8量子力学初步1
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高中物理竞赛基础：量子力学初步
§3、2 量子力学初步3．2．1、 物质的二象性①光的二象性：众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。
因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。
一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数光子质量： 22c hv c E m == 秒焦∙⨯=-341063.6h光子动量：c hvmc P == ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。
他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。
第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。
这两组特征量之间的关系仍是λhp hv E =⋅=自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。
物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。
对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。
物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。
例1、试估算热中子的德布罗意波长。
（中子的质量kg m n 271067.1-⨯=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能eV J kT 038.01021.63001038.123232123=⨯=⨯⨯⨯==--ε 它的方均根速率s m m v n 32721107.21067.11021.622⨯≈⨯⨯⨯==--ε，相应的德布罗意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734=⨯⨯⨯==--λ这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。
量子力学初步
上式可以看出，势垒厚度a越大，粒子通过的几率越小；粒子的能量E越大，则穿透几率也越大， 两者呈指数关系。例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a～10cm，V0-E=1eV，穿透几率约为10-24 ， 几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明 显的。对电子而言，me～10-31kg，V0-E=1eV，a～10-8cm，大体求得穿透几率为e-0.1 ～0.9(一般情 况下，穿透几率是比较小的)，隧道效应就变得十分明显了。
图3.2.1 无限深势阱
4.2.2
4.2.3)
4.2.4) 式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条件及归一化条件。从物理上考 虑，粒子不能透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，
即 上式舍去了n=0和n为负值的情况
(4.2.5) 这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件
动能算符可由动量算符得到。因动能 故有
在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V
薛定谔方程(3.1.1)和定态薛定谔方程(3.1.7)
ih(r) H ˆ(r), H ˆ(r) E (r) t
算符 作用于自己的本征函数ψA，等于一个数值A乘以ψA。上式称为算符 的本征方程。解这个方
硅单晶表面
直接提走硅 原子形成2纳 米的线条
4.4 简谐振子 简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。本节介绍一维微观简谐振子的运动特点。在简谐振动 中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，势能为V=1/2kx .故薛 定谔方程是:
V 1 kx2 2
上式可改写成 式中
例4.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法
章3 量子力学初步(1)
光一样会有衍射发生。 如果要求如图中所示 的方向上
有强的出射波束，由二邻近平面衍射
的波应该有相同的相位，这就是说，
图中的1和2两道路径的波程差应该等
于波长的整数倍。
