，当提取系数为分数的公因式后，得到的多项式的各项的系数都应该是整数，为了达到这样的目的，有两种处理方法：
（1）利用分数的基本性质化成同一分母后再提取公因式。
例如：
（2）直接提取各项系数中分子的最大公约数，分母的最小公倍数，作为整个公因式的系数。
如分子8、4的最大公约数是4，分母27、9的最小公倍数是27，故系数提取，于是：
6. 提取公因式后，括号中的多项式要注意化简
例如：
7. 提取公因式分解因式的结果，对于相同因式的积一般写成幂的形成
例如：
例1. 下列各式因式分解正解的是（）
A.
B.
C.
D.
解：A错，因为提取y后，第二项应为1而不是0。
B错，因为提取后，括号中的第二项、第三项没有变号。
C错，因为公因式没有全部提取尽，应提取，而不是。
对于D。
因为，故分解正确，应选D。
例2. 把下列各式分解因式：
（1）
；
（2）；
（3）
解：（1）
（2）
（3）。