新编九年级数学(沪科版)下学期期末考试试卷

新编九年级数学（沪科版）下学期期末考试试卷（十）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．等腰三角形底边长为1Ocm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ B ）
A ．
512 B ．513 C ．1013 D ．1213
2．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为3
5
，则该班女生与男生的人数比是（ A ）
Ａ．32 Ｂ．35 Ｃ．23 Ｄ．25
3．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件 的左视图是（ A ）
4．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为（ A ）
A ．2∶1
B ．1∶2
C ．3∶1
D ．1∶3 5．如图，点A 、C 、B 在⊙O 上，已知∠AOB ＝∠ACB ＝α。

则α的值为（ B ）
A. 135°
B. 120°
C. 110°
D. 100° 6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，
＝
，则∠DAC 的度数是（ B ）
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 70°
7．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路 面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆的半径OA ＝（ D ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．377
(第5题图) (第6题图) (第7题图)
8．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°， 则CD 的长为（ B ） A ．
32
B ．
23
C ．
12
D ．
34
9．如图，已知DE ∥BC ，CE 和BD 相交于点O ，94S C ∶∶
=∆∆OB DOE S ，则AE ∶EB 为（ A ） A ．2∶1 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．5∶4
10．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B
后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB
O
D
A
B
C
俯视图 A ． B ． C ． D ．
上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ A ）
A ．52°
B ．60°
C ．72°
D ．76°
(第8题图) (第9题图) (第10题图)
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是
4
3。

12. 已知两圆的圆心距d ＝8，两圆的半径长是方程x 2
－8x ＋1＝0的两根，则这两圆的位置关系是
__ _外切_ __。

13．如图，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ′BC ′的位置时，AA ′∥BC ，∠ABC ＝70°，则∠CBC ′为 ____ 40 ____度。

14. 如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的EF ⌒上，若OA ＝3，∠1＝∠2，则扇形OEF 的面
积为 π3 。

(第13题图) (第14题图)
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，半圆的直径AB ＝10，P 为圆心，点C 在半圆上，BC ＝6。

（1）求弦AC 的长；
（2）若PE ⊥AB 交AC 于点E ，求PE 的长。

15．解：（1）∵AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，∴∠ACB＝90°。

在Rt△ABC 中，22221068AC AB BC =
-=-=，
（2）∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A PE ＝∠ACB． 又∵∠PAE＝∠CAB，∴△AEP∽△ABC，
∴
PE AP BC AC =，∴1
1026
8
PE
⨯∴=，
A
D
C
P
B
60° A
A'
B
C
C'
O
A B C
O
A
B
C ∴3015
84
PE ∴=
=。

16．如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ：
⑴ 求证：∠A ＝∠B ＋∠C ；
⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。

图① 图②
16．⑴ 提示：连接OA ；
⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立。

提示：连接OA 。

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知：如图，A 是以EF 为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF 交EF 于G ，又B 为AG 上一点，EB 的延长
线交半圆于点K 。

求证：EK EB AE ⋅=2。

17．证明，连结AF ，AK ∵EF 是直径， ∴∠EAF＝90°。

又∵AG⊥EF， ∴∠AFE＝∠GAE。

又∵∠AKE＝∠A FE ， ∴∠AKE＝∠EAG， ∠AEK＝∠AEB。

∴△AEB∽△KEA 。

∴
AE
EB
EK AE =， ∴EK EB AE ⋅=2。

18．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形。

请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据
求出它的侧面积。

主视图
俯视图
左视图
4cm
3cm
8cm
18．解：该几何体的形状是直四棱柱(答直棱柱，四棱柱，棱柱也给分)
由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm ，3cm 。

