2020-2021学年数学第一册教师用书：第1章 §3 3.2 第1课时基本不等式的简单应用含解析

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第1章§3 3.2 第1课时基本不等式
的简单应用含解析
3。

2基本不等式
第1课时基本不等式的简单应用
学习目标核心素养
1.理解重要不等式的证明和基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用重要不等式与基本不等式证明简单的不等式．（难点)1．通过不等式的证明,培养逻辑推理素养．
2．借助重要不等式与基本不等式的应用，提升数学运算素养．
1．两个不等式
不等式条件结论等号成立的条件重要不等式a，b∈R错误!≥ab当且仅当a＝b时
基本不等式a≥0,b≥0a＋b
2≥错误!
当且仅当a＝b时
错误!称为a，b的算术平均值；错误!称为a，b的几何平均值．因此,基本不等式又称为均值不等式，可用文字表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
思考：不等式a ＋错误!≥2一定成立吗？为什么?
提示:不一定成立，例如当a ＝－1时，a ＋错误!＝－2，不等式
不成立,事实上，当a 〉0时，a ＋1a ≥2，当a <0时,a ＋1a ≤－2。

1．a ，b 是正数，则错误!，错误!，错误!三个数的大小顺序是（ ）
A ．错误!≤错误!≤错误!
B ．错误!≤错误!≤错误!
C ．错误!≤错误!≤错误!
D ．错误!≤错误!≤错误!
C ［错误!≤错误!＝错误!≤错误!。

］
2．若0〈a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是（ ）
A ．12
B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
B [由错误!<错误!＝错误!，得ab 〈错误!，∴2ab 〈错误!；
a 2＋
b 2＝a 2＋错误!错误!＝2错误!错误!＋错误!>错误!;
a <a ＋
b 2＝错误!，故选B.］
3．若a ＞0,b ＞0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．1ab ＞错误!
B ．错误!＋错误!≤1
C ．ab ≥2
D ．错误!≤错误! D [取a ＝1，b ＝3知A,B,C 均不正确,
又因为a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2≥错误!＝8⇒错误!≤错误!，故选D.］
4．已知a ＞0，b ＞0,c ＞0，d ＞0。

求证：错误!＋错误!≥4。

[证明］ 错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!)＋（错误!＋错误!）≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 且c ＝d 时，取“＝”)。

故错误!＋错误!≥4。

对基本不等式的理解
【例1】在下列的结论中,正确的序号是________．
①当x〉0时，x＋错误!≥4.
②当x<0时，x＋错误!≤－4.
③错误!＋错误!≥2。

④ab≤错误!错误!≤错误!。

［思路点拨］从重要不等式与基本不等式成立的的条件以及等号成立的条件考虑．
①②④［当ab<0时，b
a＋错误!≤－2，故③错误；
当x〈0时,x＋错误!＝－错误!≤－2错误!＝－4，
当且仅当x＝－2时，取“＝”．故②正确;
又①④正确，故正确的是①②④。

］
1．基本不等式错误!≥错误!(a≥0,b≥0）反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a、b都是非负数．
（2）等号成立的条件是a＝b。

错误!
1．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．（写出所有正确命题的编号)。

①ab≤1；②错误!＋错误!≤错误!；③a2＋b2≥2; ④a3＋b3≥3；⑤错误!＋错误!≥2
①③⑤［对于命题①由2＝a＋b≥2错误!，得ab≤1，命题①正确;
对于命题②令a＝b＝1时,不成立，所以命题②错误；
对于命题③a2＋b2＝(a＋b）2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确;
对于命题④令a＝b＝1时，不成立，所以命题④错误；
对于命题⑤错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥2，命题⑤正确．
所以正确的结论为①③⑤。

］
利用基本不等式比较大小
【例2】已知a>b>c,则错误!与错误!的大小关系是________．［思路点拨]从错误!＝错误!入手．
错误!≤错误![ 错误!＝错误!≥错误!，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．］
1．若给定的代数式中既有“和式”又有“积式"，可考虑能否利用基本不等式来求解．
2．有时利用基本不等式并不能完全解决问题，这时可综合运用其他知识方法求解,比如不等式的性质等．
错误!
2．已知m＝a＋错误!(a〉2)，则（)
A．m〉4 B．m<4
C．m≥4 D．m≤4
C［m＝（a－2)＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4,当且仅当a＝3时,取“＝”．]
利用基本不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
求证:1
a＋错误!＋错误!>9.
[思路点拨]将“1”换成“a＋b＋c”,裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
［解］∵a，b,c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝3＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!
＝3＋错误!＋错误!＋错误!≥3＋2错误!＋2错误!＋2错误!＝3＋2＋2＋2＝9
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴错误!＋错误!＋错误!>9。

1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造了条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加（乘)合成待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
错误!
3．已知a ,b ,c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：错误!错误!错误!〉8.
［证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，
∴错误!－1＝错误!〉0，错误!－1＝错误!〉0，错误!－1＝错误!〉0, ∴(错误!－1)(错误!－1)（错误!－1）＝错误!·错误!·错误!≥错误!＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号,
∴不等式成立．
即错误!错误!错误!＞8。

1．应用基本不等式错误!≥ 错误!解题时．要注意:
(1）a ≥0，b ≥0；
（2)当且仅当a ＝b 时，取等号．
2．基本不等式的变形
（1）ab ≤（错误!)2常用来证明积ab 与和a ＋b 有关联的不等式．
（2）ab ≤错误!常用来证明平方和与积有关联的不等式．
(3）(a ＋b 2）2≤错误!常用来证明和与平方和有关联的不等式．
3．应用基本不等式证明不等式，其本质是应用基本不等式进
行放缩．通过“凑"、“拆”、“和”等变形，使其满足基本不等式的使用条件是证明的关键．
1．思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1）∀a，b∈R，2ab≤a2＋b2. ()
(2）当a≠0时,a＋错误!一定不小于2。

(）（3)ab≤错误!错误!。

（)
[答案](1）√（2)×(3）√
2．当x>2时，错误!＋错误!≥6，该不等式等号成立的条件是（）A．x＝3B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C[由基本不等式知，等号成立的条件是错误!＝x－2〉0，即x ＝5.]
3.错误!的最小值是________．
2错误!［错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,当且仅当错误!＝错误!,即a＝±错误!时，取等号．］
4．已知x<0，求证：x＋错误!≤－4.
［证明]由x〈0，得－x>0,
∴错误!＋错误!≥2错误!＝4,
∴x＋错误!＝－错误!≤－4。

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