2020中考知识点备课 知识点26 反证法、命题与定理2019
中考数学复习考点知识与题型专题讲解28---命题与证明(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题28 命题与证明【知识要点】命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的形式：“如果…那么…”。
（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。
定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。
一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。
【考查题型】考查题型一判断是否命题及命题真假典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．【详解】A. 2=，2，故A 错误；B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误；D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．变式1-2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-； （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1 【答案】C分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题， （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．变式1-4．（2021·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC ∠=︒C ．若120ABC ∠=︒．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．考查题型二写一个命题的逆命题典例2．（2021·广东广州市·九年级二模）下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；B. 两个角都是45，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立故选C．【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．变式2-1．（2021·莆田擢英中学九年级零模）下列命题中，逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．两直线平行，同位角相等D．互余的两个角都小于90°【答案】C【分析】先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．【详解】A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．变式2-2．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 考查题型三 用反证法证明命题典例3．（2021·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D '∠=∠以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，②依据理论依据1，可得//A B CD ''，③假设AOF EO D '∠≠∠，④AOF EO D '∴∠=∠．⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设AOF EO D '∠≠∠，如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，∴//A B CD ''，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴AOF EO D '∠=∠．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．变式3-1．（2021·浙江九年级其他模拟）能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2【答案】B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．变式3-2．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“ABC 中，若A B C ∠∠∠>>，则A 60∠>”，第一步应假设()A ．A 60∠=B ．A 60∠<C ．A 60∠≠D ．A 60∠≤【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A ＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【详解】解：∠A 与60°的大小关系有∠A ＞60°，∠A=60°，∠A ＜60°三种情况，因而∠A ＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选：D变式3-3．（2021·河北唐山市·中考模拟）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.变式3-4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）能说明命题“若一次函数经过第一、二象限，则k+b ＞0”是假命题的反例是（ ）A ．y 2x 3=+B ．y 2x 3=-C ．y 3x 2=--D ．y 3x 2=-+【答案】D【分析】利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、二象限，则k＞0，b＞0或k＜0，b＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的证明举例，训练了学生对举反例法的掌握情况．。
中考数学十大题型解题方法之反证法
中考数学十大题型解题方法之反证法
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种。
反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
知识点26 反证法、命题与定理2018-2019领军中考数学(解析版)
1 专题二十六 反证法、命题与定理瞄准中考一、选择题1. （2018湖南省怀化市，8，4分）下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．菱形的对角线相等D ．相等的两个角是对顶角【思路分析】A ．两直线平行，同位角相等，根据平行线的性质定理，得出A 是真命题．相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出B 是假命题．根据菱形的性质可知，菱形的对角线相等是假命题．对顶角一定相等，但角相等不一定是对顶角，得出D 是假命题．2. 2018广西贵港，8，3分）下列命题中真命题是A ．a2＝(a)2一定成立B ．位似图形不可能全等C ．正多边形都是轴对称图形D ．圆锥的主视图一定是等边三角形 【答案】C3. （2018江苏常州，5，2）下列命题中，假命题是（ ）A ．一组对边相等的四边形是平行四边形B ．三个角是直角的四边形是矩形C ．四边相等的四边形是菱形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】B 【解析】∵231<<，352<<，∴介于53与之间的整数只有2，故选B.4. （2018内蒙古包头，10，3分）已知下列命题：2 ①若33b a >，则22b a >；②若点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在二次函数122--=x x y 的图象上，且满足x 1<x 2<1，则y 1>y 2>－2； ③在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；④周长相等的所有等腰直角三角形全等.其中真命题的个数是 ( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】C5. （2018四川眉山，9，3分）下列命题为真命题的是（ ）A ．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B ．相似三角形面积之比等于相似比C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形【答案】A【解析】①相似三角形面积之比等于相似比的平方，故B 错误；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C 错误；③顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，故D 错误，因此选A ．考点（知识点）讲解考点九、反证法 （3分）先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
