四川省成都市棠湖中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文(含解析)

四川省成都市棠湖中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文（含
解析）
第I 卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{}{}
2
|10,|60A x x B x x x =+>=--≤，则A
B =（ ）
A. (]1,3-
B. ()1,3--
C. (]1,2-
D. ()1,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
解不等式，可得集合A 和集合B ，根据交集运算即可求得A B 。

【详解】解一元一次不等式10x +＞ 得1x -＞，即A 集合为
1-+∞（，）， 解一元二次不等式260x x --≤ 得23x -≤≤ ，即B 集合为[23]-，
， 即(]13A B ⋂=-，
故选：A ．
【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属基础题．
2.复数1
2z i
=
+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算得到结果. 【详解】复数()()12222222555
i i z i i i i --=
===-++- 对应的点坐标为22,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第四象限.
故答案为：D.
【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．
3.已知函数()2log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()
2f g =（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据反函数定义求出f x （）的反函数g x （），然后依次求函数值得答案．
【详解】由函数2y f x log x ==（
） ，得2y x =， 把x 与y 互换，可得2x
y =，即2x
g x =（
）， ∴2224g ==（） ，则()22442f g f log ===（）（
）． 故选：B
【点睛】本题考查函数的反函数的求法，函数值的求解，属于基础题。

4.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14
【答案】B 【解析】
试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，1
10216
a d -== 所以，716268a a d =+=+= 故选B.
考点：等差数列通项公式.
5.已知4cos 5=-
α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭α
A. 1
7 B. 7 C. 17
-
D. 7-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知cos α的值，结合同角三角函数关系式可求tanα，然后根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】
4
cos ,(,0)5
a απ=-∈-
∴(,)2
π
απ∈--
33
sin ,tan 54
αα∴=-=
则tan 1tan 41tan πααα
-⎛⎫
-
= ⎪
+⎝
⎭ 31
1
43714
-==-+
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．
6.“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π
”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】
设直线30
ax y +-=的
倾斜角为θ，则tan a θ=-，
由“1a <-”，可得4
π
θ>
，再举特例34π
θ=
，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π” 不能得到“1a <-”，即可得解.
【详解】解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则
tan 1a θ=->，即4
π
θ>
，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π
”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π”，不妨令34πθ=，
则3tan
14
a π
=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π
”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
7.已知,a b 是两条异面直线,直线c 与,a b 都垂直,则下列说法正确的是（ ） A. 若c ⊂平面α，则a α⊥ B. 若c ⊥平面α，则//a α,//b a C. 存在平面α，使得c α⊥,a α⊂,//b a D. 存在平面α，使得//c a ,a α⊥,b a ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】
在A 中，a 与α相交、平行或a ⊂α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在
C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α；在
D 中，a ∥b ，与已
知a ，b 是两条异面直线矛盾．
【详解】由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知： 在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a ⊂α，故A 错误；
在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α，故C 正确； 在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误． 故选：C ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断,还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
8.已知函数32y cos x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，则下列关于它的说法正确的是（ ） A. 图象关于y 轴对称
B. 图象的一个对称中心是2,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C. 周期是
3
π D. 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上是增函数． 【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【详解】函数cos 332y x sin x π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
则①函数图象关于原点对称，故选项A 错误． 函数的最小正周期为2T 3
π
=，故选项C 错误． ②当23x π=-
时203
f π
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，故选项B 正确．
③令232(k Z)2
2
k x k π
π
ππ-
+≤≤+
∈，整理得：226336
k x k π
π
ππ-
+≤≤+，所以函数在,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．故选项D 错误． 故选：B ．
【点睛】本题考查了利用诱导公式化简三角函数关系式，正弦型函数的性质的应用，属于基础题．
9.已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的焦距为4,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A. y =
B. 2y x =±
C. 3y x =±
D. y =
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出c ＝2，再根据1+b 2＝c 2＝4，可得b ，即可求出双曲线C 的渐近线方程.
【详解】双曲线C ：()2
2
210y x b b
-=＞的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，
∵1+b 2＝c 2＝4，
∴b =
∴双曲线C 的渐近线方程为y =x ， 故选：D ．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.
10.若函数2
(21)1y x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 3,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
B. 3,2
∞⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. 3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】B 【解析】
【分析】
由已知中函数的解析式，讨论对称轴与区间的位置关系求出结果 【详解】函数()2
211y x a x =+-+的图象是开口方向朝上，以直线21
2
a x -=
-为对称轴的抛物线
又函数在区间(]
,2-∞上是减函数，
故21
22a -≤
- 解得3
a 2
≤-
则实数a 的取值范围是3,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
故选B
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于解题
11.若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且sin α=()sin αβ-=,则sin β=（ ）
A.