强波束射出的条件是 2d sin n （布拉格方程）
当、满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。
1 2 h h m eU 设加速电压为U 2 p m h h 1.225nm m 2eU / m 2emU U (V )
x p x / 2
p / 2
y p y / 2
E t / 2
三、能量和时间不确定关系的简单推导
E mc [ p c m c ]
2 2 2 2 0
4 1/ 2
c 2 pdp 1 2 2 2 dp dE [ p c m0 c 4 ]1 / 2 2c 2 pdp E 2
27
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。
单值：在任何一点，几率只能有一个值
有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空间出 现的总几率应当为1：
( x, y , z , t )
2
dV 1
28
精品资料631物质的波粒二象性一光的波粒二象性??1672年牛顿光的微粒说??1678年惠更斯光的波动说??19世纪初菲涅尔夫琅和费杨氏等人证实了光的干涉和衍射从而确立了光的波动性??19世纪末麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波??1900年普朗克提出能量子假说??1905年爱因斯坦提出了光子说解释了光电效应并被康普顿散射实验验证精品资料7?he?光子的能量??hchmcp???光子的动量光子的质量22chcem???结论
有强的出射波束，由二邻近平面衍射
的波应该有相同的相位，这就是说，
图中的1和2两道路径的波程差应该等
于波长的整数倍。
强波束射出的条件是 2d sin n （布拉格方程）
当、满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。
1 2 h h m eU 设加速电压为U 2 p m h h 1.225nm m 2eU / m 2emU U (V )
x p x / 2
p / 2
y p y / 2
E t / 2
三、能量和时间不确定关系的简单推导
E mc [ p c m c ]
2 2 2 2 0
4 1/ 2
c 2 pdp 1 2 2 2 dp dE [ p c m0 c 4 ]1 / 2 2c 2 pdp E 2
27
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。
单值：在任何一点，几率只能有一个值
有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空间出 现的总几率应当为1：
( x, y , z , t )
2
dV 1
28
精品资料631物质的波粒二象性一光的波粒二象性??1672年牛顿光的微粒说??1678年惠更斯光的波动说??19世纪初菲涅尔夫琅和费杨氏等人证实了光的干涉和衍射从而确立了光的波动性??19世纪末麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波??1900年普朗克提出能量子假说??1905年爱因斯坦提出了光子说解释了光电效应并被康普顿散射实验验证精品资料7?he?光子的能量??hchmcp???光子的动量光子的质量22chcem???结论
量子力学初步
符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取
量子力学初步——波粒二象性实验
通过本次实验，我们熟练掌握了光学实验的基本技能，如光路搭建、光强测量等，为今后 的学习和研究打下了坚实的基础。
对未来研究方向展望
1 2 3
拓展到其他粒子
目前我们只验证了光子的波粒二象性，未来可以 拓展到其他粒子，如电子、中子等，探究它们是 否也具有波粒二象性。
深入研究量子力学基本原理
虽然我们已经初步理解了量子力学的基本原理， 但还有很多深层次的问题等待我们去探索，如量 子纠缠、量子计算等。
结果展示
将处理后的数据以图表形式展示，如干涉条纹分 布图、波长计算表等。
结果分析与讨论
波粒二象性验证
实验结果证明了光子和电子等微观粒子同时具有波动性和粒子性 ，即波粒二象性。
光的本质探讨
实验结果引发了对光本质的深入探讨，光既具有波动性又具有粒子 性，这种二元性在经典物理学中是无法解释的。
量子力学重要性
康普顿散射
X射线或伽玛射线与物质相互作用，导 致光子将部分能量转移给电子并改变 其运动方向的过程。此现象进一步证 实了光的粒子性。
双缝干涉实验原理
双缝干涉现象
当单色光通过双缝时，在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹的现象。此现象揭示 了光的波动性。
干涉条纹产生原因
光通过双缝后形成两束相干光波，它们在屏幕上叠加产生干涉，形成明暗相间 的条纹。干涉条纹的间距与光的波长、双缝间距及屏幕到双缝的距离有关。