反证法-高中数学知识点讲解
反证法
1．反证法
【知识点的认识】
反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．
【解题思路点拨】
用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论
2．反证法的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）作出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
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2020年中考数学知识点归类《26反证法、命题与定理》(2019中考原题)
一、选择题7．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．6．（2019·娄底）下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．8．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）A. n 边形（n ≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．8．（2019·武汉）已知反比例函数xk y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接O A ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2；③ 若x 1＋x 2＝0，则y 1＋y 2＝0其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy |＝3，∴|k |＝|xy |＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x 1＜0＜x 2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y 1＞y 2,正确；③中，∵y 1＝16x -,y 2＝26x -,∴y 1＋y 2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x 1＋x 2＝0，∴y 1＋y 2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ． 1. （2019·岳阳）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．2. (2019·巴中)下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .由此得出一个关于之间数量关系的命题： 若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝. 又∵AE ＋BG ＝2CF ， ∴CF ＝又∵CF ＞DF ，n ＞1，∴＞，即＞. 故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论＞， 1y x =1y x =1y x =112,,11n n n-+a b -a b a b a b ÷a b 1y x =1,1n -1,1n +1n111(),211n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n1111n n +-+2n1111n n +-+2n∵n ＞1，∴＞0， ∴＞.2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2n。
定理的概念和证明方法
定理的概念和证明方法一、定理的概念1.定义：定理是经过推理、论证，被公认为真实并具有普遍意义的数学命题。
a)定理是由已知条件推出未知结论的命题；b)定理具有严谨的逻辑结构；c)定理的结论是普遍适用的。
2.定理与命题的区别：a)命题可以是真命题，也可以是假命题；b)定理是真命题，且具有普遍性。
二、证明方法1.直接证明法：a)利用已知条件和定理、公理直接推导出结论；b)通过数学运算、逻辑推理得出结论。
2.反证法：a)假设结论不成立，即结论的否定成立；b)从假设的否定出发，经过推理得出矛盾；c)由矛盾得出结论必须成立。
3.归纳证明法：a)对特殊情况进行验证，得出结论；b)假设结论对特殊情况成立，证明结论对相邻情况也成立；c)经过归纳，证明结论对所有情况成立。
4.演绎证明法：a)从一般原理出发，推导出具体结论；b)遵循“三段论”形式：大前提、小前提、结论。
5.构造证明法：a)通过构造实例，证明结论的正确性；b)构造与结论相关的主要元素，展示其关系。
6.归谬证明法：a)假设结论不成立，即结论的否定成立；b)从假设的否定出发，经过推理得出错误的结论；c)由错误的结论得出结论必须成立。
7.逆否证明法：a)把原命题的否定和逆序写成一个新的命题；b)证明新命题成立，即可证明原命题成立。
8.综合证明法：a)结合多种证明方法，证明结论的正确性；b)灵活运用各种证明方法，形成综合证明。
三、定理的证明与运用1.学习定理时，要关注定理的定义、性质、条件及结论；2.掌握定理的证明方法，理解定理的证明过程；3.学会运用定理解决实际问题，提高解题能力。
四、定理的学习与探究1.学习定理时，要注重理解定理的背景和意义；2.积极参与定理的证明过程，提高逻辑思维能力；3.探索定理的广泛应用，拓宽知识面。
通过以上知识点的学习，学生可以对定理的概念和证明方法有更深入的了解，从而提高数学思维能力和解题水平。
习题及方法：1.习题：判断下列命题是否为定理，并说明理由。
2020中考数学知识点大全(2020年7月整理).pdf
考点六、实数的运算 1、加法交换律
（做题的基础，分值相当大）
a+b = b+a
2、加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
3、乘法交换律
ab = ba
4、乘法结合律
(ab)c = a(bc)
5、乘法对加法的分配律 a(b + c) = ab + ac
6、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的求根公式： x = − b b2 − 4ac (b2 − 4ac 0) 2a
4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用 的方法。 考点四、一元二次方程根的判别式 （3 分） 根的判别式
整式的乘法： am • an = am+n (m, n都是正整数)
（am）n = amn (m, n都是正整数)
(ab)n = anbn (n都是正整数)
(a + b)(a − b) = a 2 − b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 − a = −3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 （3—6 分）
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中考数学解题方法：反证法
中考数学解题方法：反证法?数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而进展起来的。
六年级的同学们专门快就要小学毕业，中学的大门差不多向我们放开。
为了能进一步学好数学，有必要把握初中数学的特点专门是解题方法。
下面介绍的解题方法，差不多上初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求把握的。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从那个假设动身，通过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到确信原命题正确的一种方法。
