【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 第六章数列6.1数列的概念与简单表示法练习

课时作业27 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的( )．
A ．第7项
B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项
2．(2012某某100所重点中学10月联考)数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意
的正整数n (n ≥2，n ∈N *)，恒有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为( )．
A ．1
B ．299
C ．2100
D ．24 950
3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000＝( )．
A ．5
B ．－5
C ．1
D ．－1
4．数列{－2n 2＋29n ＋3}中最大项是( )．
A ．107
B ．108
C ．10813
D ．109 5．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421
，则a 5＝( )． A.32B.53C.85D.138
6．一函数y ＝f (x )的图象在给定的下列图象中，并且对任意a n ∈(0,1)，由关系式a n ＋1
＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )．
7．(2012课标全国高考)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为
( )．
A ．3 690
B ．3 660
C ．1 845
D ．1 830
二、填空题
8．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是__________． 9．已知数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3
(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________．
10．把整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，…，第40个数对是__________．
三、解答题
11．已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：
(1)S n ＝2n 2－3n ；
(2)S n ＝3n ＋b .
12．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，不等式f (x )≤0的解集有且只有一
个元素，设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)，
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n
3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 参考答案
一、选择题
1．C 解析：前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n ＋1，故令3n ＋1＝27，
∴n ＝9.
2．D 解析：易得a n a n －1
＝2n －1， ∴a 100＝a 100a 99·a 99a 98·…·a 2a 1
·a 1＝299·298·…·21·1＝2100（0＋99）2＝24 950.故选D. 3．D 解析：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)可得该数列为1，5，4，－1，－5，
－4，1，5，4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.故选D.
4．B 解析：a n ＝－2n 2＋29n ＋3
＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818， ∵294＝714
且n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 最大，最大值为a 7＝108.
故选B.
5．C 解析：选C.借助递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85
，故选C. 6．A 解析：由a n ＋1＞a n 可知数列{a n }为递增数列，又由a n ＋1＝f (a n )＞a n 可知，当x ∈(0，
1)时，y ＝f (x )的图象在直线y ＝x 的上方，故选A.
7．D 解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，
∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝115－a 1，
∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)
＝10＋26＋42＋…＋234＝15×（10＋234）2
＝1 830. 二、填空题
8．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32
n －2，n ≥2解析：当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，
∴a n ＝－32
n －2. ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32
n －2，n ≥2. 9．a n ＝13n 解析：∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3
，① ∴a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13
(n ≥2)，② ①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13
(n ≥2)． ∴a n ＝13n (n ≥2)． 经验证n ＝1时也满足上式，
∴a n ＝13n (n ∈N *)． 10．(4，9) 解析：看有序数对的后一个数，1，2，3，4，5出现的次数分别是1，2，
3，4，5次，所以后一个数为n 的数对必有n 个，解不等式1＋2＋3＋…＋n ≤40(n ∈N *)，
得n ≤8，当n ＝8时，共出现36个数对，故第40个数对为(4，9)．
三、解答题
11．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，
∴a n ＝4n －5.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.
当b ＝－1时，a 1适合此等式；
当b ≠－1时，a 1不适合此等式．
∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；
当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.
12．解：(1)∵f (x )≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a 2－4a ＝0⇒a ＝0或a ＝4.
又由a ＞0得a ＝4，
∴f (x )＝x 2－4x ＋4.
∴S n ＝n 2－4n ＋4.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2且n ∈N *. (2)∵T n ＝13＋－132＋133＋334＋…＋2n －53n ，① ∴13T n ＝132＋－133＋134＋335＋…＋2n －73n ＋2n －53
n ＋1.② ①－②得23T n ＝13－232＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋134＋…＋13n －2n －53n ＋1. ∴T n ＝13－n －13n .。