基本不等式基础题型总结

当 ,即
时, y 2（x 1) 4 5 9（当且仅当 x＝1 时取“＝”号）。
x1
还可以怎样做除法变量分离
四、换元法
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分离求最值。
y (t1)2 7(t1）+10=t2 5t4 t 4 5
t
tt
当 ,即 t= 时,y2 t4 59（当t=2即 x＝1 时取“＝”号）。
基本不等式基础题型总结
知识要点
两个重要不等式
① a,bR ，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时取等号“=”） ②基本不等式：如果 a,b 是正数，那么 a b ab （当且仅当 a b 时取等号“=”）.
2
算术平均数和几何平均数
算术平均数： a b 称为 a,b 的算术平均数； 2
4
一、直接法
（1）y＝3x 2＋ 1 2x 2
总结：此类结构为倒数结构“基本不等式结构”
二、配凑法
凑项与凑系数
已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x
5
的最大值
当 时，求yx(82x)的最大值
凑项
因4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又(4x 2) 1 不是常数，所以对4x 2 要进行拆、
几何平均数： ab 称为 a,b 的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用
x, y (0, ) ，且 xy P （定值），那么当 x y 时， x y 有最小值 2 P ； x, y (0, ) ，且 x y S （定值），那么当 x y 时， xy 有最大值 1 S2 .
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为y mg(x) A B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
g(x)
五、整体代换法
已知x0,y0，且1 9 1，求x y的最小值。
xy
x
0,
y
0
，且 1
x
9 y
4x 5
凑项，
x
5 4
,5
4x
0 ，
y
4x
2
1 4x
Hale Waihona Puke 554x5
1 4x
3
2
3
1
当且仅当
5
4x
5
1 4x
，即
x
1
时，上式等号成立，故当
x
1
时，
ymax
1。
凑系数
三、变量分离法
求y x2 7x10(x1)的值域。
x1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其 分离。
七、平方
练习
小结
一利用均值不等式求最值时必须注意三点：一正二定三相 等缺一不可如果项是复数可转化为整数后解决当和或积不 是定值时需要对项进行添加、分拆或变系数将和或积化为 定值
二形如y=x+a/xa＞0这类函数当不能利用基本不等式求最 值时乐意借助函数单调性来求解
三利用基本不等式证明不等式时要充分利用基本不等式及 其变形同时注意利用基本不等式成立的条件
1，
x
y
1 x
9 y
x
y
2
92 xy
xy
12
故
x y 12 。 min
：
x
0,
y
0,
1 x
9 y
1，
x
y
x
y
1 x
9 y
y x
9x y
10
610
16
当且仅当 y 9x 时，上式等号成立，又1 9 1，可得x 4,y 12时，x y 16 。
xy
xy
min
六、利用函数单调性
求函数
练习