反证法能够分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
2020中考数学试题分类汇编 知识点26 反证法、命题与定理
知识点26 反证法、命题与定理一、选择题1.（2018山东滨州，7，3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【解析】等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以A选项是假命题；对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以B选项是假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以C选项是假命题；只有选项D是真命题．【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定2. （2018湖南岳阳，7，3分）下列命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点C．五边形的内角和是540 D．圆内接四边形的对角相等【答案】C.【解析】解：A选项，平行四边形的对角线不一定相等，如菱形是平行四边形，但对角线不相等，故错误；B选项，三角形的重心是三条边的中线的交点，故错误；C选项，五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，故正确；D选项，圆内接四边形的对角互补，不一定相等，故错误.故选C.【知识点】平行四边形的性质，三角形重心的定义，多边形内角和，圆内接四边形的性质3. （2018四川广安，题号8，分值3）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A.【解析】当a=1，b=-2时，a＞b，则a2＜b2，所以①错误；等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，所以②错误；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，所以③正确；由关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，可知22-4a≥0，且a≠0，解得a≤1，且a≠0.所以④错误.则真命题的个数是1个.【知识点】切线长定理，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的判定4.（2018·重庆B卷，6，4）下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的相反数等于这个数的本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1C．如果一个数的平方等于这个数的本身，那么这个数一定是0D．如果一个数的算术平方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0【答案】A．【解析】易知A选项正确，因为倒数等于其本身的数是±1，平方数等于其本身的数有0和1，算术平方根等于其本身的数有0和1，故选A．【知识点】有理数的概念相反数倒数平方数算术平方根5. （2018湖南衡阳，9，3分）下列命题是假命题的是（）A．正五边形的内角和为540 B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补【答案】C.【解析】解：A．正五边形的内角和为540，是真命题；B．矩形的对角线相等，是真命题；C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C是假命题；D．圆内接四边形的对角互补，是真命题.故选C. 【知识点】命题与定理1.（2018·重庆A卷，6，4）下列命题正确的是（）A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分【答案】D．【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，故只有D选项是真命题，因此，选D．【知识点】命题2. （2018湖北荆门，4，3分）下列命题错误的是（）A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形B．矩形一定有外接圆C.对角线相等的菱形是正方形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】D.【解析】解：A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确；B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确；C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误.故选：D.【知识点】多边形的内角和与外角和，四点共圆问题，正方形的判定，平行四边形的判定3. （2018湖南省永州市，7，4）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C.任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【答案】D【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，则选项A不正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，则选项B不正确；任意多边形的内角和为180°(n-2)，则选项C不正确；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，则选项D正确. 因此，本题选D．【知识点】矩形、菱形的性质多边形的内角和三角形的中位线二、填空题1.（2018·北京，11，2）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝_______，b＝_______，c＝_______．【答案】答案不唯一，如1，2，－1．【解析】本题答案不唯一，只要c为负数均可，主要考查不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，如“若1＜2，则1×(－1)＜2×(－1)”是错误的，因此，此时的a，b，c的值分别为1，2，－1．【知识点】一元一次不等式的性质；命题；反例2. （2018江苏无锡，15，3分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 .【答案】菱形的四边都相等【解析】交换题设和结论即可得到原命题的逆命题.【知识点】逆命题的定义。
2020中考知识点备课 知识点26 反证法、命题与定理2019
一、选择题7．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．6．（2019·娄底）下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．8．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）A. n 边形（n ≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．8．（2019·武汉）已知反比例函数xk y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接O A ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2；③ 若x 1＋x 2＝0，则y 1＋y 2＝0其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy |＝3，∴|k |＝|xy |＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x 1＜0＜x 2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y 1＞y 2,正确；③中，∵y 1＝16x -,y 2＝26x -,∴y 1＋y 2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x 1＋x 2＝0，∴y 1＋y 2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ． 1. （2019·岳阳）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．2. (2019·巴中)下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;()解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形; ②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .由此得出一个关于之间数量关系的命题： 若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1），∴AE ＝BG ＝DF ＝. 又∵AE ＋BG ＝2CF ， ∴CF ＝又∵CF ＞DF ，n ＞1，∴＞，即＞. 1y x=1y x =1y x =112,,11n n n-+x y DC B AG F E O a b -a b a b a b ÷a b 1y x =1,1n -1,1n +1n111(),211n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论＞， ∵n ＞1，∴＞0， ∴＞.1111n n +-+2n1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2n。
