量子力学曾谨言第八章第九章习题详解
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第八章：自旋
[1]在x σ
ˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2
σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2
1 和()z s x
2
1
- （1）
或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ
ˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ
ˆ的本征函数可表示：
β
αχ21c c += (2)
21,c c 待定常数，又设x σ
ˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ
=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：
()()βαλβασ
2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ
ˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ
=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：
βλαλαβ2111c c c c +=+
比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：
)
6()6()
6(12221
1
221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪
⎨⎧=+==λλ 前二式得12
=λ，即1=λ，或1-=λ
当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2
11=
δi e c 2
12=
δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得
21c c -=
代入(6c)，得：
δi e c 2
11=
δi e c 2
12-
=
最后得x σ
ˆ的本征函数： )(21βαδ+=
i e x 对应本征值1
)(2
2βαδ-=
i e x 对应本征值-1
以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσ
x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）
x σ
ˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ
因此x σ
ˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1122δi e x
[2]在z σ表象中，求n
⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是)
,(ϕθ方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设n
⋅σ算符的本征矢是：
βα21c c x += (1)
它的本征值是λ。又将题给的算符展开：
z y x n σ
θσϕθσϕθσˆc o s ˆs i n s i n ˆc o s s i n ++=⋅
(2) 写出本征方程式：
()()()βαλβασθσ
ϕθσ
ϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x
+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σ
ˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ=x ˆ ， αβσ
=x ˆ ， βασi y =ˆ ， αβσ
i y =ˆ ， αασ=z ˆ ， ββσ-=z ˆ （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：
⎩⎨
⎧=-+=++2
21
1cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ （5）
或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0
)(cos sin 0
sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕ
ϕ （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即
0c o s s i n s i n c o s =----λ
θθθλθϕ
ϕi i e e 它的解12
=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：
122
c e tg
c i ⋅=ϕθ
（8）
（1） 的归一化条件是： 12
2
2
1=+c c
将（8）代入（9），得： 2
cos
)
(1θ
ϕδ-=i e
c 2
sin
2θ
δ
i e c =
归一化本征函数是：
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
+=--βθαθχϕδ2s i n 2
c o s 1i i e e （10）
1-=λ时，21,c c 的关系是：
122
c e ctg
c i ⋅-=-ϕθ
归一化本征函数是：