2021-2022学年度冀教版九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系章节测评试卷(含答案详解)

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知AB 是O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CE 是O 的切线，切点为D ，过点A 作AE CE ⊥于点E ，交O 于点F ，连接OD 、AD 、BF ．则下列结论不一定正确的是（ ）
A ．OD BF ⊥
B ．AD 平分EA
C ∠ C ．1
2ED BF = D ．12
EF OD = 2、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）
A ．130°
B ．160°
C ．100°
D ．110°
3、下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．相等的圆心角所对的两条弦相等
B ．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D ．等弧就是长度相等的弧
4、若正方形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
5、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）
A 3π
B 3π-
C 23π-
D ．23
π 6、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 在对角线BD 上，以OB 为半径作O 交BC 于点E ，连接DE ；若DE 是O 的切线，此时O 的半径为（ ）
A ．716
B ．2110
C ．2116
D ．3516
7、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠CBD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．36°
C ．60°
D ．72°
8、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A ．不能构成三角形
B ．这个三角形是等边三角形
C ．这个三角形是直角三角形
D ．这个三角形是等腰三角形
9、如图，已知O 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM ）．
A ．12π
B ．2
3πC ．3π-D ．4π-10、已知半圆O 的直径AB ＝8，沿弦EF 折叠，当折叠后的圆弧与直径AB 相切时，折痕EF 的长度m （ ）
A ．m ＝
B ．m ＝4
C ．4≤m
D ．m 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC BC ＝2，以点A 为圆心作圆弧，与BC 相切于点D ，且分别交边AB ，AC 于点EF ，则扇形AEF 的面积为 _____．（结果保留π）
2、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．
3、如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若
，则sin∠ACB的值为 _____．
tan∠BAC＝24
7
4、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________2
cm．
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为为
1
π，则阴影部分的面积为 _____．（保留π）
3
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．
(1)求证：AD是O的切线．
AB ，求平行四边形OAEC的面积．
(2)若O的半径为4，8
2、如图，AB 是O 的切线，D 点在O 上，AD 与O 相交于C ，CE 是O 的直径，连接BC ，若90A ∠=︒．
(1)求证：CB 平分ACE ∠；
(2)当2AB =，1AC =时，求O 的半径长．
3、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，与AC 交于点D ，DE DB ⊥，垂足为D ，与AB 交于点E ，经过B ，D ，E 三点的O 与BC 交于点F ．
(1)求证AC 是O 的切线；
(2)若3BC =，4AC =，求O 的半径．
4、如图，四边形ACBD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，点P 在AB 延长线上，PCB BDC ∠=∠．
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)求证：2PE PB PA =⋅；
(3)若BC =ACD 的面积为12，求PB 的长．
5、如图，AB 为O 的切线，B 为切点，过点B 作BC OA ⊥，垂足为点E ，交O 于点C ，连接CO ，并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，与O 交于点F ，连接AC ．
(1)求证：AC 为O 的切线：
(2)若O 半径为2，4OD =．求阴影部分的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，切线的性质即可判断A 选项；根据OD AF ∥，OA OD =，进而即可判
断B 选项；设,FB OD 交于点G ，证明四边形DEFG 是矩形，由垂径定理可得12
FG FB =，进而可得12
ED BF =进而判断C 选项；无法判断D 选项． 【详解】
解：∵AB 是O 的直径，
∴90AFB ∠=︒
AF FB ∴⊥
∵CE 是O 的切线，切点为D ，
∴OD CE ⊥
OD AF ∴∥
∴OD BF ⊥，故A 选项正确，
OA OD =
OAD ODA ∠=∠∴
OD AF ∥
ODA EAD ∴∠=∠
OAD EAD ∴=∠∠，
即AD 平分EAC ∠，故B 选项正确，
设,FB OD 交于点G ，如图，
∵,OD AE FB AE ⊥∥，OD BF ⊥
∴四边形DEFG 是矩形
ED FG ∴=，FB OD ⊥
FB OD ⊥
12
FG FB ∴= ∴12ED BF =
，故C 选项正确 若12EF OD =，则12
DG OD = 由于点G 不一定是OD 的中点，故D 选项不正确；
故选D
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，矩形的判定，掌握圆的相关知识是解题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
由三角形内角和以及内心定义计算即可
【详解】
∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒
∴100ABC ACB ∠+∠=︒
又∵O 是ABC 的内心
∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，
∴OBC OCB ∠+∠1()502
ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°
故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
3、B
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．
4、C
【解析】
【分析】
根据圆内接正多边形的性质可得正方形的中心即圆心，进而可知正方形的对角线即为圆的直径，根据勾股定理求得正方形对角线的长度即可求得它的外接圆的半径．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴,AC BD 的交点O 即为它的外接圆的圆心，
