油罐标尺刻度的设计

下面用数值方法求该方程的解。
R 首先将区间 [0, R ] 作 n 等分，即 H ， n 分点为 H i iH ，记 Vi Vb ( H i ) ，则
d 2V b dH
2 H Hi

Vi 1 2Vi Vi 1 (H ) 2
V2 2V1 g 1 因此有 Vi 1 2Vi Vi 1 g i V 2V g n 1 n 1 n 1 2 2 其中 g i f ( H i )(H ) ，g n 1 f ( H n 1 )(H ) V n ， 用矩阵表示为 2 1 V1 g 1 1 2 1 V 2 g 2 ， V g 1 2 n 1 n 1
Vmax
实际问题

1 Vmax 2
在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经 常使用大量的储油罐．油罐的外形为一个圆柱 体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔(见 图)．由于经常注油和取油，有时很难知道油 罐中剩油的数量．这给现有储油量的统计带来 很大的麻烦．显然，将剩油取出计量是不现实 的．因此，希望能设计一个精细的标尺：工人 只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部， 就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油 量的多少．这是一个来自油田的问题．
原 方 程 BX F 等 价 于 求 方 程 CY F 和 UX Y ，追赶法计算如下： c i 1 1 b1 ， i 1 ， i bi a i i 1 ，
i 1
i 2,3, , n ，
即得到 ci c1 1 ， i ， b1 bi a i i 1 i 2,3, , n ，
这是三对角型线性代数方程组，一般形式为 BX F ， 其中 x1 f1 b1 c1 x2 f2 a 2 b2 c 2 B ， X ，F ， x f a b n n n n 此时可用追赶法求解，把 B 分解为两个三角形矩阵的 乘积 B CU ，其中 1 1 1 1 2 a2 2 C ，U ， a 1 n n
Vmax 1 Vmax 2
数学模型
设圆柱的底面半径为 R ，长度为 L ；而 圆锥的底面半径也是 R ，高为 A ．若标尺被 油浸湿位置的高度为 H ，而此时罐内的油量 为 V ．那么我们的问题归结为求出函数 H H (V ), 0 V V max ， 其中
V max 2 2 R L R A ， 3
2
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换言之，要求油量函数
V V ( H ), 0 H 2 R
的反函数。 由于对称性， 我们只要研究 0 H R 的情形就行了。
问题的解法
求油量函数的解析方法
记 V ( H ) Vc ( H ) 2Vb ( H ), 0 H R ， 其中 Vc ( H ) 和 Vb ( H ) 分别为相应圆柱和圆锥 (一侧部分)中的储油量。
R θ H
A x r h H
A
x 再求得 r R1 ， A Rx hH ， A
2
x r h H
2
h 2 h h Q ( H , x) r arccos1 r 1 1 1 r r r 1 h RH 作变换 1 ，得 t r r 1 1 1 2 2 ， Q t (R H ) arccos 1 2 t t t
因此平面与圆锥面相交的截面面积为
P( ) 2
A A ( R ) R 0
R2 2 2 ( A x ) ( R ) dx ， 2 A
而 Vb ( H ) P ( )d ，记
0
H
2 A( R H ) R 2 RH H 2 f (H ) ln ， R RH 2 d Vb f (H ) 2 dH 则 Vb ( H ) 满足 V (0) 0, V ( R) 1 R 2 A b b 6 这是带边值条件的微分方程。
R θ H
容易求得
S ( H ) R 2 R ( R H ) sin ， RH arccos ， R
即得
2 H H H 2 Vc LS LR arccos1 1 1 1 。 R R R
解 CY F ： f i a i y i 1 f1 y1 ， yi ， i 2,3, , n ，
1
i
即得到
f i a i y i 1 f1 y1 ， y i ， i 2,3, , n ， b1 bi a i i 1 解 UX Y ： x n y n ， x i y i i x i 1 ， i n 1, n 2, ,1

Monte Carlo 积分法

1 0
x(1 x )sin [100 x(1 x )]d x
2
工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少
油罐标尺刻度的设计
实验目的

本实验涉及微积分和线性代数的若 干基本知识．通过实验复习函数的 反函数、定积分的应用和计算、解 微分方程和解代数方程组等内容； 并且介绍了连续型数学问题近似化 处理的若干基本技巧．
Vb ( H )
AH R 0
Q( H , x)dx ，
这个积分还是可以积分出来为初等函数。
求油量函数的数值方法
虽然上面求出了油量关于标尺的函数，但是其 表达式比较复杂，在实际中使用不方便，下面用数 值方法。这里以求 Vb ( H ) 为例。
z y
O
x
如图建立坐标系，则圆锥方程为 2 R 2 2 2 y ( R z ) 2 ( A x) , 0 x A A 它 与 平 面 z 的 交 线 为 双 曲 线 的 一 部 分 2 R A 2 2 2 y ( R ) 2 ( A x) , 0 x A ( R ) ， A R
实验任务
L 5 为例， V0 0 ， 1． 以 R 1， A 1， 求对应于 V 1 ，
Vi iV 和 V18 17.8024 的刻度位置 H i* 的值，并按 1 : 20 比
例制作一个具体的标尺模型。 2．用数学软件解两点边值问题来计算油量函数 V ( H ) 在分点 H i 上的值(取分点间距为 0.05)，并将所得结果进行 比较和验证。 3．在实际情形中，油罐的两侧还可能由球冠构成。设 圆柱长度为 L 5 ，半径为 R 1 ，而球冠高度为 A 1 或 A 0.6 ，同样研究油量与储油高度的函数关系，进行数值 计算。 4 ．对于这个实际应用问题，能否给出求解的其它思 路？请详细说明相关步骤。