湖北省高二下学期3月质量检测数学试题(解析版)

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
24y x =-A ．
B ．
C ．2
D ．1
1814
【答案】A
【分析】利用抛物线的标准方程求解.
【详解】解：抛物线的标准方程为， 2
1
4
x y =-
所以抛物线的焦点到准线的距离为，
1
8故选：A
2．已知是公差为的等差数列，前项和．若，则（ ） {}n a d n S n 3136S a =+d =A ． B ．
C ．1
D ．2
2-1-【答案】D
【分析】根据等差数列求和公式计算可得. 【详解】解：因为，即，解得. 3136S a =+()
1163312
33d a a =++-2d =故选：D
3．直线被圆所截得的弦长为（ ） :3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=A ．
B ．4
C ．
D ．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.
【详解】由题意知，圆心，圆C 的半径为3，
()1,2C 故C 到
，
:3410l x y +-
=
2故所求弦长为． =故选：C
4．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 362n n S a -=5
5
S a A ．
B ．
C ．
D ． 1116
3316
112
3148
-
【答案】A
【分析】根据题意结合与的关系分析可得数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式n a n S {}n a 和求和公式运算求解.
【详解】当时，得，解得；
1n =11362a a -=16a =由，得，两式相减得， 362n n S a -=11362n n S a ++-=11322n n n a a a ++=-整理得，故数列是以6为首项，为公比的等比数列， 12n n a a +=-{}n a 2-所以，， ()
1
62n n a -=⨯-()()
()61221212n
n n S ⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤=
=⨯--⎣⎦--则． ()()
5
54
521211
1662S a ⨯+==⨯-故选：A ． 5．若函数是增函数．则实数的取值范围为（ ） ()3
21213f x x ax x =+++a A
．
B ．
()
,
-∞⋃
+∞()
,-∞+∞ C
． D ．
(
⎡⎣【答案】D
【分析】由于函数为增函数，所以在上恒成立，从而可求出实数的取值范围 ()f x '()0f x ≥R a 【详解】解：的定义域为， ()f x R 由，得， ()3
21213
f x x ax x =
+++()2'22f x x ax =++因为是增函数， ()3
21213
f x x ax x =
+++所以在上恒成立，即在上恒成立， '()0f x ≥R 2220x ax ++≥R 所以，解得， 2480
a ∆=-
≤a ≤≤故选：D
6．过双曲线C ：上一点P 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点Q ，
()22
2104
x y a a -=>的面积为1（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）
OPQ △A
B
C
D ．
32
【答案】A
【分析】设点，写出过点P 与一条渐近线平行的直线方程，再与另一条渐近线方程联
00(,)P x y l
立，解出点Q 的坐标，表示的面积，求解值，得出双曲线C 的离心率.另外，作为一个小OPQ △a 题，也可以利用特殊值，取P 为双曲线的右顶点，再计算结果.
(,0)A a 【详解】方法一：设点，代入双曲线C 的方程，得，
00(,)P x y ()2200
2104
x y a a -=>即. 2
200244x y a
-=双曲线的渐近线方程为，过P 与平行的直线方程为，直线与2y x a =±2y x a
=l ()002
y y x x a -=-l x
轴交于.
00,02a M y x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
联立，解得.
()0022y y x x a y x
a ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
00122Q y y x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 2
200000002411121222282
OPQ
P Q x a a a
S OM y y y x y y x y a a ⎛⎫=-=-+⋅-=-== ⎪⎝⎭-△得，
2a =∴双曲线C ：
．
()22
2104x y a a -=>方法二：不妨取P 为双曲线的右顶点， (,0)A a 双曲线的渐近线方程为，过A 与平行的直线方程为，
2y x a =±
2y x a
=()2
y x a a =-联立，解得，
()22y x a a y x
a ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,12a Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，得a ＝2． 11
122
OPQ Q S OA y a =
⋅==△∴双曲线C ：
．
()22
2104x y a a -=>故选：A ．
7．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n 次分形”（ ）.