4AB BC ==
AC ∴=
OA ∴=故选C
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质，勾股定理，理解正方形的对角线即为圆的直径是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12
ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC
中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形
面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】
解：连结OC ，
∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，
∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，
∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，
∴∠ACD =90°-∠B =60°，
∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，
在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =
在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，
∴OD =OA =1，DC =AC
∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，
S 阴影=1133
AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．
【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积
是解题关键．
6、D
【解析】
【分析】
设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，根据等腰三角形性质BF EF =，根据四边形ABCD 为矩形，得出∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，可证BOF BDC ∽．得出BF BO BC BD
=，根据勾股定理
10BD ，代入数据810BF BO =，得出4455
BF EF OB r ===，根据勾股定理在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2
225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，根据DE 为O 的切线，利用勾股定理()2
22222618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝，解方程即可． 【详解】
解：设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，
∵OB =OE ，
∴BF EF =，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，
∴BOF BDC ∽． ∴BF BO BC BD
=， ∵6,8AB AD ==，
∴10BD ==， ∴
810BF BO =，
∴4455
BF EF OB r ===， ∴885
EC r =-． 在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2
225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 又∵DE 为O 的切线，
∴OE DE ⊥， ∴()2
2222
2618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝， 解得3516
r =或0（不合题意舍去）． 故选D ．
【点睛】
本题考查矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线，勾股定理，一元二次方程，掌握矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线性质，勾股定理，一元二次方程，矩形性质，等腰三角形性质，圆的半径相等，勾股定理，一元二次方程，是解题关键．
7、B
【解析】
【分析】
求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
解：∵正五边形ABCDE 中，
∴∠BCD =()521805
-⨯︒
=108°，CB =CD ， ∴∠CBD =∠CDB =1
2（180°-108°）=36°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，三角形构成的条件，判断即可．
【详解】
如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC ，OE ，OG ，OA =1，∠AOC =60°，∠AOE =45°，∠AOG =30°，
∴OC =OAcos 60°=12，OE = OAcos ，OG = OAcos
∵2221
123()2444+=+==， ∴这个三角形是直角三角形，
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，熟练掌握正多边形的计算是解题的关键．
9、D
【解析】
【分析】
连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积，阴影部分的面积等于弓形的6倍．
【详解】
解：连接OD 、OE ，
OM =O 的内接正六边形ABCDEF ，
60,DOE OD OE ∴∠=︒=，
∴△DOE 是等边三角形，
∴∠DOM =30°，
设MD x =，则2OD x =
2234x x ∴+=，
解得：1x =，
2OD ∴=，
根据图可得：()6ODE ODE S S S =-阴影部分扇形正三角形，
2
6026(3)360
π=-，
4π=-
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是知道阴影部分的面积等于三个弓形的面积．
10、D
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，根据垂径定理可得2EF QF =,设OQ x =，则2216QF x =-，分情况讨论求得最大值与最小值，即可解决问题
【详解】
解：如图，
根据题意，折叠后的弧为EPF ，P 为切点，设点D 为EPF 所在的圆心，,O D 的半径相等，即CO DP =，连接,,,DE EO FO DF ，设,OD EF 交于点Q ，
根据折叠的性质可得,DE OE DF OF ==，又OE OF =则四边形DEOF 是菱形，且142
OF AB == 22216OF OQ QF =+=
设OQ x =，则2216QF x =-
则当QO 取得最大值时，QF 取得最小值，即EF 取得最小值，
当QO 取得最小值时，EF 取得最大值，
根据题意，当点P 于点B 重合时，四边形CDPO 是正方形
则OD =
此时EF OD ==
当点P 与点O 重合时，此时OQ 最小，OQ 122
CO ==
则2216QF x =-16412=-=
即QF =
则EF =
m ∴≤≤故选D
【点睛】
本题考查了垂径定理，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，分别求得EF 的最大值与最小值是解题的关键．
二、填空题
1、4
π##14π 【解析】
【分析】