02
实验原理
德布罗意波长公式
物质波概念
德布罗意在爱因斯坦光量子理论 及玻尔原子模型的基础上提出， 一切运动的微观粒子都具有波粒 二象性。
德布罗意波长公式
λ=h/p，其中λ为波长，h为普朗 克常量，p为粒子动量。此公式建 立了粒子性与波动性之间的定量 关系。
对未来研究方向展望
1 2 3
拓展到其他粒子
目前我们只验证了光子的波粒二象性，未来可以 拓展到其他粒子，如电子、中子等，探究它们是 否也具有波粒二象性。
深入研究量子力学基本原理
虽然我们已经初步理解了量子力学的基本原理， 但还有很多深层次的问题等待我们去探索，如量 子纠缠、量子计算等。
结果展示
将处理后的数据以图表形式展示，如干涉条纹分 布图、波长计算表等。
结果分析与讨论
波粒二象性验证
实验结果证明了光子和电子等微观粒子同时具有波动性和粒子性 ，即波粒二象性。
光的本质探讨
实验结果引发了对光本质的深入探讨，光既具有波动性又具有粒子 性，这种二元性在经典物理学中是无法解释的。
量子力学重要性
康普顿散射
X射线或伽玛射线与物质相互作用，导 致光子将部分能量转移给电子并改变 其运动方向的过程。此现象进一步证 实了光的粒子性。
双缝干涉实验原理
双缝干涉现象
当单色光通过双缝时，在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹的现象。此现象揭示 了光的波动性。
干涉条纹产生原因
光通过双缝后形成两束相干光波，它们在屏幕上叠加产生干涉，形成明暗相间 的条纹。干涉条纹的间距与光的波长、双缝间距及屏幕到双缝的距离有关。
02
实验原理
德布罗意波长公式
物质波概念
德布罗意在爱因斯坦光量子理论 及玻尔原子模型的基础上提出， 一切运动的微观粒子都具有波粒 二象性。
德布罗意波长公式
λ=h/p，其中λ为波长，h为普朗 克常量，p为粒子动量。此公式建 立了粒子性与波动性之间的定量 关系。
量子力学初步
镍单晶
将
换成以 表达，得 实验结果:
1.65×10 –10 (m)
的电子
2.15A
按德布罗意公式推算，具有动能
的德布罗意波长的理论值为 1.67×10 –10 (m)
该实验首次证实了电子具有波动性。
电子衍射附图一 1927年，G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔，结果发现，
同X射线一样，也能得到清晰的电子衍射图样。
出的概率（见后面章
节）。
试应用不确定关系分别估算下述电子和子弹的位置不确定量 质量 某原子中的电子 m e = 9.1×10 – 31 kg 某飞行中的子弹 m = 0.01 kg 速度
例题一
v = 500 m / s
子
速度不确定量
v e = 2×10 6 m / s △v e = 0.1 v e
光子的行为不能用经典粒子的运动状态参量描述和准确预测；
光波在空间某处的强度反映了光子在该处附近出现的概率。
光子衍射 在光的衍射实验中，摄像记录弱光入射的几个不 同曝光阶段的衍射图样，并进行比较，可以发现， 在衍射图样中较亮的地方，光子出现的概率较大。
单 缝 衍 射 像
圆孔衍射像
物质波假设
光，具有波粒二象性，是否一切物质都具有波粒二象性呢？
波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数标准条件 波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实这一点。 ▲ 存在不确定关系的一对物理量互称共轭物理量。
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
量子力学基础入门
CHENLI
形式二：
t E
2
若粒子在能量状态E 只能停留时间Δt ，那么这段时间内 粒子的能量状态不能完全确定，只有当粒子的停留时间为无 限长时(定态)，它的能量状态才是完全确定的(ΔE = 0)。
由于粒子的波动性，它在客观上不能同时具有确定的坐 标位置位置和相应的动量。
CHENLI
2012年的两位物理学奖获得者能够映射到当外 界环境参与时量子猫的状态。他们设计了创新 实验，详细说明观测这一行为实际上如何导致 量子状态的崩溃并失去其叠加特性的。阿罗什 和 维因兰德并没有用猫，而是将势阱中的离子
放入薛定谔假设的叠加态中。这些量子物体尽 管宏观上没有猫那样的形状，但相对于量子尺 度仍然足够大。
利用相似的方法，阿罗什和他的团队可以数空腔内的光子。光子不容易数，任何和外 界接触就会破坏。借助这个方法，阿罗什和他的团队设计后期方案一步一步实现单个量子 状态的测量。
CHENLI
CHENLI
量子力学悖论
量子力学描绘了一个肉眼无 法观测的微观世界，很多与我们 的期望和在经典物理中的经验相 反。
量子世界本身具有不确定性。 例如叠加态，一个量子可以有多 重形态。我们通常不会认为一块 大理石同时是“这样”也是“那 样”，除非是一块量子大理石。 叠加态的大理石只能确切地告诉 我们大理石是每一种形态的概率。
1929年,德布罗意获 诺贝尔物理学奖.
