高考一轮复习 基本初等函数2 知识点+例题+练习

1．对数的定义
如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(a >0且a ≠1)
①a log a N ＝____； ②log a 1＝____；
③log a a N ＝____； ④log a a ＝____.
(2)对数的重要公式
①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.
(3)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝__________________；
②log a M
N ＝____________；
③log a M n ＝__________(n ∈R )；
④log am M n ＝n
m
log a M .
3．对数函数的图象与性质
a >1
0<a <1
图 象
性
质
(1)定义域：________ (2)值域：____
(3)过点________，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的__函数 (7)是(0，＋∞)上的__函数
自我检测 1．2log 510＋log 50.25的值为________．
2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b
＝2，则m 的值为________．
3．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．
4．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log 1
8
x )>0的x 的取
值范围是__________________．
5．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__________．
探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1)log (2＋3)(2－3)； (2)12lg 3249－4
3
lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y
2
＝lg x ＋lg y ，求log (3－2
2)
x y
.
变式迁移1 计算：
(1)log 2748＋log 212－1
2log 242－1；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小．
(1)log 323与log 565
；
(2)log 1.10.7与log 1.20.7；
(3)已知1112
2
2
log log log b a c <<，比较2b,2a,2c 的大小关系．
变式迁移2 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________
(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(1
2
)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关
系为________．
探究点三 对数函数的图象与性质
例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[1
3
，2]都有|f (x )|≤1成立，试
求a 的取值范围．
变式迁移3 (1)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为______________．
(2)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填写“<”“＝”“>”)
转化化归与分类讨论思想
例 (16分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )及g (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．设M ＝{y |y ＝(1
2)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________.
2．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝1
2
5-，则a ，b ，c 大小关系为________．
3．2lg 5＋2
3
lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.
4．函数f (x )＝ln 1＋ax
1＋2x
(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．
5．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．
6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2
x ， x >0，log 1
2(－x )，x <0，
若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围为
______________．
7．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________.
8．下列命题：
①若函数y ＝lg(x ＋x 2＋a )为奇函数，则a ＝1；
②若a >0，则方程|lg x |－a ＝0有两个不相等的实根； ③方程lg x ＝sin x 有且只有三个实数根；
④对于函数f (x )＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)
2
.
以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上)
二、解答题(共42分)
9．(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．
10．(14分)(2010·北京东城检测)已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
11．(14分)已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．。