先判断出△ABC 是等腰直角三角形，从而连接AD ，可得出AD =1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可．
【详解】
解：∵AB =AC BC =2，
∴AB 2+AC 2=BC 2，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC =90°，
连接AD ，则AD =1
2BC =1，
则S 扇形AEF =29013604ππ⨯=． 故答案为：4
π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD 的长度及∠BAC 的度数．
2【解析】
【分析】
过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】
如图所示，ABC 是正三角形，故O 是ABC 的中心，60CAB ∠=︒，
∵正三角形的边长为2，OE ⊥AB ∴112AE AB ==，1302
OAE CAB ∠=∠=︒， ∴12
OE OA =， 由勾股定理得：222AO AE OE =+， ∴2221
()2
AO AE AO =+， ∴2314
AO =，
∴AO =负值舍去)．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
3、45##0.8
【解析】
【分析】
连接OI ，BI ，作OE ⊥AC ，可证△AOD 是等腰三角形，然后证明OD ∥BC ，进而∠ADO ＝∠ACB ，解三角形AOD 即可．
【详解】
解：如图，连接OI并延长交AC于D，连接BI，
∵AI与⊙O相切，
∴AI⊥OD，
∴∠AIO＝∠AID＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，
∵AI＝AI，
∴△AOI≌△ADI（ASA），
∴AO＝AD，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠OIB＝∠CBI，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
作OE⊥AC于E，
∵tan∠BAC＝OE
AE
＝
24
7
，
∴不妨设OE＝24k，AE＝7k，∴OA＝AD＝25k，
∴DE＝AD﹣AE＝18k，
∴OD 30k ，
∴sin∠ACB ＝
OE OD ＝2430k k ＝45 ． 故答案是：4
5
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4、【解析】
【分析】
设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(222+6x x -=，解一元二次方程求出
1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．
【详解】
解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理()(2
22+6x x -=，
整理得：2680x x -+=，
解得1224x x ==，，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
，
三角形面积为1
24=4
2
⨯⨯2
cm．
4．
【点睛】
本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
5
3
π
【解析】
【分析】
连接OE，首先由弧长公式求得∠EOD＝60°；然后利用△BEO的性质得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答．
【详解】
解：如图，连接OE，
∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，
∴OE⊥BE．
设∠EOD＝n°，
∵OD＝1
2CD＝1，弧DE的长为
1
3
π，
∴
1
180
nπ⨯
＝
1
3
π．
∴∠EOD＝60°．
∴∠B＝30°，∠COE＝120°．
∴OB＝2OE＝2，BE AB＝2AC，∵AC＝AE，
∴AC ＝BE
∴S 阴影＝S △ABC ﹣S 扇形OCE ﹣S △OBE
＝123﹣21201360
π⨯﹣12×13π．
3π．
【点睛】
考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)32
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，证明AOB AOD △≌△，可得OBA ODA ∠∠=，根据切线的性质可得90OBA ∠=︒，进而可得90ODA =∠°，即可证明AD 是O 的切线；
（2）根据平行四边形OAEC 的面积等于2倍ADO S △即可求解．
(1)
证明：连接OD ．
∵四边形OAEC 是平行四边形，
∴AO CE ∥，
,AOD ODC AOB OCD ∠∠∠∠∴==
OD OC =
ODC OCD ∴∠=∠
AOB AOD ∴∠=∠
又∵,AO AO OD OB ==，
AOB AOD ∴△≌△
∴OBA ODA ∠∠=，
∵AB 与O 相切于点B ，
OB AB ∴⊥
90OBA ∴∠=︒
∴90ODA =∠°，
OD AD ∴⊥
又∵OD 是O 的半径，
∴AD 为O 的切线．
(2)
∵AOB AOD ≅△△
8AB AD ∴==
在Rt △AOD 中，84AD OD ==，
∴平行四边形OABC 的面积是28432ADO S =⨯=△
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)O 的半径长为52
．
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质，可得OB AD ∥，由平行线的性质，等边对等角，等量代换即可得
ACB OCB ∠=∠，进而得证； （2）连接BE ，根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理求得BC ，证明BAC EBC △△列出比例式，代入数值求解可得CE ，进而求得半径
(1)
证明：如图，连接OB ，
∵AB 是O 的切线，
∴OB BA ⊥，
∵90A ∠=︒，
∴OB AD ∥，
∴ACB OBC ∠=∠，
∵OB OC =，
∴OCB OBC ∠=∠，
∴ACB OCB ∠=∠，即BC 平分ACE ∠；
(2)
解：如图，连接BE ，
在Rt ABC 中，2AB =，1AC =，
由勾股定理得：
BC ==
∵CE 是O 的直径，
∴90CBE ∠=︒，
∴BAC EBC ∠=∠，
∵ACB OCB ∠=∠，
∴BAC EBC △△，
∴
AC BC
BC CE ==， 解得：5CE =，
∴O 的半径长为5
2
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键．
3、 (1)见解析 (2)158
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证DBC ODB ∠=∠，从而∥OD BC ，得到OD AC ⊥，根据切线的判定方法可证AC 是O 的切线；
（2）证明AOD ABC △△，利用相似三角形的性质可求O 的半径．
(1)
证明：连接OD ，
∵DE DB ⊥，
∴90EDB ∠=︒，
∴BE 是直径，O 是BE 的中点．
∵BD 平分ABC ∠，
∴OBD DBC ∠=∠，
∵OB OD =，
∴OBD ODB ∠=∠，
∴DBC ODB ∠=∠，
∴∥OD BC ．
又∵90C ∠=︒，
∴90ADO ∠=︒，
∴OD AC
⊥，
又∵AC经过半径OD的外端，
∴AC是O的切线．
(2)
解：∵∥
OD BC，
∴AOD ABC
∠=∠，
在AOD
△与ABC中，
AOD ABC
∠=∠，OAD BAC
∠=∠，∴AOD ABC
△△．
∴AO OD AB BC
=，
在Rt ACB中，3
BC=，4
AC=，
∴5
AB=.