1924年11月，德布罗意在其博士论文里首次提出所有物 质粒子具有波粒二象性的假设。
质量为m 的粒子，以速度 v 匀速运动时，一方面可以用 能量E 和动量P 对它作粒子的描述，另一方面也可以用频 率ν，波长λ作波的描述，其关系为：
E h
p
h
/
h h
形式二：
t E
2
若粒子在能量状态E 只能停留时间Δt ，那么这段时间内 粒子的能量状态不能完全确定，只有当粒子的停留时间为无 限长时(定态)，它的能量状态才是完全确定的(ΔE = 0)。
由于粒子的波动性，它在客观上不能同时具有确定的坐 标位置位置和相应的动量。
CHENLI
2012年的两位物理学奖获得者能够映射到当外 界环境参与时量子猫的状态。他们设计了创新 实验，详细说明观测这一行为实际上如何导致 量子状态的崩溃并失去其叠加特性的。阿罗什 和 维因兰德并没有用猫，而是将势阱中的离子
放入薛定谔假设的叠加态中。这些量子物体尽 管宏观上没有猫那样的形状，但相对于量子尺 度仍然足够大。
利用相似的方法，阿罗什和他的团队可以数空腔内的光子。光子不容易数，任何和外 界接触就会破坏。借助这个方法，阿罗什和他的团队设计后期方案一步一步实现单个量子 状态的测量。
CHENLI
CHENLI
量子力学悖论
量子力学描绘了一个肉眼无 法观测的微观世界，很多与我们 的期望和在经典物理中的经验相 反。
量子世界本身具有不确定性。 例如叠加态，一个量子可以有多 重形态。我们通常不会认为一块 大理石同时是“这样”也是“那 样”，除非是一块量子大理石。 叠加态的大理石只能确切地告诉 我们大理石是每一种形态的概率。
1929年,德布罗意获 诺贝尔物理学奖.
1924年11月，德布罗意在其博士论文里首次提出所有物 质粒子具有波粒二象性的假设。
质量为m 的粒子，以速度 v 匀速运动时，一方面可以用 能量E 和动量P 对它作粒子的描述，另一方面也可以用频 率ν，波长λ作波的描述，其关系为：
E h
p
h
/
h h
第一章 量子力学初步
一电压称为遏制电压。遏制电压与入射光的强度无关。
3）遏制频率（又称红限）：遏制电压与入射光频率有关。
频率越高，遏制电压越大。还与被辐照材料有关。
爱因斯坦光量子理论： 光的波动理论难以解释光电效应规律。 光量子理论：光在空间传播时，不仅具有波动性，还具 有粒子性，每一光子的能量是ε=hν，不同频率的光子具有 不同的能量。
任何波长都低于黑体。通常用发射率来表示物体的辐射性能接
近黑体的程度。发射率也称辐射率或黑度，其定义为在相同条 件下，物体的辐出度与黑体的辐出度之比，用ε(T)表示： ε(T)=M(T)/M0(T)
M(T)和M0(T)分别为实际物体和同种物质的绝对黑体在温度T时的辐出度。
实际物体的发射率总是小于1，称为灰体。ε值表征该物体接 近于黑体的程度。
果在长波段才与实验结果相符。高频区域（短波段） 被称为“紫外灾难”。 3）普朗克公式和能量子：普朗克用内插法将维恩公式 和瑞利-金斯公式衔接起来，得到了普朗克公式。
M 0 (T ) 2hc
2
5
1 e
hc kT
1
这里：h是普朗克常数，c是光速，T绝对温度，k是玻
耳兹曼常数。
将该公式分别在短波段和长波段做近似，分别可得到 维恩线和瑞利-金斯线。 将该公式依波长从0~∞积分，则能得到辐射能与温度 的关系式（ 斯蒂芬—玻尔兹曼公式）。
单色辐出度：在单位时间内，从物体表面单位面
积上所发射的波长在λ到λ+dλ范围的辐射能dMλ，与波 长间隔dλ成正比。比值dMλ/dλ称为单色辐出度，用Mλ 表示。 Mλ = dMλ/dλ 辐出度：单位时间内从物体表面单位面积上所发
射的各种波长的总辐射能，称为该物体的辐出度，用
M(T)表示。
大学物理量子力学初步01黑体辐射和普朗克假设共30页文档
卢瑟福散射实验 是现代核物理学 的基石
黑体辐射与普朗克的量子假说
描述热辐射的物理量 黑体和黑体辐射的基本规律 经典物理学所遇到的困难 普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式 量子假说的含义及其与宏观现象的关系
黑体辐射
分子(含有带电粒子)的热运动使物体辐射电磁波。这 种与温度有关的辐射称为热辐射 (heat radiation)。 热辐射的电磁波能量对频率有一个分布。频率分布 跟温度有关
例。若视太阳为黑体，测得 m51n0m
可得 T表面570K0
斯特藩—玻耳兹曼定律和维恩位移律是测量高温、 遥感和红外追踪等技术的物理基础。 维恩 因热辐射定律的发现
1911年获诺贝尔物理学奖。
5、黑体辐射的应用
（1）.测量黑体温度
在实验室或工厂的高温炉子上开一小孔，小孔可看 作黑体，由小孔的热辐射特性，就可以确定炉内的温
而黑体的热辐射正好与空腔的形状、材料及 ‘表面状态’ 都无关，是最好的研究对象。
黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大。
2. 研究黑体辐射的实验装置示意图
T
光栅光谱仪 （或棱镜光谱仪）
热电偶(测 M(T ))
3．斯特藩—玻耳兹曼定律（实验定律）
总辐出度M(T)与黑体温度
的四次方成正比
M
M(T ) T 4
当时许多著名的物理学家都认为物理学的基本规 律都已被发现.