规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图*N n ∈的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n 的最小值是（ ） （取，）
lg30.4771≈lg 20.3010≈
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】C
【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“n 次分形”后折线的长度，进而建立不等式解得答案即可.
【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为，图3线段长度为，…，“n 次分形”后线段长
432
43⎛⎫
⎪⎝⎭度为，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足，则
43n
⎛⎫ ⎪⎝⎭
4203n
⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭，即得，解得，4
lg
lg 201lg 23
n ≥=+()2lg 2lg 31lg 2n -≥+1lg 210.301010.422lg 2lg 30.60200.4771n ++≥
≈≈--所以至少需要11次分形. 故选：C.
8．已知函数有两个极值点，，若不等式恒成
()22x x
f x ae e x =-+1x 2x ()()1212x x f x f x e e t +<++立，那么的取值范围是（ ） t A ． B ． [
)1,+∞﹣[)22ln 2,--+∞C ． D ．
[)3ln 2,-+∞-[)5,-+∞【答案】D
【分析】求导数，有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得的
()0f x '=a 取值范围,利用根与系数的关系可以得到先转化为关于的不等式恒12121211,2x x
x x x x e e e e e a a
++=
⋅==a 成立，最后转化为关于的函数求最值.
a 【详解】，
()2221x x
f x ae e '=-+由于函数有两个极值点，，
()22x x
f x ae e x =-+1x 2x 则 112222221=0221=0x x x x ae e ae e -+-+，，
令则在定义域有两个不等实根,
,x t e =2221=0,at t -+()0,+∞即，， =480a ∆->1212121212110,02x x
x x x x t t e e t t e e e a a
++=+=
>⋅=⋅==>解得：. 1
02
a <<
()()()1212x x f x f x e e +-+
()()()112212221222x x x x x x ae e x ae e x e e =-++-+-+
()()121222123x x x x a e e e e x x =+-+++ ()()1212122
1223x x x x x x a e e e e e e x x ⎡⎤=+-⋅-+++⎢⎥⎣⎦
211113ln 2a a a a a ⎡⎤⎛⎫=--⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,
2
ln 21a a
=---设，
21()ln 21,0,2g x x x x ⎛⎫
=---∈ ⎪⎝⎭
，在区间，单调递增，
22212()x g x x x x -'=-=10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()g x 所以，所以.
1()()4152g x g <=--=-152t g ⎛⎫
≥=- ⎪⎝⎭故选：D
【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值.
二、多选题
9．下列函数的求导正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
211
x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1
ln 22'=x x
【答案】BC
【分析】对每一选项的函数分别求导即得解.
【详解】解：A. ，所以该选项错误； 2
11
x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ，所以该选项正确； ()sin cos x x '=C. ，所以该选项正确；
()()'
e 1e x x x x =+D. ，所以该选项错误. ()11
ln 222x x x '=⋅
=故选：BC
10．已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,1111ABCD A B C D -P 1AB （ ）
A ．存在点使
B ．点到平面P 11PD A
C ⊥P 11A C D
C ．的最小值是
D ．三棱锥的体积为定值
()1CP PA +211C A PD -【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
D ， ()()()11111,0,1,0,1,1,1,1,0A C A C =-
设，
()1,,,01P t t t ≤≤，当时，， 111DP AC t ⋅=-+ 1t =110DP AC ⋅=
此时与重合，所以A 选项正确.
P 1B 设平面的法向量为，
11A C D (),,n x y z =
则，故可设，
110
n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()1,1,1n =- 所以点到平面
，B 选项错误.
P 11A C D =，，
()0,1,0C ()()11,1,,0,,1CP t t PA t
t =-=--
=所以当时，
取得最小值为
C 选项错误. 21222t -=-=
⨯1CP PA +
=
，为定值，D 选项正确
.