10
B.
2
C.
12
D.
110
【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可． 【详解】β＝α-(α﹣β)，
∵
2π＜απ＜，2π＜βπ＜，π∴--＜β＜2π-， ∴2π-＜αβ2
π-＜，
∵sin （αβ-）=0，
∴αβ2π
-
-＜＜0，则cos （αβ-）====
∵sin α25
=
， ∴cos α22255511(
)5255
sin α=--=--=-=-，
则sin β＝sin[α-(α﹣β)]＝sin αcos （α﹣β）-cos αsin （α﹣β）
253105⎛⎫=
⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
（1010-）30252252250502-===， 故选：B
【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题
12.已知函数f （x ）=3x +x ，g （x ）=log 3x+x ，h （x ）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（ ） A. x 1＜x 2＜x 3 B. x 1＜x 3＜x 2
C. x 3＜x 1＜x 2
D. x 2＜x 3＜x 1
【答案】B 【解析】 【分析】
将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可．
【详解】函数f （x ）=3x +x ，g （x ）=log 3x+x ，h （x ）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3， 在坐标系中画出y=3x ，y=log 3x ，y=sinx 与y=﹣x 的图象，如下图所示：
由图形可知x 1＜0，x 2＞0，x 3=0， 所以x 1＜x 3＜x 2． 故选B ．
【点睛】求函数零点的常用方法有：（1）解函数对应的方程()0f x =，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知向量()()2,1,1,a b λ=-=，若()()
2//2a b a b +-，则实数λ=__________． 【答案】12
- 【解析】 【分析】
先计算2a b +及2a b -的坐标，再由向量共线的坐标表示求解即可 【详解】24,2123,2a b a b λλ+=--=--，，
()()2//2a b a b +-∴()42λ--=()321λ-，解1
λ2=- 故答案为12
-
【点睛】本题考查向量共线的的坐标运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题
14.函数2
()23f x x x =+-在[2,2]x ∈-上的最小值与最大值的和为____。

【答案】1 【解析】
函数()2
23f x x x =+-为开口向上的抛物线，对称轴为：1x =-.
所以()f x 在[]2,1--单调递减；在[]
1,2-单调递增. 所以()()()()14,25min max f x f f x f =-=-==. 最小值与最大值的和为1. 故答案为：1.
15.函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单
位长度得到． 【答案】
3
π 【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π
==-
，所以函数sin y x x =的的图像
可由函数2sin y x =的图像至少向右平移
3
π
个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
16.已知恰有两条不同的直线与曲线2
x y e -=和2
2x py =都相切，则实数p 的取值范围是
__________． 【答案】()0,2 【解析】 【分析】 设曲线x 2
y e
-=的切点为（11x y ，），其切线,2
x 2py =的切点坐标为（22x y ，），
【详解】设曲线x 2
y e
-=的切点为（12
1x x e
-，），2
2x py =的切点坐标为（2
2
22x x p
，），
121x y k e -==' ,222,2x x y p p '=
= ∴122x x
e p
-=① 切线方程为y-112
2
1,x x e
e
x x --=-且过点（22
2x x 2p ，），故22x 2p
-11x 2x 221e e x x --=-②
由①②得2
1x 1x 2+=,故2
x 12
2
1e p x -=有两解，由①知
2x 0p >，若2x 0,?p 0<<不合题意；所以
必有2x0,?p0
>>,即
2
x
1
2
2
1e
p x
-
=在
()
0∞
+
，有两解，令
f(x)=
1
2
x
e
x
-
,()()()()
1
2
2
1
2
,02,0;2,0,f x
x x
e
f x x f x x f x
x
-⎛⎫
-
''
⎪
⎝⎭
=<∴
'
在（02，）单减，在（2，+∞）单增，()
f x的最小值为()1
f2
2
=，又()()
,,0,,
x f x x f x
→+∞→+∞→→+∞故
11
p2
>,解0<p<2
故答案为()
0,2
【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数最值，函数与方程零点问题，转化化归能力，考查计算能力，是难题
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.
（1）求图中m的值；
（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.
【答案】(1) 0.0020
m= (2)390分钟. (3)
7
15
P=
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，列出方程，即可求解；
（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t ，根据频率分布直方图的中位数的计算方法，即可求解.
（3）根据分层抽样，可得在[450,500)内抽取4人，分别记为a b c d ,,,
，在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：
50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m ⨯+++++=，解得0.0020m =.
（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t . 因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<， 前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>， 所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =. 所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟. （3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016
640.00160.0008
⨯=+人，分别记为a b c d ,,,，
在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，
则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，
{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法.