当时赫赫有名权威人物开耳文勋爵在一篇于1900 年发表的瞻望二十世纪物理学发展的文章中也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只需 要做一些零星的修补工作就行了”，不过他还不愧为 一名确有远见卓识的物理学家，因为他接着又指出： “但是在物理晴朗天空的远处，还有两朵小小的令人 不安的乌云”，即运用当时的物理学理论所无法正确 解释的两个实验现象，
量子力学第1章
第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。
a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。
有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
量子力学初步认识
量子力学初步认识
量子力学是一门基础物理学科，研究微观体系中的物理现象。
相比经典力学，量子力学更准确地描述了原子、分子和基本粒子的运动和相互作用。
在量子力学中，粒子的位置和动量并不是精确的，而是具有概率性。
这种概率性体现了量子态的本质，即粒子的波粒二象性。
在量子力学中，粒子表现为波动性和粒子性的双重性质，这与我们通常所熟知的经典物理学理论有很大的不同。
量子力学的另一个重要概念是量子纠缠。
当两个粒子发生纠缠时，它们之间的状态会发生变化，即使它们是在很远的距离。
这种现象在量子通信和量子计算中具有重要的应用价值。
量子力学的应用涉及到很多领域，包括量子计算、量子通信、量子物理化学等。
随着技术的不断发展，我们对量子力学的认识也越来越深入。
- 1 -。
第一章 量子力学基础
若厄米算符Â具有本征值， 若厄米算符Â具有本征值，则其一定是实数 对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组ψ 对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组ψ1 ψ2 …..形成一个正交归一的函数组 形成一个正交归一的函数组。 ψ3…..形成一个正交归一的函数组。 波函数的正交归一化条件
一 件 1 i= j 归 条 ∫ψ ψ j dτ = 0 i ≠ j 正交条件
∗ i
d2 下列函数e 例3 下列函数 x ，sinx，2cosx，x3中，哪几个是算符 ， ， dx2
的本征函数。若是，求出本征值。 的本征函数。若是，求出本征值。
d2 (ex ) x ex是算符的本征函数，本征值为 是算符的本征函数，本征值为1 = 1× e dx2 d2 (sin x) 是算符的本征函数， 是算符的本征函数 本征值为-1 = −sin x sinx是算符的本征函数，本征值为 dx2 d2 (2cos x) = −2cos x 2cosx是算符的本征函数，本征值为 是算符的本征函数， 是算符的本征函数 本征值为-1 2 dx d2 (x3 ) = 6x 2 dx
本征值与本征函数
求解Schrödinger方程结果如下： 方程结果如下： 求解 方程结果如下
nh En = 2 8ml 2 nπ x ψ n ( x) = sin , (0 < x < l ) l l n = 1, 2,3,⋯⋯
2
2
二、讨 论
（1）不同态时的波函数和能量. ）不同态时的波函数和能量. （2）波函数Ψ(x)和几率密度︱Ψ(x)︱2图. ）波函数Ψ(x)和几率密度︱ (x)︱ 和几率密度 （3）说明： ）说明： 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 波函数或几率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点 波函数或几率密度为零的点或面（边界处除外） 或节面，量子数为n 或节面，量子数为n时，有n-1个节点（面），节点数越多， 个节点（ 节点数越多， 能级越高. 能级越高. 没有经典运动轨道， 没有经典运动轨道，只有几率分布 Ψ(x)——一个量子数 一个量子数n 一个量子数
量子力学初步
( x, t ) 0e
• 对波函数的要求
i ( k x t )
0e
i ( p x Et )/ h
• 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有
V
( x, t ) d X 1
3
2
由于几率总是相 对的，该积分也 可等于常数A
2
V
( x, t ) d X A
§2-3 薛定谔方程
量子理论的两种表达方式：
1）海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法 — 数学模型较复杂。 2）薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法
—描述物质波连续时空演化的偏微分方程
—薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述——波动力学。 特点： 薛定谔方程是量子力学的最基本方程； 不是经过严格的推导而获得的；
Erwin Schrodinger 1887～1961
它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的。
• 既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形
式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性， 最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为:
(r , t ) 0 cos(k r t )
0 e
i ( p x Et )/
x ( xex , yey , zez )
k (kxex , k y ey , kz ez ) p ( pxex , pyey , pz ez )
波矢 粒子的动量
利用粒子的能量和动量表达式
h E h 2 2
h 2 p k 2 h
即
2
( x, t ) 2 p x ( x , t ) 2 x
量子力学入门(最全版)PTT文档
由于牛顿本人的高度权威，微粒说在很长的一段时间占据着上风，1827年，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳用实验证明了光存在干涉现
象，这是和而“微测粒说量”不结相容果的。显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 1874年，乔说治·强，斯顿光·史也东尼是首次一提出种了电电荷的磁概念波，它。是带亨电体里的基克本量·，赫不能兹再被制拆分作成更了小的一部分个。 能够产
生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
• 不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一 这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。
•
• 不同温度下的黑体所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份 高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据 中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。
如果我们知还道“是h”和理光子论的频上率，，就能牛用这顿个方的程计理算出论光子都的能失量。去了以往的地位。
象，这是和而“微测粒说量”不结相容果的。显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 1874年，乔说治·强，斯顿光·史也东尼是首次一提出种了电电荷的磁概念波，它。是带亨电体里的基克本量·，赫不能兹再被制拆分作成更了小的一部分个。 能够产
生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
• 不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一 这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。
•
• 不同温度下的黑体所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份 高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据 中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。
如果我们知还道“是h”和理光子论的频上率，，就能牛用这顿个方的程计理算出论光子都的能失量。去了以往的地位。
第01章 量子力学基础(定稿)
从金属表面打出电子，临阈频率只与金 光的能量则是由光的强度（振幅） 属种类有关。 决定的。
光电流增大，但不影响光电子的动能。
● 随着光强的增加，发射的电子数目增加，
● 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
第一章
光电子动能mv 2/2
斜率为h
纵截距为-φ
光频率ν
第一章
Einstein 首先认识到 Planck 提出的能量量子化的重 要性，他将能量量子化的概念应用于电磁辐射。 1905年，Einstein提出了光子学说，内容如下： 1 光不是看成一种波，光是一束光子流。每一种频率的光的能量都有一个最
第一章
黑体
带有一个微孔的空心的 金属球，非常接近于黑 体，进入金属小孔的辐 射，经过多次吸收、反 射，使射入的辐射完全 被吸收，当空腔受热时 ，又能发射出各种波长 的电磁波。
第一章
5 4 3 2 1 1000K 0 1 2 3 14 -1 /10 s 1500K 2000K
E: 黑体辐射的能量，
Ed: 频率在到 +d范围内、单位 时间、单位表面积上辐射的能量。
E/(10-9J/m2)
以E对作图，得到能量分布曲线。
规律：
随着温度升高，
同一频率的E增大，
极大值向高频移动。
第一章
按照经典物理学的方法，Rayleigh-Jeans 及 Wien等分别作了很多 研究工作，但都不能满意地解释黑体辐射实验的能量分布曲线。
第一章
上式解释了光电效应实验的全部结果： 当hν＜W 时，光子没有足够的能量使电子逸出金属，不发生 光电效应；
当hν=W 时，光子的频率是产生光电效应的临阈频率(ν0) ；
当hν＞W 时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随ν的 增加而增加，与光强无关。 增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子 数，因此增加发射电子的数目。
量子力学初步
im I（光强）
i im2 im1
Us O
2. 光电子的最大初动能与遏制电压成正比
1 2
mv2
eUs
I2 I1
I2 I1 U
第十五章 量子物理初步
3. 不同的金属有不同的红限和逸出功
仅当 0 才发生光电效应，
阈频率（红限）与材料有关与
光强无关.