1111111sin 60326C A P P A C D D V V --⎛⎫
==⨯︒= ⎪⎝⎭故选：AD
11．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变
为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第三个正方形MNPQ ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD 的边长为a 1，后续各正方形的边长依次为a 2，a 3，…，an ，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，bn ，….下列说法正确的是（ ）
A ．正方形MNPQ 的面积为
B ．
25
16
1
4n n a -=⨯C ．使不等式成立的正整数n 的最大值为4 D ．数列的前n 项和 1
4
n b >{}n b 4n S <【答案】BCD
【分析】根据题意，先求的，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. ,n n a b 【详解】根据题意可得：，
2
2
22
111315448
n
n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得是首项为，公比为的等比数列，则，
{}
2n
a
2
1
16a =581
2
5168n n a -⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭
则；
1
4n n a -=⨯根据题意可得：；
1
21313352443228n n n n n b a a a -⎛⎫
=⨯⨯==⨯ ⎪
⎝⎭
对A ：由可得，故正方形MNPQ 的边长为，
1
4n n a -=⨯352
a =
5
2故其面积为，故错误；
2
52524⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A
对B ：根据上述求解过程，，故正确；
1
4n n a -=⨯B 对C ：因为是关于的单调递减函数，
()1
3528n n b f n -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
n 又， 45375118751
,1024481924
b b =
>=<故不等式成立的正整数n 的最大值为4，故正确； 1
4
n b >
C 对：，显然是首项为
，公比为的等比数列，
D 1
3528n n b -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
{}n b 32
5
8故其前项和，故正确. n 3512854445818
n
n n
S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-D 故选：.
BCD 【点睛】本题综合考察等比数列通项公式、以及等比数列前项和的求解，属综合中档题.
n 12．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成
π
0,2
⎛⎫
⎪⎝
⎭()f x ()f x '()(
)cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<立，则有（ ）
A ．
B
ππ64f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭3π6πf ⎛⎫
⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．
D
ππ63f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ64⎛⎫
⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】CD
【分析】构造函数，判断其单调性即可判断大小.
()()cos f x g x x
=【详解】令，则， ()()cos f x g x x
=
()()()
2
cos sin cos x f x x f x g x x '⋅+⋅'=
由已知可得，即在上单调递减.
()0g x '<()()cos f x g x x
=
π0,2
⎛⎫
⎪⎝⎭所以，
πππ346
πππcos cos cos
346f f
f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，
，即C 、D 选项正确
. ππ64⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππ63f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：CD
三、填空题
13．直线l 1：与直线l 2：间的距离是___________. 10x y +-=30x y ++=【答案】
【分析】根据两平行线间距离公式运算求解.
【详解】由题意可得：直线l 1：与直线l 2：间的距离.
10x y +-=30x y ++
=d 故答案为：
14．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为C 坐标轴，焦点在轴上，且椭圆
，则椭圆的方程为______． y C 6πC 【答案】
22
194
y x +=【分析】根据题意列出关于a,b,c 的方程组，解得a,b,c 可得答案.
【详解】由题意可设椭圆方程为： ，
22
221(0)y x a b a b
+=>>由条件得,解得
a =3，
b =2， 2
226ab c a a b c π
π⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为，
22
194y x +=故答案为：
22
194
y x +=15．在数列中.，是其前n 项和，当时，恒有、、成等比数
{}*
(N )n a n ∈12a =n S 2n ≥n a n S 2n S -列，则___________
n a =【答案】 2
212
2n n n n =⎧⎪
⎨≥⎪-⎩，【分析】由题可得，利用可得，利用倒数法求出的通
()2
2n n n S a S =-1n n n a S S -=-1122n n n S S S --=
+1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
项公式，然后根据与的关系即得.
n a n S 【详解】当时，由题可得，即，
2n ≥()22n n n S a S =-()()2
12n n n n S S S S -=--化简得，得，
1122n n n n S S S S --+=1
1
22n n n S S S --=
+
两边取倒数得， 11111211
222
n n n n n S S S S S ----=+=+， 11112
n n S S -∴
-=所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
111112S a ==1
2， ()1111222
n n
n S ∴
=+-⋅=， 2
n S n
∴=
当时，， 2n ≥()12222211n n n a S S n n n n n n
-=-=
-=-=----所以，. 2
21
2
2n n a n n n =⎧⎪
=⎨≥⎪-⎩，，故答案为：. 2
212
2n n n n =⎧⎪
⎨≥⎪-⎩，，16．若，使，则实数m 的取值范围为___________.