其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，
所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715
P =
. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的相关性质，合理利用古典概型及其概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S ,公比1q >,且21a +为13,a a 的等差中项,314S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）记2log n n n b a a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n
n a =（2）()1
12
2n n T n +=-+
【解析】 【分析】
（1）由a 2+1是a 1，a 3的等差中项，可得()21321a a a +=+=214a -，又34
4414S q q
=
++=，解得2q =，即可得出通项;（2）2·
2?n n n n b a log a n ==，利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）由题意，得()21321a a a +=+.又312314S a a a =++=，
∴()222114a a +=-，∴24a =， ∵344414S q q =
++=，∴2q =或1
2
q =， ∵1q >，∴2q =.
∴2
224?22n n n n a a q
--===. （2）由（Ⅰ），知2n
n a =.∴2·
log 2?n n n n b a a n ==. ∴()123
1122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯. ∴()234
12122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯.
∴234
1222222n n n T n +-=++++
+-⨯
(
)()1
12122
12212
n n n n n ++-=
-⨯=---.
∴()1
12
2n n T n +=-+.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.
（1）证明：1//BC 平面1MCA ； （2）若122AB A M MC ===，2BC =1C 到平面1MCA 的距离.
【答案】（1）详见解析（2）3
2
【解析】 【分析】
（1）由线线平行可证明线面平行，即易证1//MN BC ，又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂平面
1MCA ，所以1//BC 平面1MCA ；
（2）由1AC 的中点N 在平面1MCA 上，即点1C 到平面1MCA 的距离与A 到平面1MCA 的距离相等，再由三棱锥1A AMC -的体积36
V =，1MCA
∆的面积1S =，结合三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】解：（1）连接1AC ，设1AC 与1A C 的交点为N ，则N 为1AC 的中点， 连接MN ，又M 是AB 的中点， 所以1//MN BC .
又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂平面1MCA ， 所以1//BC 平面1MCA .
（2）由22AB MC ==，M 是AB 的中点， 所以90ACB ︒∠=，
在直三棱柱中，12A M =，1AM =， 所以13AA = 又2BC =
所以2AC =
，15
AC =， 所以190A MC ︒∠=.
设点1C 到平面1MCA 的距离为h ， 因为1AC 的中点N 在平面1MCA 上， 故A 到平面1MCA 的距离也为h ， 三棱锥1A AMC -的体积113
36
AMC V S AA ∆=
•=
， 1MCA ∆的面积11
12
S A M MC =
•=， 则113
33V Sh h =
==
，得32
h =， 故点1C 到平面1MCA 3
【点睛】本题考查了由线线平行从而证明线面平行及等体积法求点到面的距离，重点考查了空间想象能力，属中档题.
20.已知函数()2ln 2f x x x x =+，()(1)g x a x =-（a 为常数，且a R ∈）.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）若当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，试确定自然数n 的值，使得(,1)a n n ∈+（参考数值3
2 4.48e ≈，ln 20.69≈，ln
3 1.10≈，ln 7 1.95≈）
【答案】（1）22
()()2f x f e e --==-极小值，()f x 无极大值；（2）6.
【解析】 【分析】
（1）求导，结合导函数，判定原函数的单调性，计算极值，即可。

（2）构造函数()F x ，结合导函数，针对a 取不同范围，判定原函数单调性，构造函数()h x ，结合导函数，判定单调性，结合零点判定定理，即可. 【详解】解（1）()()2ln 2f x x ='+，
()
20,x e -∈，()0f x '<，()f x 单调递减，
()
2,x e -∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， ()()
222f x f e e --==-极小值，
()f x 无极大值.
（2）记()()()F x f x g x =-= ()2ln 2x x a x a +-+，则()2ln 4F x x a =+'-， 当4a ≤时，因为1x >，()0F x '>，函数()F x 单调递增，()()12F x F >=， 函数()y F x =无零点，即函数()f x 与()g x 的
图像无交点；
当4a >时，()22
0(1)a
F x x e
-'=⇒=>且2
21a
x e -<<时，()0F x '<，
22a x e
->时，()0F x '>，
所以，()22min
a F x F e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()f x 与()g x 的图片有且只有一个交点，得220a
F e -⎛
⎫= ⎪⎝⎭
，
化简得2220a
a e --=， 记()22
2a h a a e
-=-，()22
10a h a e
-'=-<，()h a 在()4,a ∈+∞上单调递减，
又()6620h e =->，()32
772h e =-=
7272 4.480-≈-⨯<， 所以()6,7a ∈，即6n =.
【点睛】考查了利用导函数计算原函数的极值，考查了零点判定定理，考查了构造函数的思想，难度偏难.
