第12讲 存在量词与全称量词 (解析版)

第12讲 存在量词与全称量词 (解析版）【高中新知识预习篇】
一、基本知识及其典型例题
知识一 量词
【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)矩形的对角线不相等； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)存在x ∈N,使得2x ＋1是偶数；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 【解析】(1)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为存在量词命题． (2)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (3)含有存在量词“存在”，故是存在量词命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为存在量词命题． 【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0； （2）菱形都是正方形；
（3）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数． 【详解】
（1）该命题是特称命题， （2）该命题是全称命题， （3）该命题是特称命题，
【例2】将下列命题用“∈”或“∈”表示．
1.全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号 ∈
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，可用符号简记为“∈x ∈M ，p (x )”
2.存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ∈
存在量词命题 （特称命题）
含有存在量词的命题
形式
“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为“∈x 0∈M ，p (x 0)”
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <0)至少存在一个负根；
【解析】 (1)∈x ∈R ，x 2≥0.(2)∈x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <0)． 【变式2】用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立； （3）任意实数乘1-，都等于它的相反数； （4）存在实数x ，使得32x x >. 【答案】答案见解析. 【分析】
按照全称命题和特称命题的定义进行求解 【详解】
解：（1）x R ∀∈，x 能写成小数形式； （2）(,),,x y x R y R ∃∈∈，使30x y ++<； （3）,(1)x R x x ∀∈⋅-=-；
（4）32,x R x x ∃∈>.
【点睛】
此题考查全称命题和特称命题的含义及符号表示，属于基础题.
【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x ∈R ，使1
x －1＝0；
(2)对任意实数a ，|a |＞0；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．
【解析】(1)是存在量词命题．假命题，因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立．
(2)是全称量词命题．假命题，因为|0|＝0，所以|a |＞0不都成立．
(3)是全称量词命题．假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (4)是存在量词命题．假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解 【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（ ） A.负数没有对数；
B.对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；
C.二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；
D.∈x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0. 【解析】ABC 为真命题．
D 中，当0==y x 时，x 2＋|y |=0，不符合。

故为假。

【变式3.2】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；
(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2
,0x R x
∀∈.真命题；
(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；
(4)3
,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.
【分析】
利用符号“∀”与“∃”的意义改写，并判断真假. 【详解】
(1)2,0∈≥∀x R x ，是真命题；
(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；
(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；
(4)3
,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q =
=∈.
【点睛】
本题考查特称全称命题及其真假判断，是基础题.
【例4】（全称量词命题的否定）写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)∈a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数末位是0.
【解析】(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：∈a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
【练习4】写出下列全称量词命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
【解析】(1)⌝p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)⌝p：有些自然数的平方不是正数．
(3)⌝p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．
(4)⌝p：存在实数x0，使得x20＋1<0.
【例5】（存在量词命题的否定）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∈x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.
【解析】 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“∈x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题． 【变式5】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p ：∈x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0； (2)p ：有些素数是奇数； (3)p ：有些平行四边形不是矩形． 【解析】
(1) ⌝p ：∈x >1，x 2－2x －3≠0.(假) (2) ⌝p ：所有的素数都不是奇数．(假) (3) ⌝p ：所有的平行四边形都是矩形．(假)
【例6】已知p ：∈x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果⌝p 是真命题，那么a 的取值范围是 . 【解析】⌝p ：∈x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0，显然当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13；
当a <0时，满足题意． 所以a 的取值范围是a ≤1
3
.
【变式6】已知命题p ：3x ∀≥，使得21x m -≥是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】5m ≤. 【分析】
只需3x ∀≥时，21x -的最小值符合条件，然后求解m 的取值范围. 【详解】
解：若命题p ：3x ∀≥，使得21x m -≥是真命题，则只需当[
)3,x ∈+∞时，()min 21x m -≥成立，即
231m ⨯-≥，得5m ≤.
【点睛】
本题根据全称命题的真假求解参数的取值范围，考查不等式的恒成立问题，属于简单题.