[1,)x ∃∈+∞5e 6ln 0≤mx m x x -【答案】
6,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦【分析】由不等式特征，构造函数，由的单调性，将不等式转化为
()()e 0x
f x x x =≥()f x 使成立，构造函数，求最大值，解得不等式.
[)1,x ∃∈+∞6ln x m x
≤
6ln ()x
g x x =【详解】当时，，，显然成立，符合题意； 0m ≤0e mx m ≤56ln 0x x ≥5e 6ln 0mx m x x -≤当时，由，，可得， 0m >1x ≥5e 6ln 0mx m x x -≤6e 6ln 0mx mx x x -≤即，，
66e ln mx mx x x ≤6
6ln e ln e mx x mx x ≤令，，在上单增，又，，故
()()e 0x
f x x x =≥()()1e 0x f x x '=+>()f x [)0,∞+0mx >6ln 0x ≥，即，
6
6ln e ln e mx x mx x ≤6
()(ln )f mx f x ≤即，，即使成立， 6ln mx x ≤6ln x m x ≤[)1,x ∃∈+∞6ln x
m x
≤令，则， 6ln ()x
g x x =
2
66ln ()x g x x -'=当时，，单增，当时，，单减， [)1,e x ∈()0g x '>()g x ()e,x ∈+∞()0g x '<()g x 故，故，综上，.
max 6()(e)e g x g ==
60e m <≤6,e m ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦故答案为：.
6,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】注意到在不等式两边同时乘以可得，而
5e 6ln 0mx m x x -≤x 6e 6ln 0mx mx x x -≤，所以考虑构造函数解决问题.
6
6666ln 6ln ln ln e x x x x x x ==()e =x
f x x
四、解答题
17．（1）已知函数，求；
()2e 1
x
f x x =+()1f '（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的
()3
g x x ax =+()g x 0x =()ln h x x =-a 值．
【答案】（1）；（2）.
()10f '=1
a e
=-【分析】（1）求导后，代入即可得到结果；
1x =（2）根据导数几何意义可求得在处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与()g x 0x =()h x 相切于，求得在处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求()00,ln x x -()h x ()00,ln x x -得结果.
【详解】（1），；
()()()
()()
2
22
2
2
2
e 12e 1e 11x x
x
x x x f x x
x
+--'=
=
++ ()10f '∴=（2），，又，
()2
3g x x a '=+ ()0g a '∴=()00g =在处的切线方程为：；
()g x ∴0x =y ax =设与相切于点，
y ax =()ln h x x =-()00,ln x x -，，
()1
h x x
'=- ()001h x x '∴=-切线方程为：，即，
∴()000
1ln y x x x x +=--001
1ln y x x x =-+-，解得：.
00
1ln 0
1x a
x -=⎧⎪
∴⎨-=⎪⎩1a e =-18．已知等差数列为递增数列，为数列的前项和，，. {}n a n S {}n a n 5699a a =10100S =(1)求的通项公式； {}n a (2)若数列满足，求的前项和. {}n b 1
3n
n n a b -=
{}n b n n T 【答案】(1)；
21n a n =-
(2).
()1
1313n n T n -⎛⎫
=-+⨯ ⎪
⎝⎭
【分析】（1）根据已知条件，求得，再求得首项和公差，即可写出通项公式； 56,a a （2）根据（1）中所求，解得，再利用错位相减法即可求得结果. n a n b 【详解】（1）设数列的公差为，易知，因为，即{}n a d 0d >10100S =()()1105610
51002
a a a a +=+=，
即，又，故为方程的两根，解得或， 5620a a +=5699a a =56,a a 220990x x -+=9x =11x =又数列为递增数列，故可得，即，解得， 569,11a a ==12,49d a d =+=11a =故.
