圆的基本性质

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是 一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决计算弦长、半 径、圆心到弦的距离等问题．
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
3.如上图，⊙O的直径是10， 线段OP的长为3，则过点P 的所有弦中，①最大弦长为 ， ②最短弦长为 ，③弦长为整数 的有 条？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
连半径，构造 直角三角形
4.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
●O
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
C
D
作垂径，连半径，构造 直角三角形
注意圆的对称性
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，段和弧？为什么？来自ABD
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
（A）
B
D
C
O
M
A
B
例4
变式．如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。
Ａ
Ｂ
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道． 如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
Ｅ
Ｆ
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ， 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
O
A
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6，
求弦长AB。
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
O
探究：
A
B
D
C
E
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
圆的对称性及特性
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
A
P
D
C
B
O
┓
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
1、填空：如图，在⊙O中 （1）若MN⊥AB，MN为直径；则 （ ），（ ），（ ）； （2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则 （ ），（ ），（ ）； （3）若MN⊥AB，AC＝BC，则 （ ），（ ），（ ）； （4）若AM＝BM，MN为直径，则 （ ），（ ），（ ）。
任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结
练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点 位置有 个。
p1
p2
P
C
注意圆的轴对称性
3≤OP≤5
5
2．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径 的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm, EF=3cm,则AB=___
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
C
O
B
A
M
N
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
垂径定理和勾股定理相结合，构 造直角三角形，把圆的问题化归 为直线形问题解决。
A
B
O
思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,则污水面下降了多少cm
A
B
O
C
D
两弦在圆心同旁
两弦在圆心两旁
Ｄ
Ｃ
O
·
Ｂ
Ａ
F
E
O
·
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
F
E
Ｒ＝５０cm； ＣＤ＝８０cm
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
A
C
B
O
A
C
B
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
如图∵ CD是⊙O的直径（ ⊙O中，CD经过点O）,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AM=BM
⊙O 中CD为直径
CD⊥AB于M
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
符号语言：
O
A
B
D
C
O
E
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
应用垂径定理的几个基本图形
圆的基本性质
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
A
B
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？
P
.
A
C
D
B
O
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
E
A
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（A）
B
D
C
O
E
A
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧。
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两 条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥弦AB,
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2