Us
Cs K Cu
逸出功 A——电子逸出金属表
例15-1 已知在红外线范围( =1~14 µm)内，人体可近
似看作黑体。假设成人体表面面积的平均值为１.73 m2，表面温度为33℃=306 K，求人体辐射的总功率。 解：根据（式15-1），人体单位表面积的辐射功率为：
M (T ) T 4 5.67 108 3064 497(W m2 )
量子化学 材料物理 量子生物学
第十五章 量子物理初步
第一节 黑体辐射
一、黑体辐射
1. 热辐射 物体内部的原子和分子都在不停地作热 运动。在剧烈的碰撞中，总是不断有原子吸收动能进 入激发状态，然后又以电磁波的形式将多余能量辐射 出去。这种由热运动引起的辐射现象称为热辐射。
2. 热平衡辐射 一个物体辐射出去的电磁波的能量 （即辐射能）等于它同时间内吸收的辐射能时，物体 的温度保持不变。
人体辐射的总功率为：
P 1.73 497 860(W)
考虑到周围环境的温度 Ts：
M (T ) (T 4 Ts4 )
第十五章 量子物理初步
二、普朗克能量量子化假设
M (T )
紫
普朗克线
外 灾 难
实验值
瑞利-金斯线
维恩线
o 1 23 4 5
6 78
/ m
第十五章 量子物理初步
i im2 im1
Us O
2. 光电子的最大初动能与遏制电压成正比
1 2
mv2
eUs
I2 I1
I2 I1 U
第十五章 量子物理初步
3. 不同的金属有不同的红限和逸出功
仅当 0 才发生光电效应，
阈频率（红限）与材料有关与
光强无关.
Us
Cs K Cu
逸出功 A——电子逸出金属表
例15-1 已知在红外线范围( =1~14 µm)内，人体可近
似看作黑体。假设成人体表面面积的平均值为１.73 m2，表面温度为33℃=306 K，求人体辐射的总功率。 解：根据（式15-1），人体单位表面积的辐射功率为：
M (T ) T 4 5.67 108 3064 497(W m2 )
量子化学 材料物理 量子生物学
第十五章 量子物理初步
第一节 黑体辐射
一、黑体辐射
1. 热辐射 物体内部的原子和分子都在不停地作热 运动。在剧烈的碰撞中，总是不断有原子吸收动能进 入激发状态，然后又以电磁波的形式将多余能量辐射 出去。这种由热运动引起的辐射现象称为热辐射。
2. 热平衡辐射 一个物体辐射出去的电磁波的能量 （即辐射能）等于它同时间内吸收的辐射能时，物体 的温度保持不变。
人体辐射的总功率为：
P 1.73 497 860(W)
考虑到周围环境的温度 Ts：
M (T ) (T 4 Ts4 )
第十五章 量子物理初步
二、普朗克能量量子化假设
M (T )
紫
普朗克线
外 灾 难
实验值
瑞利-金斯线
维恩线
o 1 23 4 5
6 78
/ m
第十五章 量子物理初步
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因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；
( x, y, z, t )
2
小，则电子出现几率小，
因而电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处；
dW ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) dV
2
t时刻、（x、y、z）处、体积dV内发现粒子的几率
16
三、波函数的标准条件及归一化
h m 2eV / m
设加速电压为V
h 2emV 1.225nm V (V )
1 2
m eV
2
适用条件：(1)电子，(2)非相对论(V不能太大)。
n 1.225(nm) V (V ) 2d sin
当V不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值；
7 当不变时，改变V，可使某一V满足上式，出现极大值。
10
§3.2 测不准原理
一、测不准原理
1927年海森伯首先提出不确定关系： q p
意义：如果微粒的坐标有一个不确定范围Δq，则其 相应的动量必然有一个不确定的范围Δp，两者的乘 积满足不确定关系式。
2
二、测不准原理的简单推导
电子的单缝衍射 1961年，约恩逊成功的做出。
11
设缝宽为Δq，在y方向上。
1．波函数必须单值、有限、连续。
单值：在任何一点，几率只能有一个值。
有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空间出现 的总几率应当为1：