21n a n =-（2），故
13n n n a b -=()1
1213n n -⎛⎫
=-⨯ ⎪⎝⎭
12n n T b b b =+++即，
()0
1
1
1111321333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则，
()()1
2
1
1111113232133333n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
作差可得，
()12121111122133333n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
即， ()()1
111332111221222133313n n n n
T n n -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-+⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-解得.
()1
1313n n T n -⎛⎫
=-+⨯ ⎪
⎝⎭
19．立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E F G 、、分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁AB CD AD 、、FG FDG 掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
ABCFG EF AB CG 、
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面
O EBCF //AO GCF (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. A EF B --2π3
AB GCF 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面； AOHG //AO HG AO GCF （2）根据题意结合二面角的定义可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹
=120AEB ∠︒角．
sin cos ,n BA θ=
【详解】（1）取线段中点，连接， CF H OH GH 、由图1可知，四边形是矩形，且， EBCF 2CB EB =是线段与的中点，
O ∴BF CE 且， //OH BC ∴1
2
OH BC =
在图1中且，且． //AG BC 1
2
AG BC =
//EF BC =EF BC 所以在图2中，且， //AG BC 1
2
AG BC =
且
//AG OH ∴AG OH =四边形是平行四边形，则
∴AOHG //AO HG 由于平面，平面 AO ⊄GCF HG ⊂GCF ，
平面
AO ∴//.GCF （2）由图1，，折起后在图2中仍有， ,EF AE EF BE ⊥⊥,EF AE EF BE ⊥⊥即为二面角的平面角．
AEB ∴∠A EF B --，
2
π3
=AEB ∴∠以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图， E EB EF
，x y E xyz -且设，
2=2=4CB EB EA =
则，
()(
)(2,0,0,0,4,0B F A -,，
(11,2
FG FE EA AG FE EA EF ∴=++=++=--
，
(()2,0,0BA FC EB =-==
,设平面的一个法向量，
GCF (,,)n x y z =
由，得，取则 ·0·0n FC n FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩
2020x x y =⎧⎪⎨--=⎪
⎩y 2z ，
=于是平面的一个法向量，
GCF ()
n =
cos ,
n
∴ ∴直线与平面 AB GCF
【点睛】20．已知数列的前n 项和为，，且（）． {}n a n S 14a =12n n a n S n
+=*n ∈N (1)求的通项公式；
{}n a (2)若，数列的前n 项和为，求证：．
()23n n n b n a =+{}n b n T 5
12
n T <【答案】(1)
()12n
n a n =+(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由与的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，从而
n a n S 1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
求得结果；
（2）根据题意，由裂项相消法即可求得，从而证明. n T 【详解】（1）由
，得． 12n n a n S n +=21
n
n na S n =+
当时，，
2n ≥()1
121n n n a S n
---=所以，所以， ()1
2121n n n n a na a n n --=
-+()()12111
n n n a n a n n ---=
+由于，所以， 2n ≥121n n a a
n n
-=⋅+因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
122a =1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭所以
，所以． 1221
n n
a n -=⨯+()12n n a n =+（2）由（1）知，，
()()()21111313213n n n b n a n n n n ⎛⎫
===- ⎪+++++⎝⎭
1111111111
111224354657213n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
， 511112223n n ⎛⎫=
-+ ⎪++⎝⎭
因为，所以． *n ∈N 512
n T <
21．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长
2
:4G
y x
=22
22:1(0)x y E a b a b +=>>F E 为
(1)求椭圆的方程；
E (2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常
F k l E ,A B
G ,M N 数，使
为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由. t 1
t AB MN
-t 【答案】(1)
22
143
x y +=
(2)存在时，为定值 3t =1t AB MN -34
【分析】（1）求出，结合短轴长求出，写出椭圆方程；
()1,0F b =24a =（2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出l ，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公
1x my =+244MN m =+式得到，从而得到，列出方程，求出的值及()
2212134
m AB m +=+22
34311212t M tm t m AB N -=+-+343
1212t t -=t 定值.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故， 2:4G y x =()1,0()1,0F
且 2b =b =从而，
222314a b c =+=+=所以椭圆的方程为；
E 22
:143
x y E +=（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， l 故直线的斜率不为0，设方程为， l 1x my =+联立与，可得， 1x my =+2:4G y x =2440y my --=设，故，
()()1122,,,M x y N x y 12124,4y y m y y +==-则，
()2
12121211242x x my my m y y m +=+++=++=+故，
2
12244MN x x m =++=+联立与，可得：，
1x my =+22:143
x y E +=()
22
34690m y my ++-=设， ()()3344,,,A x y B x y 则， 3434
2269,3434
m y y y y m m --+=
=++
， ()22
12134m m +==+所以， (
)
(
)
22222341343
441212
2111t m tm t M t m m AB m N ++-+-=-=++令
，解得：， 3431212
t t -=3t =
此时为定值. 1t AB MN -2299312124
m m +=+【点睛】圆锥曲线定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线l 过点，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两()1,0y x 种情况.