21.已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点为12,F F ，点()P m n ,在椭圆C 上.
（1）设点P 到直线:4l x =的距离为d ，证明：2
d
PF 为定值；
（2）若02,,m A B <<是椭圆C 上的两个动点（都不与P 重合），直线,PA PB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率（结果用n 表示）
【答案】（1）见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）点()P m,n 在椭圆22x y C :143+=上，得22
m n 314⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，化简2
1PF m 42=-，即可证明；（2）当0m 2<<时，则n 0≠，直线PA,PB 的斜率一定存在.
设()()1122A x ,y ,B x ,y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即
y kx km n =-+，与椭圆C 的方程223x 4y 12+=，联立组成方程组，消去y ，由韦达定理
得11x y ，同理得2x ，2y ，即可求得12
AB 12
y y k x x -=
-的值
【详解】（1）由已知，得2
2
a 4,
b 3==，所以222
c a b 1=-=，即()()12F 1,0,F 1,0- 因为点()P m,n 在椭圆22x y C :143+=上，所以22m n 143+=，即22
m n 314⎛⎫=- ⎪⎝⎭
又
2PF ==
1
m 42=
=-
所以2m 4d 2
1PF m 4
2
-==-为定值. （2）当0m 2<<时，则n 0≠，直线PA,PB 的斜率一定存在.
设()()1122A x ,y ,B x ,y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即
y kx km n =-+，与椭圆C 的方程223x 4y 12+=，联立组成方程组，消去y ，
整理得(
)()2
2
34k
x
8k km n x +-- ()2
4km n 120+--=
由韦达定理，得()2
1
2
4km n 12
m x 34k
--⋅=+，于是()(
)
2
11124km n 12
x ,y kx km n 34k m
--=
=-++
根据直线PB 的斜率为k -，将上式中的k 用k -代替， 得()()()()2
2
22
2
4km n 124km n 12
x ,34k m
34k m
---+-=
=
⎡⎤++-⎣⎦
22y kx km n =-++
于是()()1212y y kx km n kx km n -=-+--++ ()12k x x 2km =+-
()()()()
2222
4km n 124km n 12k 2km 34k m 34k m ⎡⎤
--+-⎢⎥=+-++⎢⎥⎣⎦
()(
)()22222
2
8k m n 242m 34k k 34k m
+--+=⋅
+ ()2
2
2
8n 246m
k 34k m
--=⋅+
()(
)
()(
)
2
2
122
24km n 12
4km n 12
x x 34k m
34k m
--+--=
-
++
()()()()
22
224km n km n 16kmn 34k m 34k m
⎡⎤
--+⎣
⎦==-++
注意到223m 4n 12+=得22124n 3m -=
，于是m =因此，直线AB 的斜率为()
2212
AB
128n 246m k y y k x x 16kmn
---==
--
2223m 4n 126m 3m 8mn 8mn 4n -+====
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得
解，是中档题
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l
的参数方程为：22
x y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，(t 为参数).P 点的极坐标为()2,π，曲线C 的极坐标方程为
2cos sin ρθθ=．
(Ⅰ)试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标系下的坐标； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求PM 的值．
【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2
x y =，焦点坐标为10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；
【解析】 【分析】
(Ⅰ)把x cos ρθ=，y sin ρθ=代入曲线C 的方程2cos sin ρθθ=，可得曲线C 的直角坐标
方程．(Ⅱ)设点A ，B ，M 对应的参数为1t ，2t ，0t ，由题意可知12
0.2
t t t +=
把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得12t t +的值，可得0PM t =的值． 【详解】解：(Ⅰ)把x cos ρθ=，y sin ρθ=代入2
cos sin ρθθ=，可得曲线C 的直角坐标
方程为2
x y =，
它是开口向上的抛物线，焦点坐标为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
．
(Ⅱ)点P 的直角坐标为()2,0-，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中，
设点A ，B ，M 对应的参数为1t ，2t ，0t ，由题意可知12
02
t t t +=
． 把直线l
的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得2t 80-+=．
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因为2(52)48180=
-⨯=>，
所以120t t PM t +===
则 【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标的应用，参数的几何意义，属于基础题．
23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈.
（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 【答案】（1）4
(,][2,)3
-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，根据绝对值不等式的
解法即可解不等式()5f x ≥； （2）求出()()
min
23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221
f x x x =-++即可求a 的取值范围．
【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥， 由()5f x ≥得][4
,2,3⎛
⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当1
22
x -
<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以4
3
x ≤-．
所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++.
（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，
所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想
重点中学试卷可修改欢迎下载进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.
- 21 -。