设半径为r，则OD OB r
==，5
OA r
=-，
即5
53
r r
-
=，
∴
15
8
r=．
∴O 的半径为
158
． 【点睛】 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
(3)PB 【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得90ACB ∠=︒，根据等边对等角可得12∠=∠，进而证明1PCB ∠=∠，即可求得90PCB OCB ∠+∠=︒，从而证明PC 是⊙O 的切线；
（2）由（1）可得2PCB ∠=∠，进而证明ACP CBP △∽△，可得2PC PA PB =⋅，根据等角对等边证明PC PE =，即可得证2PE PB PA =⋅；
（3）作AF CD ⊥于点F ，勾股定求得AC =，证明∽ADF ABC ，进而求得DF 的长，设CF AF a ==，根据△ACD 的面积为12，求得4CF AF ==，勾股定理求得AB ，由ACP CBP △∽△可得4=PA PB ，即可求得PB 的长．
(1)
连接O C ，如图，
∵AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
即190OCB ∠+∠=︒．
2BDC ∠=∠，PCB BDC ∠=∠，
2PCB ∴∠=∠
OA OC =，
12∠∠∴=.
1PCB ∴∠=∠，
90PCB OCB ∴∠+∠=︒.
∴⊥OC PC ．
又OC 是O 半径，
PC ∴是⊙O 的切线．
(2)
由（1），得2PCB ∠=∠．
P P ∠=∠，
ACP CBP ∴△∽△.
PC PB PA PC
∴=， 2PC PA PB ∴=⋅． CD 平分ACB ∠，
ACD BCD ∴∠=∠.
又2PCB ∠=∠，
2ACD BCD PCB ∴∠+∠=∠+∠，即PEC PCE ∠=∠．
PC PE ∴=，
2PE PA PB ∴=⋅.
(3)
作AF CD ⊥于点F ，如图，
90AFD ∴∠=︒． CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，
45BCD ACD ∴∠=∠=︒．
CF AF ∴=，由勾股定理得：AC =．
ADC ABC ∠=∠，90AFD ACB ∠=∠=︒，
ADF ABC ∴∽，
AF DF AC BC ∴==
2BC =
2DF ∴=.
设CF AF a ==，
2CD a ∴=+，
1(2)122
ACD S a a ∴=+=△. 解得4a =或6a =-（舍去）．
4CF AF ∴==．
Rt△ACF 中，由勾股定理得：AC =
1
2CB AC ∴
=，AB == 由（2）得ACP CBP △∽△，
12
PC CB PB PA AC PC ∴===. 2PA PC ∴=，2PC PB =，
4PA PB ∴=，
3AB PB ∴=，
1
3PB AB ∴==【点睛】
本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5、 (1)见解析
(2)23
S π=阴影 【解析】
【分析】
（1）根据切线的判定方法，证出OC AC ⊥即可；
（2）由勾股定理得，BD =BOD S =△Rt BOD 中，根据90DBO ∠=︒，结合锐角三角函数求出角60BOD ∠=︒，再利用扇形的面积的公式求解即可．
(1)
解：如图，连接OB ，
∵AB 是O 的切线，
∴OB AB ⊥，即90∠=︒ABO ，
∵BC 是弦，OA BC ⊥，
∴CE BE =，
∴AC AB =，在AOB 和AOC △中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴()SSS AOB AOC ≌△△，
∴90ACO ABO ∠=∠=︒，即AC OC ⊥，
∴AC 是O 的切线；
(2)
解：在Rt BOD 中，
由勾股定理得，BD
，122
BOD S =⨯=△ 在Rt BOD 中，90DBO ∠=︒， ∴21cos 42
OB BOD OD ∠===， ∴60BOD ∠=︒，
∴
6042
3603
BOF
S
ππ
︒⨯
==
︒
扇
，
∴
2
3
BOD BOF
S S S
π=-
阴影扇
△
．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数、扇形的面积公式，解题的关键是掌握切线的判定方法，锐角三角函数的知识求解．。