量子力学曾谨言第八章第九章习题详解

第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ 前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi e c 212=δ 是任意的相位因子。

当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi e c 212-=最后得x σˆ的本征函数： )(21βαδ+=i e x 对应本征值1)(22βαδ-=i e x 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是),(ϕθ方向的单位矢。

（解） 方法类似前题，设n⋅σ算符的本征矢是：βα21c c x += (1)它的本征值是λ。

又将题给的算符展开：z y x n σθσϕθσϕθσˆc o s ˆs i n s i n ˆc o s s i n ++=⋅(2) 写出本征方程式：()()()βαλβασθσϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ=x ˆ ， αβσ=x ˆ ， βασi y =ˆ ， αβσi y =ˆ ， αασ=z ˆ ， ββσ-=z ˆ （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：⎩⎨⎧=-+=++2211cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ （5）或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0)(cos sin 0sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕϕ （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即0c o s s i n s i n c o s =----λθθθλθϕϕi i e e 它的解12=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：122c e tgc i ⋅=ϕθ（8）（1） 的归一化条件是： 12221=+c c将（8）代入（9），得： 2cos)(1θϕδ-=i ec 2sin2θδi e c =归一化本征函数是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--βθαθχϕδ2s i n 2c o s 1i i e e （10）1-=λ时，21,c c 的关系是：122c e ctgc i ⋅-=-ϕθ归一化本征函数是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-βθαθχϕδ2cos 2sin 2i i e e （11）δ是任意的相位因子。

本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ˆi i y σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001ˆz σ （12）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅-θθθθσϕϕcos sin sin cos i i ee n (13)本征方程式是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222c o s s i n s i n c o s c c c c e e i i λθθθθϕϕ (14) n⋅σ的本征矢是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-δϕδθθi i e e 2s i n 2c o s 1)( , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-δϕδθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15) 补白：本征矢包含一个不定的 相位因式δi e ，由于δ可以取任意值，因此21,χχ的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

[3]在自旋态下⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01)(21z s χ，求2x s ∆和2y s ∆（解）2x s ∆是2ˆx s 的均方偏差222)(x x x s s s -=∆ 2y s ∆是，2ˆy s 的均方偏差 222)(y y y s s s -=∆)(4)(ˆ212212z z xs s s χχ =4)(ˆ)(2212212==z xz xs ss s χχ)()(2)(2)()(ˆ)(212121212121====--z z z z z x z x s s s s s ss s χχχχχχ因此422=∆xs 在)(21z s χ态下，x sˆ,y s ˆ对称，因而 422 =∆ys[4]求在下列状态下2ˆj 和z j ˆ的可能测值。

（1）),()(11211ϕθχψY =z s (1)（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧Y +Y =-),()(),()(231112110212ϕθχϕθχψz z s s (2) （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧Y +Y =--),()(2),()(31102111213ϕθχϕθχψz z s s (3) （4）),()(11214ϕθχψ--Y =z s (4)（解） 依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数()m l ,表示，在考虑到自旋的情形下，若用)ˆ,ˆ,ˆ(22z j j l 共同表象，则电子的态可有四种；若m l >，有以下二态： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y +-Y +++=+=+),(12),(121),,(,211,,ϕθϕθϕθφm l m l z l m l l m l s l j （5） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y +++Y +--=-=+),(121),(12),,(,211,,ϕθϕθϕθφm l m l z l m l l ml s l j （6） 若m l =，有以下的二态：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y =+=0),(),,(,21,ϕθϕθφl l z s l j （7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y =-=-),(0),,(,21,ϕθϕθφl l z s l j （8）将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平方算符2ˆj ，总角动量分量算符z j ˆ可能测值如下：[5]令 121ˆ+⋅++=Λ+l l l l σ ，)1(12ˆ-+⋅-=Λ-l l l l σ ，1ˆˆ=Λ+Λ-+l l证明：⎪⎩⎪⎨⎧-=+==Λ+)21(0)21(ˆl j l j ljmj ljmjl φφ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+==Λ-)21()21(0ˆl j l j ljmj ljmjl φφ （证明）本题的+Λl ˆ,-Λlˆ是两个带有相加的常数分子的算符 z z y y x x l l l l ˆˆˆˆˆˆσσσσ++=⋅根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：)2()1()ˆˆˆ(121121121121ˆ)ˆˆˆ(121121121121ˆ222222⎪⎩⎪⎨⎧--⋅+-+=⋅+-+=Λ--⋅+++=⋅++++=Λ-+s l j l l l l l s l j l l l l l l ll σσ 假设m l >，试将（1）式运算于合成角动量的本征态ljmj φ（22ˆ,ˆj l 共同本征态），首先，对于21+=l j 有：ljmjm l m l m l m l m l m l m l m l ljmj l b l a l l l l l l l l b l l l l l l a l l l j j l b l l j j l a l b a s l j l l l φφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y +Y ++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++++Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+++Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅++++=Λ+++++1,,1,,1,,1,,222)12()12(12143)1()23)(21()1(43)1()23)(21()1(12143)1()1()1(43)1()1()1(121)ˆˆˆ(121121ˆ （3）式中121+++≡l m l a ；12+-≡l ml b 。

其次，可对于21-=l j 的本征态计算： 0}43)1()21)(21(1{}43)1()21)(21(1{121)}ˆˆˆ(121121{ˆ1,,1,,222,,,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-++-+-+-++-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---++++=Λ+++m l m l m l m l j m j l l Yl l l l l a Y l l l l l b l aY bY sl j l l l φ 又因为1=Λ+Λ-+l l ，所以)21()21(0)ˆ1(ˆ,,,,,,,,,-=+=⎪⎩⎪⎨⎧=Λ-=Λ+-l j j j j m j l jm j l l j m j l l φφφ[6] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。

证明自旋轨道耦合作用 s )(γξ。

L对能量无贡献。

[解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。

222111212121ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆs l j s l j s s S l l L j j J +=+=+=+=+= (1) 整个体系的哈氏算符是：S L H H⋅+=)(ˆˆ0γξ （此式中r 是电子相对位矢）将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：S L J ˆˆˆ +=S L S L S L S L J ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ222 ⋅++=+⋅+=)ˆˆˆ)((21ˆˆ2220S L J H H --+=γξ(2)原子的状态可以用（ZJ J L ˆ,ˆ,ˆ22）的共同本征函数Z J J L ,,ψ表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）ZZ ZZ J J L J J L J J L J J L S S L L J J H S L J H H ,,222,,0,,2220,,})1()1()1(){(21ˆ}}ˆˆˆ){(21ˆ{ˆψ+-+-++ψ=ψ--+=ψ γξγξ(3)但当原子处在自旋的单重态时，0,21=-=S S S总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出L l l s l s l j j J 21221121 =+=+++=+=因此J=L ，（3）式成为：Z Z J J L J J L H H ,,0,,ˆˆψ=ψ所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因0ˆH 不含L S ˆˆ ⋅[7]设两个自旋为21的粒子的相互作用为： 12)()()(S r V r V r V T O += 第一项为中心力，第二项为张量力的证明：（1） 宇称л、总自旋2S 、总角动量2ˆJ及总的z 向分角动量J ˆ均为守恒量，但2ˆL 和S ˆ不是守恒量。