第三章 第2节 第2课时(函数的极值、最值)

第2课时利用导数研究函数的极值、最值
1.函数的极值与导数
2.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最
小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
[常用结论与微点提醒]
1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()
(3)函数的极大值一定大于其极小值.()
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.()
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()
2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
3、若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()
A.－1
B.－2e－3
C.5e－3
D.1
考点一利用导数研究函数的极值(多维探究)
命题角度1已知函数求极值(点)
【例1－1】(2018·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋a
e x(a∈R，e为自然对数的底
数).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值.
命题角度2已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【例1－2】已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围.
规律方法函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：
①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.
(2)由函数极值求参数的值或范围.
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.
【训练1】设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0).
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.
考点二利用导数研究函数的最值
【例2】(2018·山西三区八校模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值.
规律方法 1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【训练2】已知函数f (x )＝e x cos x －x .
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.
考点三 函数极值与最值的综合问题
【例3】 (2018·河南百校联盟模拟)已知函数f (x )＝e x －ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x ，恒有f (x )≥0，求f (a )的最值范围.
规律方法 1.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.
2.本题分离参数，构造函数，把问题转化为求函数的最值问题，优化了解题过程. 【训练3】已知函数f (x )＝x ln x (x >0). (1)求f (x )的单调区间和极值；
(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －3
2恒成立，求实数m 的最大值.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4
B.－2
C.4
D.2
2.函数f (x )＝1
2x 2－ln x 的最小值为( ) A.12
B.1
C.0
D.不存在
3.(2018·石家庄模拟)函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A.(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间
B.(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间
C.函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值
D.函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值
4.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A.a <－1 B.a >－1 C.a >－1e
D.a <－1
e
5.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a >12，当x ∈(－2，0)时，
f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.1
4 B.1
3
C.12
D.1
二、填空题
6.(2017·新乡模拟)设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________.
7.(2018·郴州模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x －1 （x >0），
h （x ） （x <0），则函数h (x )的最大值为
________.
8.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题
9设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相切. (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e ，e 上的最大值.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
10.已知函数f (x )＝x ln x －a e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e B.(0，e) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e
D.(－∞，e)
11.已知函数f (x )＝a e x －2x －2a ，且a ∈[1，2]，设函数f (x )在区间[0，ln 2]上的最小值为m ，则m 的取值范围是________. 13.已知函数f (x )＝e x
－a
x ，a 为实常数.
(1)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，且极值大于ln 4＋2，求a 的取值范围.。