一、选择题
1.命题x R ∀∈,2
10x 的否定形式是（ ）
A ．200,10x R x ∃∈+>
B ．2
00,10x R x ∀∈+≤ C ．2
00,11x R x ∃∈+< D ．2
00,10x R x ∃∈+≤
【解析】因为命题x R ∀∈,210x 是含有一个量词的全称量词命题,所以它的否定是
200,10x R x ∃∈+≤.故选：D
2.给出下列命题：
∈存在实数x 0>1，使x 20>1；∈全等的三角形必相似；∈有些相似三角形全等；∈至少有一个实数a ，使ax
2
－ax ＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解析】由存在量词及存在量词命题的定义知∈∈∈为存在量词命题．故C 3．在下列给出的四个命题中，为真命题的是( ) A.a R ∀∈，b Q ∃∈，220a b += B.n Z ∀∈，m Z ∃∈，nm m = C.n Z ∀∈，m Z ∃∈，2n m >
D.a R ∀∈，b Q ∃∈，221a b +=
【解析】A ，若2a =，则220a b +=不成立，故A 错误，
B ，当0m =时，nm m =恒成立，故 B 正确，
C ，当1n =-时，2n m >不成立，故C 错误，
D ，若2a =，则220a b +=不成立，故D 错误，
故选B
4．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a <<
B ．a ≤a ≥
C ．a ≤≤
D ．a <a >
【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，
即“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥”是真命题，故24120a ∆=-≤，解得a ≤≤ 故选：C ．
5．对下列命题的否定说法正确是（ ）. A ．P ：x R ∀∈，0x >；p ⌝：x R ∃∈，0x > B ．P ：x R ∃∈，21x ≤-；p ⌝：x R ∃∈，21x >-
C ．P ：如果2x <，那么1x <；p ⌝：如果2x <，那么1≥x
D ．P ：x R ∀∈，使210x +≠；p ⌝：x R ∃∈，使210x += 【答案】D 【分析】
利用全称命题的否定判断ACD ；利用特称命题的否定判断B. 【详解】
因为P ：x R ∀∈，0x >是全称命题；所以p ⌝：x R ∃∈，0x ≤，A 错误； 因为P ：x R ∃∈，21x ≤-是特称命题；所以p ⌝：x R ∀∈，21x >-，B 不正确
因为P ：如果2x <，那么1x <等价于“任意2x <，都满足1x <”,是全称命题；所以p ⌝：存在2x <，使得1≥x ，C 不正确；
因为P ：x R ∀∈，使210x +≠是全称命题；所以p ⌝：x R ∃∈，210x +=，D 正确， 故选：AD.
6．命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≥ B ．4a ≥ C ．2a ≥- D ．0=a
【答案】B 【分析】
求出给定命题为真命题的a 的取值集合，再确定A ，B ，C ，D 各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解. 【详解】
命题“2
[1,2],x x a ∃∈≤"等价于1a ≥，即命题“2
[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题所对集合为[1,)+∞， 所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,)+∞，显然只有[4,)+∞ [1,)+∞，{4} [1,)+∞, 所以选项ACD 不符合要求，选项B 正确. 故选：B 二、多选题
7．设命题:67p n N n ∀∈+，
为质数，则（ ） A ． p ⌝为假命题 B ． :N,67p n n ⌝∃∈+不是质数 C ． p ⌝为真命题 D ． :N,67p n n ⌝∀∈+不是质数
【答案】BC 【分析】
举反例可得命题p 是假命题，则可判断p ⌝为真命题，根据全称命题的否定为特称命题可得p ⌝.
【详解】
当3n =时，6725n +=，且25不是质数，故命题p 是假命题，则p ⌝为真命题，故C 正确； 根据全称命题的否定为特称命题可得p ⌝：x N ∃∈，67n +不是质数，故B 正确. 故选：BC.
8．下列说法中正确的个数是（ ）
A ．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
B ．命题“2,20x R x ∀∈+<”是全称量词命题；
C ．命题“x R ∃∈，2440x x ++≤”是存在量词命题．
D ．命题“不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根”是真命题； 【答案】BC 【分析】
根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC ，根据判别式判断D. 【详解】
A 中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A 错误；
B 中命题“2,20
x R x ∀∈+<”是全称量词命题,故B 正确；
C 中命题“x R ∃∈,2440x x ++≤”是存在量词命题,故C 正确；
D 中选项中当140m ∆=+<时，即当14
m <-时，方程20x x m +-=没有实数根,因此，此命题为假命题. 故选：BC
9．已知命题:p x R ∃∈，2220x x a ++-=为真命题，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．0 C ．3 D ．3-
【答案】AC 【分析】
由题意可得出0∆≥，求出实数a 的取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】
由于命题:p x R ∃∈，2220x x a ++-=为真命题，则()2
242440a a ∆=--=-≥，解得1a ≥.
符合条件的为A 、C 选项. 故选：AC.
