怎样解排列组合问题

怎样解排列组合问题
1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。

3）复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

5）处理排列、组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。

6）在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

“12个技巧”是迅速解决排列组合的捷径，具体方法与运用如下： 一．特殊元素的“优先排列法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。

二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。

三．合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

五．不相邻问题用“插空法”：对某几个元素不相邻的排列问题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

七．分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方法来处理。

八．试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4，的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ）
A,6 B.9 C.11 D.23
解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。

一共有9种填法，故选B
九．探索：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
例.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。

解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种
十．消序 例。

4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有4
7A 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有4
7A 种排法。

十一.住店法：解决“允许重复排列问题”要区分两类元素，一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作店，再利用分步计数原理直接求解称“住店法”
例.7名学生争五项冠军，获得冠军的可能种数有（ ）
A. 57种
B. 7
5种 C. 57A 种 D. 57C 种
解.七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个客有7种住法，由分步计数原理可得57种，故选A 十二.对应
例.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比几场？
解.要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故赛99场。

以上十二种方法是解决一般排列组合问题常用方法，数学是一门非常灵活的课程，解题法仅仅限于这“12个技巧”，此外，常用的还有“隔板法”，“倍缩法”。

排列组合问题中的数学思想方法也是用得多的（教师点评：这句可改为“排列组合问题中蕴藏着数学思想方法”） 一．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。

例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：
1）C A B ≠
⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠
解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C
中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12
12
8C C ；2）含A 中2个元素的有2112
8C C ；3）含A 中3个元素的有30
128C C ，故不求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30
128C C =1084个
二．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。

1.具体与抽象的转化
例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？
分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？
解：1）两个0不相邻的情况有2
6C 种，2）两个0相邻的情况有1
6C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有
26
C
+1
6C =21种。

2）不同的数学概念之间的转化
例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？
分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应
着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）
解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有4
8C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有4
8C -12个三棱锥，因而共有3（4
8C -12）=174对异面直线。

综上所述，有以上几种解排列组合的方法，此外，当然也还有其他的方法要靠我们去发现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻易解决很多问题。