∴ 菱形的边长为5
2
cm ，
棱柱的侧面积＝
52
×8×4＝80（cm 2
）。

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO
＝120°，求⊙C 的半径和圆心C 的坐标。

19．解：连结AB ，易证AB 为⊙C 的直径。

∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°。

∴AB＝2AO ＝8。

∴⊙C 的半径为R ＝
2
AB
＝4。

再过C 作CE⊥BO 于E ，CF⊥AO 于F ，则 FO ＝
2
1
AO ＝2，OE ＝CF ＝AC·sin60°＝4×23＝32。

∴圆心C 的坐标为（32 ，2）。

20．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，•交边BC 于点E ，连结BD 。

（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明。

20．解：△DBE ∽△DAB ；△DBE ∽△CAE ；△ABD ∽△AEC 。

选择△ABD ∽△AEC 。

∵DA 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAE 。

∵∠D ＝∠C ，
∴△ABD ∽△AEC 。

六、（本题满分12分）
21．在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字－1、－2、1、2。

从袋中
任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球。

（1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程x 2
－3x ＋2＝0的根，则小明赢。

如果摸出的两个
小球上的数字都不是方程x 2
－3x ＋2＝0的根，则小亮赢。

你认为这个游戏规则对小明、小亮双方 公平吗？请说明理由。

21．解：（1）可能出现的所有结果如下：
－1 －2 1 2 －1 —— （－1，－2） （－1，1） （－1，2） －2 （－2，－1） —— （－2，1） （－2，2） 1 （1，－1） （1，－2） —— （1，2） 2 （2，－1） （2，－2） （2，1） ——
共12种结果；
（2）∵x 2
－3x ＋2＝0，
∴（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝1，x 2＝2；
∵摸出的两个小球上的数字都是方程x 2
－3x ＋2＝0的根的可能一共有2种， 摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有2种，
∴P 小明赢＝＝
61，P 小亮赢＝6
1， ∴游戏公平。

七、（本题满分12分）
22．如图①、②，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持
与铁环相切。

将这个游戏抽象为数学问题，如图2。

已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm ），
设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA ＝α，且5
3sin
a 。

（1）求点M 离地面AC 的高度BM （单位：厘米）；
（2）设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF 的长度（单位：厘米）。

A M
B
H
C
G
E D
F
22．解：过M 作与AC 平行的直线，与OA 、FC 分别相交于H 、N 。

（1）在Rt △OHM 中，∠OHM ＝90°，OM ＝5，
HM ＝OM×sinα＝3， 所以OH ＝4，
MB ＝HA ＝5－4＝1（单位）， 1×5＝5（cm ），
所以铁环钩离地面的高度为5cm ；
（2）因为∠MOH ＋∠OMH ＝∠OMH ＋∠FMN ＝90°，∠FMN ＝∠MOH ＝α，
所以53sin ==
FM FN a ，即得FN ＝5
3
FM ， 在Rt △FMN 中，∠FNM ＝90°， MN ＝BC ＝AC －AB ＝11－3＝8（单位）。

由勾股定理FM 2
＝FN 2
＋MN 2
，即FM 2
＝（5
3FM ）2＋82
， 解得FM ＝10（单位），
10×5＝50（cm ），
所以铁环钩的长度FM 为50cm 。

八、（本题满分14分）
23．如图，要在底边cm BC 160=，高cm AD 120=的ABC ∆的铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时
BC
HG
AD AM =。

(1)设矩形EFGH 的长HG ＝y ，宽x HE =，求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时， 矩形EFGH 的面积S 最大；
(3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？
请说明理由。

(注:围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。

23．解:(1)1603
4
+-
=x y ； (2)4800)60(3
4
1603422+--=+-
=x x x S ， 当60=x ，S 最大＝2
4800cm ; (3)当cm x 60=时，cm y 80160603
4
=+⨯-= 有两种情况:
Ⅰ.以HE 为桶高，HG 为桶底面的圆柱形的铁桶体积：3
219600060)280(cm V πππ=⋅⋅= Ⅱ.以HG 为桶高， HE 为桶底面的圆柱形的铁桶体积：3
227200080)260(cm V π
ππ=⋅⋅=
∵21V V >，故应以HE 为桶高，HG 为桶底面的圆柱形的铁桶体积较大。