中考备考2019：初中数学基本定理(八)(1)
中考备考2019：初中数学基本定理（八）7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过准确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题准确的一种方法。
反证法能够分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了准确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存有、不存有;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;、至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算相关的性质定理，不但可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。
使用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时能够不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法在数学问题的研究中，常常使用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。
有一些看来很难甚至于无法下手的习题，能够借助几何变换法，化繁为简，化难为易。
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中考数学备考名师指点：反证法
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反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：
(1)反设;
(2)归谬;
(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：
是/不是;
存在/不存在;
平行于/不平行于;
垂直于/不垂直于;
等于/不等于;
大(小)于/不大(小)于;
都是/不都是;
至少有一个/一个也没有;
至少有n个/至多有(n一1)个;
至多有一个/至少有两个;
唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
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中考数学必考知识复习清单：基本定理(八)
中考数学必考知识复习清单：基本定理（八）7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从那个假设动身，通过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到确信原命题正确的一种方法。
反证法能够分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，把握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大（小）于、不大（小）于；差不多上、不差不多上；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有（n一1）个；至多有一个、至少有两个；唯独、至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设动身，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积运算有关的性质定理，不仅可用于运算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效。
运用面积关系来证明或运算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
因此用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要运算，有时能够不添置补助线，即使需要添置辅助线，也专门容易考虑到。
9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换要紧是初等变换。
有一些看来专门难甚至于无法下手的习题，能够借助几何变换法，化繁为简，化难为易。
中考数学解题方法反证法专题
中考数学解题方法反证法专题在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的情况.一、基本定理或初始命题的证明在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多.例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行.证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”.不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°.这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°.这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立.所以，直线a与b不相交，即a与b平行.二、存在性问题的证明在数学中，证明“存在”的问题很多，这种情况下，往往使用反证法.例2已知△ABC的三边满足b=（a+b）/2，求证：△ABC 中至少有两个角不超过60°.证明设至少有两个角超过60°，因为∠A+∠B+∠C=180°，所以△ABC中至多有两个角超过60°，即所设等价于“△ABC中有两个角超过60°”我们不妨设∠A>60°、∠C>60°，则cosA<1/2、cosC<1/2.由余弦定理：c2=b2+a2-2bacosC>b2+a2-ba，（1）a2=b2+c2-2bccosA>b2+c2-bc.（2）（1）+（2）得2b2<ba+bc，即b故假设错误，即：△ABC中至少有两个角不超过60°.三、无限性命题的证明在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手，这时，我们常使用反证法.例3求证：2是无理数.证明假设2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设2=qp，p≠0，且整数p，q互素，则2p=q.所以，2p2=q2.（1）故q2是偶数，q也必然为偶数.不妨设q=2k，代入①式，则有2p2=4k2，即p2=2k2，所以，p也为偶数.p和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾.这样，2不是有理数，而是无理数.四、否定性命题的证明例4求证：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.证明假设n2+n+2能被15整除，则n2+n+2必然能被5整除，所以n2+n+2的尾数必然为5或0，又因为n2+n+2=n （n+1）+2为偶数，所以n2+n+2的尾数必然为0，即n2+n=n（n+1）的尾数，必然为8.对任意自然数n，n（n+1）的尾数均不为8，所以假设错误.即：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.五、所求证命题为不等式例4已知：如图2所示△ABC中，∠A = 90°，AD ⊥BC 于 D ，求证：AD + BC > AB + AC.证明：假设AD + BC AB + AC例5在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠PAB>∠PAC.求证：∠APB<∠APC.证明如图2，假设∠APB>∠APC.因为AB=AC，∠PAB>∠PAC，则有：∠PAB+∠APB>∠PAC+∠APC，因此∠ABP<∠ACP.因为∠ABC=∠ACB，所以∠PBC>∠PCB，PC>PB.在△APB和△APC中，AB=AC，AP=AP，PC>PB，所以∠PAB<∠PAC，这与已知条件相矛盾，故假设不真.所以∠APB<∠APC.关于常用反证法求解的命题，我们主要总结了五类，对于这几类命题，反证法一般较为有效.但是必须指出：对于不同的题目，往往有不同的求解方法，对这些题目，甚至会有极个别的更为简捷的方法，但由于没有一定的普遍性，此处不再一一列出.。
