第30炼 y=Asin(wx t)的解析式的求解

第30炼 函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解
在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ωϕ=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ωϕ得到，本讲主要介绍求解
()sin y A x ωϕ=+解析式的一些技巧和方法
一、基础知识： （一）表达式的化简：
1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础） （1）降幂公式：2
21cos21cos2cos
,sin 22
αα
αα+-=
=
（2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式
()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b
a
ϕ=
（这是本讲的主角，也是化简的终结技）
2、关于合角公式：()sin cos a b αααϕ+=
+的说明书：
（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为α），②齐一次，③正余全
（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式了，通过以下三步：
sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭
② 二找：由2
2
1+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助
角），如
cos ϕϕ=
=
，可得：
)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+
③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+
（3）举例说明：
sin y x x =+
① 12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
②
1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭
③ 2sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（4）注意事项：
① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角
② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：
12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。

找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。

当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但2cos 6y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
与2sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）
③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的ϕ来代替，再在旁边标注ϕ的一个三角函数值。

3、表达式的化简攻略：
可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点
① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）
② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。

③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式。

例如： 齐二次式：2
sin 2cos sin 2y x x x =-+，齐一次式：sin cos 6y x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式
221cos21cos2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
，2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 例如：sin cos 6y x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，确定研究对象了：x ，也齐一次，但就是角不一样（一个是x ，一个是6
x π+
）那么该拆则拆，将cos 6x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
打开
11sin sin sin 22y x x x x x ∴=+
-=+ 于是就可合角了 （二）求解,,A ωϕ的值以确定解析式 1、,,A ωϕ的作用
（1）:A 称为振幅，与()sin y A x ωϕ=+一个周期中所达到的波峰波谷有关 （2）ω：称为频率，与()sin y A x ωϕ=+的周期T 相关，即2T
π
ω=
（3）ϕ：称为初相，一定程度上影响()sin y A x ωϕ=+的对称轴，零点 2、,,A ωϕ的常规求法： （1）A ：
① 对于()sin y A x ωϕ=+可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 ② 对于()sin y A x b ωϕ=++可通过一个周期中最大，最小值进行求解：max min
2
y y A -=
（2）ω：由2T
π
ω=
可得：只要确定了()sin y A x ωϕ=+的周期，即可立刻求出ω，而T 的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两条对称轴为(),x a x b a b ==<，则()2T b a =- ② 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两个对称中心为()()(),0,,0a b a b <，则()2T b a =- ③ 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的对称轴与对称中心分别为(),,0x a b =，则4T b a =- 注：在()sin y A x ωϕ=+中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。

（3）ϕ：在图像或条件中不易直接看出ϕ的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对ϕ的限制范围 3、确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A ω与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A 的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出ω，最后再通过代入一个特殊点，并根据ϕ的范围确定ϕ。

（2）求ϕ时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的ϕ值唯一，不会出现多解的情况。

如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。

二、典型例题：
例1：化简：()2sin cos 42
f x x x π⎛
⎫
=-
- ⎪
⎝
⎭
解：原式2sin x x x ⎫=+-⎪⎝⎭
2cos x x x =
-
)1cos222x x -=+-
2sin 2224x x x π⎛⎫=
-=- ⎪⎝
⎭
例2：化简：()22cos cos 1f x x x x =+-
解：()cos21
2212
x f x x +=⋅
-
cos222sin 26x x x π⎛⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
例3：()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
解：方法一：拆开化简
()11
2cos2cos222cos22sin 222226f x x x x x x x x π⎛
⎫=
+++=+=+ ⎪⎝
⎭ 方法二：将26
x π+
视为一个整体，则223
6
2
x x π
π
π
-
=+
-
()sin 2cos 2sin 2cos 263662f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
s i n 2s i n 22s i n 266
6x
x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=+++=+ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
⎝
⎭⎝
⎭ 例4：如图，函数()()sin 0,02y A x A ωϕϕπ=+><<的图像经过点7,0,,066ππ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
且该函数的最大值为2，最小值为2-，则该函数的解析式为（ ） A. 32sin 24x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B. 2sin 24x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
C. 32sin 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ D. 2sin 26x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
思路：由题目所给最值可得2A =，图中所给两个零点的距离刚好是函数一个周期的长度。

所以74236632T T ππππω⎛⎫=
--=⇒== ⎪⎝⎭，此时解析式为32sin 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标与6
x π
=-
的距离为
6
46T π
π-
+
=，所以代入,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得：
()32sin 222642k k Z πππϕϕπ⎛⎫
⋅+=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭
，
由02ϕπ<<可解得：4
π
ϕ=，所以解析式为3
2sin 2
4y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
答案：A 小炼有话说：
（1）本题在求ϕ时，最值点的横坐标未知。

但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，那么在()sin y A x ωϕ=+的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。

只要最值点可求，就用最值点求得ϕ
（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零点求解再进行对比。

代入,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
可得：()32sin 0264k k Z ππϕϕπ⎡⎤
⎛⎫⋅-
+=⇒-=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，从而在()0,2π中ϕ的值有两个：5,44π
πϕϕ=
=
，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现54πϕ=
时，6
|2x y π=
=-，与图像不符，所以舍去。

为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点
会出两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。

一个周期里当正弦值取到1,1-时，对应的角只有一个，而正弦值取到()1,1-时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。

所以自然就会出现多解问题。

那么54
π
ϕ=
时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和已知图像完全一致，只是
在最值点处刚好关于x 轴对称。