2
( x, y, z, t)
dV 1
17
经典力学 位置和速度 量子力学 波函数 二、波函数的物理意义 1926年，玻恩（M.Born）的统计解释： 波的强度:
( x, y, z, t )
2
表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的几 15 率，即发现粒子的几率密度。
( x, y, z, t )
2
大，则电子出现几率大，
m m 0 / 1 / c
2 2
德布罗意波或物质波
h p h m
~c
c
m m0
1
5
m
三、德布罗意波的实验验证
(戴维孙——革末实验)
1. 实验装置
2. 实验原理 布拉格方程
2d sin n
6
当、满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。
h p h m
2
h
p k
~ 1
波矢
h
波数
4
, E, p
二、德布罗意假设
1924年，法国物理学家德布罗意提出：
实物粒子也具有波粒二象性。 具有一定能量E和动量p的自由粒子，相当于具 有一定频率和波长的平面波，二者的关系：
E h
p h/
----德布罗意关系式 德布罗意波长
0
0
c o s 2 ( t
r cos
)
0 co s 2 方向
14
2 i
写成指数形式：
0e
h
( p r E t )
――自由粒子的波函数 利用了德布罗意关系： E h
h p n
1924年，德布罗意，物质波假说 1925—1928年， 海森堡、薛定谔、玻恩、狄拉克等
----建立了量子力学!
2
§3.1 物质的波粒二象性
一、光的波粒二象性
1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说
19世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人证实了 光的干涉和衍射，从而确立了光的波动性
3. 实验结果
(1)当V不变时，不同，则I不同；在有的上出现极值
、
结果发现: 当 V 5 4V
50
时，
8
探测到的反射束强度出现一个明显的极大。
(2)当不变时，V改变，I亦变；并随V周期性的变化
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意 公式的正确性。进一步的实验可以证明： 一切实物粒子(电子、中子、质子等)都具有波动性。
第三章
主要内容：
量子力学初步
物质的波粒二象性 测不准原理
波函数及其物理意义
薛定谔方程
量子力学问题的几个简例
量子力学对氢原子的描述
1
发展简介：
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
----旧量子论!
则粒子的坐标在y方向的不 确定度为Δq
第一级暗纹的位置： q sin 0 粒子动量在y方向的不确定度为：
q p p ~ h
p p sin 0
严格地推导结果： q p
2
12
测不准原理是普遍原理：
x p x / 2
p / 2
y p y / 2
z p z / 2
E t / 2
三、能量和时间不确定关系的简单推导
E mc [ p c m0 c ]
dE 1 2 [ p c m0 c ]
2 2 2 4 1 / 2
2
2
2
2
4 1/ 2
2c pdp
2
c pdp E
19世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波
1900年，普朗克提出能量子假说
1905年，爱因斯坦提出了光子说，解释了光电效应， 并被康普顿散射实验验证 3
结论：光既具有波动性，也具有粒子性。 光具有波粒二象性。 光子的能量
Eh
m p E c
2
光子的质量
光子的动量
k 2
h c
9
其他证明微观粒子波动性的实验：
1928年，菊池正士把电子射在云母薄片上，获得 了单晶透射衍射图样。
1928年，G.P.汤姆逊和 塔尔塔科夫斯基分别把电 子射过金箔或其他的金属 箔，获得了同心圆构成的 衍射图样
美国物理学家戴维孙和英国物理学家汤姆逊2人 因在实验上发现晶体对电子的衍射而共同获得1937 年的诺贝尔物理学奖。
2
dp
E p
E t p t p q / 2
13
§3.3 波函数及其物理意义
一、自由粒子的波函数 自由粒子 单色平面波
cos t
设一平面波沿速度 的方向传播: t时刻，波面上O点的振动： o t 时刻，波面ABC上的振动：