2019-2020学年黑龙江省绥化市芦河中学高二数学文下学期期末试题

2019-2020学年黑龙江省绥化市芦河中学高二数学文下
学期期末试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】几何概型．
【分析】首先分析题目求△PBC的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可．
【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因为，则有；
化简记得到：，
因为PE平行AD则由三角形的相似性；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
因为AP=，
所以△PBC的面积大于的概率=．
故选C．
2. 函数的最小正周期是( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. “x=1”是“x2=1”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．
【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立
反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立
∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件
故选A．
【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者，后者成立是否推出前者成立，利用充要条件的定义加以判断．
4. 在等比数列{a n}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则
＝( )
参考答案：
C
5. 设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），
，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．
【详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，
∴，．
故选B．
【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．
6. 设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A．B．
C． D．
参考答案：
B
略
7. 已知数列{a n}：， +， ++，…， +++…+，…，若
b n=，那么数列{b n}的前n项和S n为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】数列的求和．
【分析】先确定数列{a n}的通项，再确定数列{b n}的通项，利用裂项法可求数列的和．
【解答】解：由题意，数列{a n}的通项为a n==，
∴b n==4（﹣）
∴S n=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=
故选B．
8. 用1,2,3,4,5,这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
(A)24个(B)30个(C) 40个(D) 60个
参考答案：
A
解：先选个位数：，。

∴选(A)。

9. 若直线与互相平行，则的值是（）
A.-3
B.2
C.-3或2
D. 3或-2 参考答案：
A
略
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900，点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【分析】
取的中点，连接，，将平移到，则就是异面直线与所成角，在中利用余弦定理求出此角即可
【详解】
取的中点，连接，，
就是异面直线与所成角，
设
则，，
在中，
故选
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且
∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】建立如图所示的坐标系，求出=（3，1，0），=（﹣3，2，），即可求出异面直线AC与BD1所成角的余弦值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D1（0，2，），
∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），
∴异面直线AC与BD1所成角的余弦值为||=，
故答案为：．
12. 若曲线在点处的切线方程是，则_____ ,
______.
参考答案：
略
13. 求与双曲线共焦点，则过点（2，1）的圆锥曲线的方程
为 .
参考答案：
或；
略
14. 已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程
为 .
参考答案：
15. 已知直线l与椭圆交于两点，线段的中点为P，设直线l的斜率为(k1≠0)，直线OP的斜率为，则的值等于________.
参考答案：
略
16. 已知命题:,;命题:,.则
是命题
参考答案：
真
17. 平面∥平面，，，则直线，的位置关系是________。

参考答案：
平行或异面
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在极坐标系下，已知圆C：和直线l：.
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程和直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的最短距离．
参考答案：
（Ⅰ）:，:；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.
【详解】（Ⅰ）圆：，即，
圆的直角坐标方程为：，即；
直线：，则直线的极坐标方程为.
（Ⅱ）由圆的直角坐标方程为可知圆心坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最短距
离为.
【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
19. 已知数列{a n}的第1项a1=1，且a n+1=．
（1）计算a2，a3，a4；
（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法进行证明．
参考答案：
【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．
【分析】（1）利用递推关系式可求出a2，a3，a4的值．
（2）通过观察归纳出规律，从而猜想其通项公式，即可用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）由题意可得：a2===，
a3===，
a4===…3分
（2）通过观察归纳出规律：其通项应是一个真分数，分子为1，分母与相应的下标相同，
故猜想a n=（n∈N*）．…6分
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即：a k=，
那么，a k+1===，
所以，当n=k+1时猜想也成立．
根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立…14分
【点评】本题主要考查了数学归纳法的应用，正确理解递推关系并求出数列的前几项和使用归纳推理是解题的关键，属于中档题．
20. （本小题满分12分）已知数列的首项a1＝5，a n＋1＝2a n＋1，n∈N*.
(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；
(2)求的通项公式以及前n项和。

参考答案：
（1），都成立…………………………4分
又……………………………………………………5分
所以数列{＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
………………………………………………6分
（2）由(1)得＋1＝6·2n－1，所以＝6·2n－1－1，………………8分
于是S n＝
＝6·2n－n－6. …………………………………………12分
21. 已知（且）的展开式中前三项的系数成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
参考答案：
解：∵，，成等差，
∴
∴
（1），
∴时，二项式系数最大
即二项式系数最大项为.
（2）由，知或8，
∴有理项为，
22. 已知是复平面内的三角形，两点对应的复数分别为和，且
,
（Ⅰ）求的顶点C的轨迹方程。

（Ⅱ）若复数满足，探究复数对应的点的轨迹与顶点C的轨迹的位置关系。

参考答案：
略。