22．已知函数， ．
()1
e x
f x x +=()()ln 1
g x k x k x =++（1）求的单调区间．
()f x （2）证明：当时，方程在区间上只有一个零点．
0k >()f x k =()0,+¥
（3）设，其中若恒成立，求的取值范围．
()()()h x f x g x =-0k >()0h x ≥k 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为; （2）见解析；（3）. ()f x (),1-∞-()1,-+∞(0,e]【详解】试题分析：
（1）根据导函数的符号可得函数的单调区间．（2）令，由条件可证得函
()()1e x t x f x k x k +=-=-数单调递增，根据零点存在定理可证得零点唯一．（3）结合（2）可求得函数的最小值，()t x ()h x 然后根据最小值大于等于零可得实数的取值范围是． k (0,e]试题解析：
（）∵，
1()1
e x
f x x +=∴，
()()111
e e 1e x x x
f x x x +++==+'+令，得； ()0f x '>1x >-令，得，
()0f x <1x <-故的单调减区间为，单调增区间为．
()f x (),1-∞-()1,-+∞（）设， ，
2()()1
e x t x
f x k x k +=-=-0k >则，
()()1
1e
x t x x +=+'由（）可知在上单调递增， 1()t x ()1,-+∞又，，
()00t k =-<()()
1
1e
e 10k k t k k k k ++=-=->∴在上只有个零点，
()t x ()0,+∞1
故当，方程在区间上只有一个零点．
0k >()f x k =()0,+∞（）由题意得，，
3()()()()1
e ln 1x h x
f x
g x x k x k x +=-=--+(x 0,0)k >>∴ ， ()()1
1e
x k h x x k x +=+-
-'()
11e x x x k x
++=-令，则， ()0h x '=1e 0x x k +-=由（）得在区间上单调递增且只有一个零点，
2()1
e
x t x x k +=-()0,+∞不妨设的零点为，
()t x 0x 则当时， ，即， 单调递减． ()00,x x ∈()0t x <()0h x '<()h x 当时， ，即， 单调递增，
()0x x ∈+∞()0t x >()0h x '>()h x ∴函数的最小值为 ，且，
()h x ()0h x ()()01
0100e ln 1x h x x k x k x +=--+由，得，
01
0e
0x x k +-=001
e
x k x +=
故，
()()0001
ln
1ln e x k h x k k k x k k k +=--+=-根据题意，即， ()00h x ≥ln 0k k k -≥解得，
0k e <≤故实数的取值范围是． k (0,e]点睛：
（1）判断函数零点的个数时，可根据函数的单调性求得函数的极值后，结合函数的图象处理．如果函数函数单调，也可结合函数零点存在定理进行判断，此时得到的零点是惟一的． （2）对于函数恒成立的问题，可转化为函数的最值问题处理，解题时注意以下结论的利用：
恒成立， 恒成立．若函数的最值不存在，则可利用函
()a f x ≥max ()a f x ⇔≥()a f x ≤min ()a f x ⇔≤数值域的端点值来表示．。