10．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A ．命题p ：,(0,1)∀∈x y ，2x y +<，则p ⌝：00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y
B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件
C ．命题p ：x R ∀∈，20x >，则p ⌝：x R ∃∈，20x <
D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 【答案】ABD 【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，可判定A 、B ，根据充分条件、必要条件的判定方法，可判定C 、D ，即可求解. 【详解】
由命题p ：,(0,1)∀∈x y ，2x y +<是全称量词命题，则p ⌝：00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ， 所以A 正确；
由1,1a b >>时一定有1ab >，因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，所以B 正确； 由命题p ：x R ∀∈，20x >，为全称命题，可得p ⌝：x R ∃∈，20x ≤，所以C 错误；
由5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，“5a <”是“3a <”的必要条件，所以D 正确． 故选：ABD
三、填空题
11.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∈”或“∈”可表述为_____________． 【解析】∈x 0<0，(1＋x 0)(1－9x 0)>0
12．命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______________ 【答案】存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】∈原命题：全等三角形的面积都相等，为全称命题， ∈它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等， 故答案为：存在两个全等三角形的面积不相等
13.有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____． 【答案】（3） 【分析】
由所有男生都爱踢足球是一个全称命题，根据全称命题的否定求解即可. 【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，即要否定结论又要改写量词 所有男生都爱踢足球，是一个全称命题，
所以“所有男生都爱踢足球”的否定是：至少有一个男生不爱踢足球； 故答案为：（3）．
14．若“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，则实数m 的最小值为___________. 【答案】3 【分析】
根据特称命题的否定为全称命题，可得“[1,2]x ∀∈-，21x m -≤”为真命题，然后转化为恒成立问题求解. 【详解】
因为“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，所以“[1,2]x ∀∈-，21x m -≤”为真命题，所以21m x ≥-对
[1,2]x ∈-恒成立，即()
2
max
1
3m x ≥-=.
故答案为：3.
四、解答题
15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. （1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； （2）对任意非零实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则11x >2
1
x ； （3）对任意的x ∈R ，x 2+x +1=0都成立； （4）∈x ∈R ，使得x 2+1=0； （5）每个正方形都是平行四边形.
【答案】（1）（4）为存在量词命题；（2）（3）（5）为全称量词命题；（1）真命题，（2）假命题，（3）假命题，（4）假命题，（5）真命题. 【分析】
根据全称命题和特称命题的概念依次判断即可得出结论. 【详解】
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除;例如99,990，……，所以为真命题；
（2）存在x 1，x 2，例如x 1=-1<x 2=1，则
12
11x x <,所以（2）为假命题 ； （3）x 2+x +1=0的=30∆-<，所以方程无实根，故（3）为假命题； （4）∀x ∈R ，使得x 2+1>0；故（4）为假命题；
（5）{正方形} {平行四边形}，则每个正方形都是平行四边形，故（5）为真命题. 【点睛】
本题主要考查全称命题和特称命题的判定，属于基础题.
16．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定. （1）所有的正方形都是矩形；
（2）每一个奇数都是正数；
（3）∈x ∈R ，210x x -+≥；
（4）有些实数有平方根；
（5）∈x ∈R ，210x +=.
【答案】（1）全称量词命题，命题的否定见解析；（2）全称量词命题，命题的否定见解析；（3）全称量词命题，命题的否定见解析；（4）存在量词命题，命题的否定见解析；（5）存在量词命题，命题的否定见解析.
【分析】
利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定.
【详解】
前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∈x ∈M ，p (x )”.
其中命题（1）的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”； 命题（2）的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；
命题（3）的否定是“∈x ∈R ，210x x -+<”；
后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∈x ∈M ，p (x )”.
其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；
命题(5)的否定是“∈x ∈R ，210x +≠”.
【点睛】
本题考查全称量词命题和存在量词命题的判断与否定，属于基础题.
17．令p (x )：ax 2+2x +1＞0，若对∈x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．
【答案】（1，+∞）
【分析】
当0a =时，不符合题意；当0a ≠时，根据二次函数图象列式可解得结果.
【详解】
∈p (x )：ax 2+2x +1＞0，
若对∈x ∈R ，p (x )是真命题，即ax 2+2x +1＞0对任意实数x 恒成立，
当0a =时，12
x >-，不符合题意； 当0a ≠时，0440a a >⎧⎨∆=-<⎩
，解得1a >. 故实数a 的取值范围为（1，+∞）
【点睛】
关键点点睛：利用二次函数知识求解是解题关键.。