如果是曲线上的其它点也是会出现两个图像，而其中只有一个是正确的。

当然有些题目对ϕ的取值范围刻画更加严格，那么代入非最值点也可得到唯一解。

（3）本题除了可用纯代数方法计算ϕ，还可以利用图像变换得到ϕ的取值，由前面计算出
3
2,2
A ω==
，可得函数图象从sin y x =进行了横纵坐标的放缩，此时解析式为3
2sin 2
y x =，这个函数图象的特点是过原点。

而与已知图像比较，可得已知图像相当于
32sin 2y x =图像向左平移了6π个单位。

所以33
2sin 2sin 2624y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦。

利
用图像变换求解析式关键要分析出所求图像与sin y A x ω=的联系（即如何平移得到）。

例5：如图所示为函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>≤≤ ⎪⎝
⎭
的部分图像，
其中,A B 两点之间的距离为5，那么()1f -=_________
思路：如图可得4AC =，从而计算出3BC =，所以26T BC ==，进而3
π
ω=
而2y A =，所以2A =，此时()2s i n 3f
x x π
ϕ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
，而()02sin 1f ϕ==，解得
1sin 26πϕϕ=
⇒=，所以()12sin 136f ππ⎛⎫
-=-+=- ⎪⎝⎭
答案：()11f -=-
例6：已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()'
f x 的部分
图像如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ） A. ()12sin 24f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ B. ()1
4sin 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C. ()2sin 4f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
D. ()134sin 2
4f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
思路：()()'
cos f
x A x ωωϕ=+，
可先从周期入手确定ω的值，32422T πππ⎡⎤
⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以1
2
ω=
，再由最值可得：24A A ω=⇒=，代入,22π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
即可解出ϕ：'12cos 2cos 12224f πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=⋅-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以()24k k Z πϕ-π=∈，即
4
π
ϕ=。

从而()f x 的解析式为()1
4sin 2
4f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
答案：B
例7：已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图像如图所示，223f π⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，则()0f =（ ） A. 23-
B. 12-
C. 23
D. 1
2
思路一：可以考虑确定()f x 的解析式进而求出()0f ，如图可计算出1172212123
T πππ
⎛⎫=-=
⎪⎝⎭，所以3ω= ，取零点的中点可得对称轴7113121224
x πππ+=
= 而33cos 344f A A π
πϕ⎛⎫⎛⎫
=⋅+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，从而924k πϕπ+=，解出一个值4πϕ=-。

所以()cos 34f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
且2cos 32243f A A πππ⎛⎫⎛⎫
=⋅-=-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以
(
)34f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，进而()203f = 思路二：同思路一先解出23T π=
，则()203f f π
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，从图中可得23x π=与2x π=关于712x π=
中心对称，从而()22
0323
f f f
ππ⎛⎫
⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 答案：C
小炼有话说：（1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍ϕ的求解。

从计算过程中也可以看出3cos 34A A πϕ⎛
⎫
⋅
+= ⎪⎝
⎭
，A 是可以消掉的。

所以求ϕ关键在于找到最值点的横坐标 （2）思路二跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到()0f 的值。

对于函数
()()cos f x A x ωϕ=+中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函
数值时事半功倍。

例8：已知函数()()sin ,(0,0,0)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><<的图像与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为
2π，且图像上一个最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，则()f x
的解析
式为____________
思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离
2
π
可得22T π
π=⋅
=，从而2ω=，由最小值点2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
可得到两个信息：一个是2A =，另一个是M 点即为求ϕ所要代入的特殊点。

此时()()2sin 2f x x ϕ=+，则223
f π
⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，即2432sin 222332k πππϕϕπ⎛⎫
⋅
+=-⇒+=+ ⎪⎝
⎭
，解得：6
π
ϕ=
，所以
()2
s i n 26f
x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
答案：()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
例9：已知函数()sin 0,02y A x m A πωϕϕ⎛⎫
=++><< ⎪⎝
⎭
的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为
2π，直线6
x π=是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________ 思路：先求出A 的值，由题目所给最值可得：4022A -==，再由对称轴距离为2
π
可求得
22T ππ=⋅=，从而22T
πω==。

此时函数解析式为()2sin 2y x m ϕ=++，因为一条对
称轴为6x π
=，所以()2626k k Z k πππϕπϕπ⋅+=+∈⇒=+，由02πϕ<<得：6πϕ=
2sin 26y x m π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，当y 取到最大值时，即sin 216x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以
m a x 24y m =+=，进而2m =，解析式为2sin 226y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
答案：2sin 226y x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
例10：已知,,,,A B C D E 是函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
一个周期内图像上的
五个点，如图所示，,06A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图
象的一个对称中心，,B D 关于点E 中心对称，CD 在x 轴上
的投影为
12
π，则函数的解析式为____________
思路：设图像的最高点为M ，可知,M C 关于E 中心对称，
,B D 关于点E 中心对称，所以BM 与CD 关于E 中心对称，
所以BM 在x 轴上的投影也为
12
π，而,06A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，所以可得AM 在x 轴上的投影为
1264π
ππ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭，从而424T ππω=⋅=⇒=，此时()()s i n 2f x x ϕ=+ ，将,112M π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 可得：sin 2112πϕ⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，所以()26
2
k k Z π
π
ϕπ+
=
+∈ ，即3
π
ϕ=
，从而()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
答案：()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭。