七年级 第九讲 二元一次方程(经典)
初中二元一次方程知识归纳
初中二元一次方程知识归纳二元一次方程是初中解方程的重要知识点，求解二元一次方程首先要明白其基础内容。
以下是店铺分享给大家的初中二元一次方程知识，希望可以帮到你!初中二元一次方程知识一.二元一次方程(组)的相关概念1.二元一次方程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组：二元一次方程组两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解集：(1)二元一次方程的解适合一个二元一次方程的每一对未知数的值.叫做这个二元一次方程的一个解。
(2)二元一次方程的解集对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意二个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组可化为使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解。
二.利用消元法解二元一次方程组解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。
1.解法：(1) 代入消元法是将方程组中的其中一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，消去另一个未知数，得到一个解。
代入消元法简称代入法。
(2)加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数;②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值;⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
七年级二元一次知识点
七年级二元一次知识点二元一次方程是初中数学中的一个基本知识点，掌握了二元一次方程的解法，可以解决许多实际问题。
在本文中，我们将系统地介绍七年级二元一次方程的知识点，包括定义、解法、应用等方面。
一、定义二元一次方程是指含有两个未知数及它们的一次幂次的方程，形如：ax + by = c其中，a,b,c为已知数，且a和b不能同时为0。
二、解法1. 消元法法解方程。
例如：3x + 2y = 7x - y = 1将第二个方程中的x或y消去，得到：3x + 2y = 73x - 3y = 3解为：x=2，y=12. 代入法法解方程。
例如：2x + 3y = 13x - y = 1将第二个方程解为x=1+y，代入第一个方程得到：2(1+y) + 3y = 13解为：x=2，y=13. 相减法当两个方程中的未知数系数相等，但符号相反时，可以用相减法解方程。
例如：2x + 3y = 13-x + 3y = 7将第二个方程的两边乘以-2，再加到第一个方程上，得到：4y = -3解为：x=2，y=-3/4三、应用二元一次方程的应用非常广泛，比如经济学、物理学、化学等等。
以下是一个实际应用举例。
例：一个商店销售两种商品，其中商品A单价为3元，商品B单价为4元，已经售出了n件商品A和m件商品B，共收入55元，求n和m的值。
解：设商品A的销售数量为n，商品B的销售数量为m，则可以列出二元一次方程组：3n + 4m = 55n + m = ?我们先算出n+m的值，由于55是5的倍数，所以n+m必然是5的倍数，只需试探即可得出n+m=15。
将其代入原方程组中，可得：3n + 4(15-n) = 55解得n=5，m=10。
结论：商品A销售了5件，商品B销售了10件，共收入55元。
综上所述，二元一次方程是初中数学中的基础知识点之一，其解法和应用也是多种多样的。
通过掌握二元一次方程的知识点，能够使我们更好地解决实际问题。
初一数学-二元一次方程知识点
二元一次方程组的解法一、目标认知学习目标：1．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；2．通过了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会消元的思想，掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法；并能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
3．掌握三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
重点：二元一次方程组的解法.难点：熟练运用代入法和加减法解二元一次方程组.二、知识要点梳理知识点一：二元一次方程的概念含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程如x＋y＝24，都是二元一次方程.要点诠释：(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程6xy＋9＝0不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断，例如：2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形式。
知识点二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。
如……，都是二元一次方程x＋y＝3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称之为不定方程。
要点诠释：(1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，即二元一次方程的解都要用“{”联立起来，如,是二元一次方程x＋y＝2的解(二元一次方程的解是一对数值，而不是一个数值)。
(2)在二元一次方程的无数个解中，每个解的一对数值是相互联系、一一对应的。
七年级下-二元一次方程组的定义及解法
二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。
例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。
例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。
2.未知数的次数为1。
注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。
例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。
七年级数学下册春季课程第九讲实际问题与二元一次方程组试题试题
第九讲 实际问题与二元一次方程组一、知识梳理：考点1 常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.产品配套问题：解这类问题的根本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间是，各局部劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价.速度×时间是=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.6.存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和〔本利和〕＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×121.各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：假设一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，那么这个两位数可以表示为10b+a ．8.方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案．要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案．考点2 实际问题与二元一次方程组列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：〔1〕解实际应用问题必须写“答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；〔2〕“设〞、“答〞两步，都要写清单位名称；〔3〕一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.二、课堂精讲：〔一〕和差倍分问题例1．甲乙丙三个工厂一共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的27，乙厂出甲丙两厂和的12，丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？【随堂演练一】根据如图提供的信息，求一个热水瓶的价格．〔二〕配套问题例2．某服装厂消费一批某种款式的秋装，每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或者衣袖5只. 现方案用132米这种布料消费这批秋装〔不考虑布料的损耗〕，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【随堂演练二】m3m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才某家具厂消费一种方桌，设计时13能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可消费多少张方桌？〔提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿〕.〔三〕工程问题例3．一批机器零件一共840个，假如甲先做4天，乙参加合做，那么再做8天才能完成；假如乙先做4天，甲参加合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?【随堂演练三】古运河是的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，一共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米．〔四〕利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水一共500箱，矿泉水的本钱价和销售价如表所示：〔1〕该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？〔2〕全部售完500箱矿泉水，该商场一共获得利润多少元？【随堂演练四】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品一共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，一共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?〔五〕行程问题例5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．(1)假如两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；假如两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；(2)假如慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【随堂演练五】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；假设第一列火车比第二列火车先出发9h，那么第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？〔六〕存贷款问题例6.蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，一共13万元，徐先生每年须付利息6075元，甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，那么甲，乙两种贷款分别是多少元？〔七〕数字问题例7.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，假如把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．【随堂演练六】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，假如把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是多少？〔八〕方案选择问题例8.某种饮料有大箱和小箱两种包装，3大箱、2小箱一共92瓶；5大箱、3小箱一共150瓶．求：①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？②假设一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全一样，请问购置哪种包装的饮料更合算？【随堂演练七】某高校一共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.〔1〕求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；〔2〕假设7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.三．小结：和差倍分问题；产品配套问题；工程问题；利润问题；行程问题；存贷款问题；数字问题；方案问题列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．四、课后稳固练习一、选择题1．有一些苹果箱，假设每只装苹果25 kg，那么剩余40 kg无处装；假设每只装30 kg，那么还有20个空箱，这些苹果箱有( )A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，假设每条长椅坐5人，那么少10条长椅，假设每条长椅坐6人，那么又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( )A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，一共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，一共花了400元，王斌家方案去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？〔〕A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4. 两个水池一共储水40吨，假如甲池注进水4吨，乙池注进水8吨，甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等．甲、乙水池原来各储水的吨数是〔〕A．甲池21吨，乙池19吨 B．甲池22吨，乙池18吨C. 甲池23吨，乙池17吨D．甲池24吨，乙池16吨5.某校七年级(2)班40名同学为地震灾区捐款，一共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，假设设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( )A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩6.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是〔〕7.一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，假设颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的选项是〔〕A．1()()9x yx y y x-=⎧⎨+++=⎩，B．110()9x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，C．110109x yx y y x=+⎧⎨+=+-⎩，D．110109x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，8．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是〔〕A．23(2),2x yx y+=+⎧⎨=⎩B．23(2),2x yx y-=-⎧⎨=⎩C．22(2),3x yx y+=+⎧⎨=⎩D．23(2),3x yx y-=-⎧⎨=⎩9. 为了参加国际铁人三项〔游泳、自行车、长跑〕系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑工程进展专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段一共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．那么方程组正确的选项是〔〕A. B.C. D.二、填空题10．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．11．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题一共得70分，那么他做对了______道题.12．“六一〞儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天一共售出门票3000张，一共收入15600元，那么这一天售出了成人票________张，儿童票__________ 张．13. 小龙和小刚两人玩“打弹珠〞游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子〞．小刚却说：“只要把你珠子的13给我，我就有10颗〞，那么小刚的弹珠颗数是颗．14. 学生问教师：“您今年多大了〞教师幽默地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了〞．那么教师如今的年龄是岁．三、解答题15．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．16．小华从家里到的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，那么他从家里到需10min，从到家里需15min．问：从小华家到的平路和下坡路各有多远？17. 某同学在A、B两家超发现他看中的随身听的单价一样，书包单价也一样．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超A所有商品打八折销售，超B全场购满100元返购物券30元(销售缺乏100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，假如他只在一家超购置看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购置吗?假设两家都可以选择，在哪一家购置更钱?。
【初中数学】二元一次方程8种典型例题详解
【初中数学】二元一次方程8种典型例题详解1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
1.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题：【思路点拨】由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展：【思路点拨】由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
2.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题：【思路点拨】本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展：【思路点拨】根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
3.工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间(即单位时间的工作量)；工作效率=1÷完成工作的总时间。
七年级二元一次方程知识点
七年级二元一次方程知识点一、二元一次方程的概念二元一次方程是指含有两个未知量且最高次数为一的方程。
它的一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
二、二元一次方程的解法1.若已知x的值，则可直接算出y的值。
反之亦然。
2. 列方程组进行解法。
x + y = 3，2x - y = 4。
将x + y = 3等式两边同时减去y得x = 3 - y，代入2x - y = 4中得2(3 - y) - y = 4，解得y = -1，代入x + y = 3中得x = 4。
3. 消元法。
上例中将x + y = 3乘2得2x + 2y = 6，将2x - y = 4乘1得2x - y = 4，将两个方程相加得3x = 10，解得x = 10/3，代入x + y = 3中得y = -1/3。
三、二元一次方程的应用1. 销售业务：若某商店销售x件衬衫和y件裤子，总收入为15x + 20y元，总利润为7x + 8y元，问该商店销售这两种商品的利润比是多少？解：因总利润为7x + 8y元，总收入为15x + 20y元，所以可列出方程组：7x + 8y = z15x + 20y = z解得x : y = 4:3，所以利润比为7:8。
2. 人物年龄：甲、乙两人之和为60岁，甲的年龄是乙的2倍，问他们各几岁？解：设乙的年龄为x岁，则甲的年龄为2x岁。
因甲、乙两人之和为60岁，则可列出方程组：x + 2x = 603x = 60解得x = 20，所以乙的年龄为20岁，甲的年龄为2x = 40岁。
四、小结二元一次方程是数学中的基础知识之一，掌握其解法和应用可以帮助学生更好地理解和运用数学。
在学习过程中，要注意分清各元素的含义和作用，理解方程式的本质，并通过大量的练习来加深了解和熟练掌握。
二元一次方程基本概念
二元一次方程基本概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊二元一次方程这个有意思的玩意儿。
你说这二元一次方程啊，就像是一个神秘的小盒子，里面藏着好多奇妙的东西呢！它有两个未知数，就好像是一对好伙伴，形影不离。
咱举个例子哈，比如说小明有一些苹果和香蕉，苹果每个 5 块钱，香蕉每个 2 块钱，他一共花了 19 块钱，而且苹果和香蕉一共有 7 个，那这苹果和香蕉各有几个呢？这不就是个典型的二元一次方程问题嘛！这时候，那两个未知数 x 和 y 就闪亮登场啦，x 代表苹果的数量，y 代表香蕉的数量。
你想想，这多像我们生活中的一些情况呀，有时候得同时考虑两个因素才能解决问题呢。
那方程就像是一把钥匙，能帮我们打开这个神秘小盒子，找到答案。
再比如说，你去买糖果和巧克力，糖果一颗多少钱，巧克力一块多少钱，你手里有多少钱，想买多少东西，这里面不就有两个关键的因素嘛。
这时候二元一次方程就派上用场啦！它就像是一个聪明的小助手，能帮我们理清思路，找到解决问题的办法。
你说神奇不神奇？要是没有它，我们可能就得在那抓耳挠腮，不知道该咋办啦。
而且啊，学懂了二元一次方程，那感觉就像是掌握了一门独特的技能，能在很多地方大显身手呢。
它可不是那种死板的东西哦，是非常灵活多变的。
就好像我们走路，有时候走直路，有时候得拐弯，二元一次方程也是这样，不同的问题有不同的解法，但只要我们掌握了诀窍，就能轻松应对啦。
咱可别小瞧了这小小的二元一次方程，它在数学的世界里可是有着重要的地位呢！它能帮我们解决好多实际问题，让我们的生活变得更加有序和清晰。
所以啊，朋友们，好好去认识和了解二元一次方程吧，和它成为好朋友，让它为我们的生活增添更多的乐趣和便利。
你说，我们能不好好对待这么一个有趣又有用的东西吗？。
(完整版)二元一次方程基本概念及基本解法讲解
二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程，其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0； (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ］下列方程中，属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的一组解.注意：如：x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是 ，则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中，是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解^注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对， 它必须同时满足方程组中的每一个方程， 一般x a , 写成的形式.y b〃， ，、…，…一“ ,一，/ , 2x y 5T （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个， 但也有特殊情况，如方程组无2x y 6一 一、… x y 1 ，…,解，而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】 一、选择题1 .下列方程中，属于二元一次方程的是（A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是（）x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程，不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「 ，、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值 是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值 是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值 不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值 是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中，有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解，则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1)，=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是 ，则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍，它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知 数表示出来；(2)代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值； (3)代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意)，求出另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时，用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③，得 x 3.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组， 需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组：1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；(2)加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两 方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；(3)代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； (4)写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：(1)当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式，若此时两未知数的绝对值都不相等， 则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组 解析：由②，得 将③代入①，得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简 便.③-④，得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①，得-5+2 n=1, n=3.③ +④，得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①，得 5m+6=1 , m=-1. 点评：此题方程组中的两方程， 两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形， 使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法， 先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组，需 注意两方程相减时，符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析：法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二：①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ；J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。
七年级下册数学二元一次方程
七年级下册数学二元一次方程
对于七年级下册数学中的二元一次方程，我们可以通过给定的方程进行推理和解析，来寻找变量的解。
下面是一份详细的内容概述：
1、方程的定义和解的概念：首先，我们要明确二元一次方程的定义。
二元一次方程是指含有两个未知数x和y，且每个未知数的次数为1的方程。
接着，我们要理解解的概念，即满足方程未知数的具体值。
2、代入法求解：代入法是一种常用的求解二元一次方程的方法。
基本步骤是将一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入原方程中求解。
例如，对于方程组 {x + y = 3, y = 2x}，我们可以将第二个方程代入第一个方程中，得到一个只包含x的一元一次方程，从而求解出x的值。
3、消元法求解：消元法是通过消去一个未知数的方式，将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，然后求解。
例如，对于方程组{x + y = 3, x - y = 9}，我们可以将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个只包含另一个未知数的一元一次方程，从而求解出该未知数的值。
4、线性组合法求解：线性组合法是通过对方程进行线性组合的方式，消去一个未知数，然后求解。
例如，对于方程组 {x + y = 3, 2x - y = 1}，我们可以将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去y，得到一个只包含x的一元一次方程，从而求解出x的值。
通过以上三种方法的学习和练习，我们可以逐步掌握二元一次方程的求解技巧，并进一步解决数学中与二元一次方程相关的其他问题。
这将为我们在八年级学习一元二次方程、线性代数和解析几何等课程打下坚实的基础。
二元一次方程
二元一次方程二元一次方程，也称为一元二次方程，是高中数学中重要的概念之一。
它是指形如ax+by+c=0的方程，其中a、b、c为已知的实数，而x、y为未知数。
在这篇文章中，我们将探讨二元一次方程的基本概念、解法以及应用。
通过详细的讲解和例题分析，帮助读者加深对二元一次方程的理解。
一、基本概念二元一次方程可以看作是一种含有两个变量的一次方程，其一般形式为ax+by+c=0。
其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。
我们可以通过消元、代入或配方法等多种方式来求解二元一次方程。
二、解法解二元一次方程的基本方法有三种：消元法、代入法和配方法。
接下来，我们将分别介绍这三种方法的步骤和原理。
1. 消元法消元法是解二元一次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）通过变换，使其中一个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的方程；（3）求解得到其中一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。
2. 代入法代入法是解二元一次方程的另一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数；（2）将该函数代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入最初选择的方程中，求解另一个未知数的值。
3. 配方法配方法也是解二元一次方程的重要方法之一。
具体步骤如下：（1）将一个方程的两边同时乘以一个系数，使得其两个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相加（或相减），得到一个只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。
三、应用二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们以一个例子来说明二元一次方程的具体应用。
例题：一个体育馆里有男性和女性运动员，总共有100人。
男性每人平均站立重量为70kg，女性每人平均站立重量为60kg。
《二元一次方程》 讲义
《二元一次方程》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。
那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示），并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。
例如：2x ＋ 3y ＝ 8 ，x 5y ＝－1 ，这些都是二元一次方程。
它的一般形式可以写成 Ax ＋ By ＝ C ，其中 A、B 不同时为 0 。
这里要注意几个关键点：首先，方程中必须含有两个未知数；其次，未知数的最高次数是 1 ；最后，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。
二、二元一次方程的解既然有方程，那就会有解。
那什么是二元一次方程的解呢？对于一个给定的二元一次方程，如果存在一组数（x，y），将这组数代入方程后，能使方程左右两边相等，那么这组数就叫做这个二元一次方程的一个解。
比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 8 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 2 ，代入方程左边得到 2×1 ＋ 3×2 ＝ 8 ，方程左右两边相等，所以（1，2）就是这个方程的一个解。
需要注意的是，二元一次方程一般有无数个解。
因为只要给定一个x 的值，就可以通过方程求出对应的 y 值。
三、二元一次方程组有时候，我们会遇到两个二元一次方程组合在一起的情况，这就形成了二元一次方程组。
例如：＼＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼x 5y ＝－1＼end{cases}＼二元一次方程组的解，就是同时满足这两个方程的未知数的值。
求解二元一次方程组的方法主要有代入消元法和加减消元法。
四、代入消元法代入消元法是求解二元一次方程组的一种常用方法。
举个例子，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中解出 x ＝ 5 y ，然后将其代入第二个方程：2(5 y) y ＝ 1 ，10 2y y ＝ 1 ，10 3y ＝ 1 ，－3y ＝－9 ，y ＝ 3 。
七年级数学二元一次方程
七年级数学二元一次方程一、二元一次方程的定义。
1. 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 例如：x + y=5，这里x和y是两个未知数，x的次数是1，y的次数也是1，而且整个方程是整式方程。
- 而方程x^2+y = 3不是二元一次方程，因为x的次数是2。
- 方程(1)/(x)+y = 2也不是二元一次方程，因为(1)/(x)不是整式。
2. 二元一次方程的一般形式为ax+by = c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。
二、二元一次方程的解。
1. 定义。
- 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
- 例如对于方程x + y = 5，x = 2，y = 3就是它的一组解，因为当x = 2，y = 3时，2+3 = 5，方程左右两边相等。
- 二元一次方程有无数组解。
例如x = 1，y = 4；x = 0，y = 5等都是x + y = 5的解。
2. 求解方法。
- 通常可以用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。
- 对于方程ax+by = c，可以变形为y=(c - ax)/(b)（b≠0），然后给定x一个值，就可以求出对应的y值。
三、二元一次方程组。
1. 定义。
- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 例如x + y = 5 x - y = 1就是一个二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解。
- 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
- 对于上面的方程组x + y = 5 x - y = 1，x = 3，y = 2是它的解，因为x = 3，y = 2同时满足这两个方程，3 + 2=5且3-2 = 1。
四、二元一次方程组的解法。
1. 代入消元法。
- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 例如对于方程组x + y = 5 2x - y = 1，由第一个方程x + y = 5可得y = 5 - x。
初一数学二元一次方程知识点
初一数学二元一次方程知识点二元一次方程式的理解及练习：1.二元一次方程：含有( )未知数(元)并且未知数的次数是( )的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的( )组成的方程组叫二元一次方程组.3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的( )未知数的'值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有( )个解.4.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的( )，叫做二元一次方程组的解.5. 解二元一次方程的方法步骤：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有( )消元和 ( )消元法两种.6.易错知识辨析：(1)二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值;(2)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值;(3)利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.例2某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元;信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件.生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数(件) 生产乙产品件数(件) 所用总时间(分)10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元.根据以上信息，回答下列问题：(1)小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分?(2)小王该月最多能得多少元?此时生产甲、乙两种产品分别多少件?7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度;再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度?8. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?。
人教版七年级数学下册《二元一次方程组》精品教学课件
5 2
A.将x=2，y＝3代入x–3y=1，得:2–9= –7≠1，不是 B.将x=4，y＝1代入x–3y=1，得:4–3=1，是 C.将x=10，y＝3代入x–3y=1，得:10–9=1，是 D.将x= –5，y＝–2代入x–3y=1，得: –5+6=1，是
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
胜 负 合计 解：设胜了x场，则有
场数 x 10–x 10 积分 2x 10–x 16
2x+10–x=16
解得：x=6
你还有别的方法吗？
10–x=4
答:胜了6场，负了4场.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
胜 负 合计 场数 x 10–x 10 积分 2x 10–x 16
二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，
叫做二元一次方程组的解.
①
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
例1：有下列方程组：
①
xy＝1 x＋y＝2
x－y＝3
②
1 x
＋y＝1
2x＋z＝0
③
3x－y＝15
x＝5
④
x 2
＋
y 3
＝7
⑤
x＋＝3
x－y＝1
上面的问题中未知数x，y必须同时满足方程
x＋y＝10 2x＋y＝16
二元一次方程组
二元一次方程组 这个方程组中有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为1, 并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
列二元一次方程
一、二元一次方程的概念二元一次方程是指形如 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c 是已知常数，x、y 是未知数。
这类方程中的未知数的次数都是1，即一元一次方程的扩展。
二、二元一次方程的解法1. 代入法代入法是一种常见的解二元一次方程的方法。
具体步骤如下：（1）选择一个方程，解出其中一个未知数，例如解出 x = (c - by) / a。
（2）将解出的未知数代入另一个方程，得到关于另一个未知数的方程。
（3）解出另一个未知数。
（4）将解出的未知数代回原方程，得到另一个未知数的值。
2. 消元法消元法是一种通过加减消去一个未知数，从而求解另一个未知数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个方程中未知数的系数调整一致。
（2）将两个方程相加或相减，消去一个未知数。
（3）解出另一个未知数。
（4）将解出的未知数代回原方程，得到另一个未知数的值。
3. 图像法图像法是一种利用二元一次方程的图像求解的方法。
具体步骤如下：（1）将两个方程分别表示为直线方程。
（2）在坐标系中画出这两条直线。
（3）两条直线的交点即为方程的解。
三、二元一次方程的应用实例1. 问题描述：小明去超市购买苹果和香蕉，苹果每千克10元，香蕉每千克5元。
小明花费50元，共买了5千克水果。
请问小明分别买了多少千克苹果和香蕉？解答：设苹果的重量为 x 千克，香蕉的重量为 y 千克。
根据题意，可以列出以下方程组：10x + 5y = 50x + y = 5使用消元法求解：10x + 5y = 50-5x - 5y = -25----------------5x = 25x = 5将 x = 5 代入 x + y = 5，得到：5 + y = 5y = 0所以，小明买了5千克苹果和0千克香蕉。
2. 问题描述：一个长方形的长是宽的3倍，长方形的周长是40厘米。
请问这个长方形的长和宽分别是多少厘米？解答：设长方形的宽为 x 厘米，则长为 3x 厘米。
根据题意，可以列出以下方程：2(x + 3x) = 40化简得：8x = 40x = 5所以，长方形的宽是5厘米，长是15厘米。
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第九讲 二元一次方程（一）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）若x 4-3|m|+y3|n|=2009是关于x ，y 的二元一次方程，且mn ＜0，0＜m+n≤3，则m-n 的值是________[同步练习] 1、下列方程：2x+y=1，3x-2y=0，5xy-y=1，2x +y=1；其中是二元一次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、方程是二元一次方程，则3、已知方程82||1(26)(2)0m n m x n y-+-+-= 是关于x,y 的二元一次方程，求m ，n 的值。
【例2】（1）（2011•枣庄）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组ax by 7ax by 1+=⎧⎨-=⎩的解，则a-b 的值为________（2）在解关于x ，y 的方程组ax by 2cx 7y 8+=⎧⎨-=⎩时，小虹正确地解得x 3y 2.=⎧⎨=-⎩ ，小静因把c 写错而解得x 2y 2.=-⎧⎨=⎩，那么a+b+c 的值为_____________[同步练习]1、已知x2y1=⎧⎨=⎩是二元一次方程组m x ny82x m y1+=⎧⎨-=⎩的解，则（2m-n）2=___________2、方程组2x y Mx y3+=⎧⎨+=⎩的解为x1y N=⎧⎨=⎩，则被遮盖的两个数M、N分别为___________3、甲、乙两位同学解方程组m x y52x ny13+=⎧⎨-=⎩甲解题时看错了常数m,解得7x2y-2⎧=⎪⎨⎪=⎩，乙解题时看错了常数n,解得x3y-7=⎧⎨=⎩，试求:(1)常数m、n的值;(2)原方程组的解.【例3】若方程组5x3y23k3x y k4+=-⎧⎨-=+⎩的解为xy ba=⎧⎨=⎩且|k|＜3，则a-b的取值范围是_________[同步练习]1、解关于x，y的方程组2x ay103x y2+=⎧⎨-=⎩的解为x2y b=⎧⎨=⎩，则a= _______，b= _________2、若方程组ax by43x y2+=⎧⎨-=⎩与方程组x2y1ax by2+=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a，b的值．【例4】已知方程组3x 5y 22x 3y mm +=+⎧⎨+=⎩的解适合x+y=8，求m 的值。
[同步练习]1、 若以x 、y 为未知数的二元一次方程组2x y 3m 2x y 7m+=⎧⎨-=⎩的解满足方程4x-5y=7，求m 的值2、已知关于x 、y 二元一次方程组3x 5y 4x 2y mm +=-⎧⎨+=⎩其中,未知数x 与y 的和为-1,求m 的值.3、求满足方程组2x y 4m 014x 3y 20--=⎧⎨-=⎩中的y 值是X 值的3倍的m 的值,并求xyx y +的值【例5】解方程组○1⎩⎨⎧=+=+151617171819y x y x ； ○2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-152223*********yx y x yx y x1、解方程组⎩⎨⎧=+=+602920092011603120112009y x y x 3610-1610x y x y xy x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩⎩⎨⎧-=-=+1327y x y x 11124101120()1x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-521845n m n m 的解是⎩⎨⎧==34n m ，求方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--5232182435y x y x 的解【例6】○1已知二元一次方程组无解，则a 的值是___________○2与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=61、关于x ，y 的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，当a 取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ） A ． x=3y=-1B ． x=2y=-0C ． x=-3y=1D ． x=1y=22、若方程组142kx y x m y -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则k 与m 的值分别为_____________3、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0201a y bx ay x 没有实数解，则 .【例7】m 取何值时，方程组2441x m y x y +=⎧⎨+=⎩的解x 和y 都是整数？[同步练习]1、 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解x 和y 都是正整数？2、 要使方程组21x ky kx y +=⎧⎨-=⎩的解是整数，k 应取哪些整数值？3、（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？【例8】.已知543z y x ==，求xz y x 2++的值。
[同步练习] 1、已知432z y x ==，且x+y-z =121,求x 、y 、z 的值。
2、解方程组:3:2:5:466x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩3、 已知x y z a bb cc a==---，求x+y+z 的值。
【课后作业】1.下列方程中是二元一次方程的有（ ）个。
①1225=-n m② 161147=-y x ③ 2532-=-z x④311=-+ba ⑤ m n mn =-3A.2B.3C.4D.52.在方程2(x+y)-3(y-x)=3中用含x 的代数式表示y ，则是（ ） A.y=5x-3 B.y=-x-3 C.y=-5x-3 D.y=-5x+33.与已知方程5x-y=2组成的方程组有无数多组解的方程是（ ） A.10x+2y=4 B.4x-y=7 C.20x-4y=3 D.15x-3y=64.若方程03)2()32()4(22=+-+-+-k y k x k x k为二元一次方程，则k 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2D.以上均不对。
二.填空题：5.已知二元一次方程2x+3y=10,当x=0,1,2时，y=_________。
6.若关于x 、y 的方程125452-=---mn m yx是二元一次方程，则m=_____,n______。
7.把方程2(x+3)=5(y-2)+1化成二元一次方程的一般式为___________。
8.已知4x-5y=3,用含x 的代数式表示y,则y=___________。
9.方程x+2y=7有____组解，有____组正整数解，它们是___________ 。
10.若关于x 、y 的方程02)5()2(32=+++--y k xk k 是二元一次方程，则k=________。
11、若b a b a b a 32,0)222(5322-=--+++则的值为（ ）A.8B.2C.-2D.-4 12.如果x+y=m,x-y=n,那么2x-3y=（ ） A.)4(21n m - B.)5(21n m - C.)5(41m n - D.)5(21m n -13.已知mmnm nm yxyx ---+-17324与是同类项，，则m 、n 的值分别是（ ）A.m=-1,n=-7B.m=2,n=3C.m=3,n=2D.m=1,n=714.若方程组⎩⎨⎧=++-=+4)1()1(132y k x k y x 的解x 与y 相等，则k=_________。
15.已知关于x 、y 方程组⎩⎨⎧=-=+my x m y x 95的解满足2x-3y=1,则m=_________。
16.若方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+725,735732by ax by ax y x y x y x 方程组与关于的解相同，则a=____, b=________。
三、解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++2)(4)(5623n m n m n m n m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+101216m t t n n m⎪⎩⎪⎨⎧=-==++033:2:6z x z y z y x四、解答题1、方程组⎩⎨⎧-=-=+2242062y mx by ax 的解应为⎩⎨⎧==108y x ，但是由于看错了数m ，而得到的解为⎩⎨⎧==611y x ，求a+b+m 的值。
2、在解方程组ax+5y 15,4x-b y 2=⎧⎨=-⎩时，由于粗心，小明看错了方程组中的a ，而得到解为x 3,y 1=-⎧⎨=-⎩小刚看错了方程组中的b ，而得到解为x 5,y 4=⎧⎨=⎩试问：（1） 小明把a 看成了什么？小刚把b 看成了什么？方程组中的a 、b 的正确的值分别是什么？ （2） 请求出原方程组的解. 3、已知23x y=则代数式22x xy x xy+-的值为多少？4、（07杭州）三个同学对问题“若方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==43y x ，求方程组⎩⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解，”提出各自的想法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解；”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试；”丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决，”参考它们的讨论，你认为这个题目的解应该是____________。