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一、选择题
7．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等
【答案】C ．
【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；
B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；
C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；
D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；
故选C ．
6．（2019·娄底）下列命题是假命题的是（ ）
A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒
D ．旋转不改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．
B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．
C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．
D ．由旋转的性质得该选项是真命题．
8．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）
A. n 边形（n ≥3）的外角和是360°
B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C. 相等的角是对顶角
D. 矩形的对角线互相平分且相等
【答案】C ．
【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．
8．（2019·武汉）已知反比例函数x
k y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接O A ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2；③ 若x 1＋x 2＝0，则y 1＋y 2＝0其中真命题个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12
|xy |＝3，∴|k |＝|xy |＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴
k ＝－6．正确；∵x 1＜0＜x 2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y 1＞y 2,正确；③中，∵y 1＝16x -,y 2＝26x -,∴y 1＋y 2＝16x -＋26x -＝1212
6()x x x x -+,若x 1＋x 2＝0，∴y 1＋y 2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ． 1. （2019·岳阳）下列命题是假命题．．．
的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B ．同角（或等角）的余角相等
C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【答案】A
【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．
2. (2019·巴中)下列命题是真命题的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四边相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.
二、填空题
12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")
【答案】真命题
【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.
12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0
【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．
逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，
b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.
三、解答题
1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.
(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.
①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;
②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;
(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")
如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.
①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )
②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )
解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形; ②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;
(2)①假命题;②假命题;
21．（2019山东威海，21，8分）
（1）阅读理解
如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）.
小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .
由此得出一个关于
之间数量关系的命题： 若n ＞1，则
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.
小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.
请你选择一种方法证明（1）中的命题.
【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1），
∴AE ＝
BG ＝DF
＝. 1y x
=
1y x =1y x =112,,11n n n
-+x y D
C B A
G F E O a b -a b a b a b ÷a b 1y x =
1,1n -1,1n +1n
又∵AE ＋BG ＝2CF ，
∴CF ＝ 又∵CF ＞DF ，n ＞1，
∴
＞，即＞. 故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论＞， ∵n ＞1，
∴＞0， ∴
＞. 111(),211
n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n
1111n n +-+2n
1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2n。