函数的奇偶性与周期性学案

教学过程
一、知识讲解
考点/易错点1奇偶性
1、定义：如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有
()()0f x f x --=⇔()()f x f x =-⇔()f x 为偶函数；
()()0f x f x +-=⇔()()f x f x =--⇔()f x 为奇函数。

注意：（1）区间是否关于原点对称，比较()f x 与()f x -的关系；
（2）函数奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。

2、奇偶性相关结论
（1）若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
（2）奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反 （3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”
如设)(x f 是定义域为R 的任一函数，()()
()2
f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=
（4）注意区分：()f x 为奇函数与(+1)f x 为奇函数的区别
①若()f x 为奇函数，则(+1)f x 应满足(1)(1)f x f x --=-+；
②若(+1)f x 为奇函数，则(+1)(1)f x f x -=-+（(+1)f x 为奇函数()f x ⇔关于(1,0)点对称） 3、奇偶性的判断：先化简，再判断其奇偶性，判断奇偶性要注意先判断定义域是否关于原点对称 （1）判断函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或
1)
()
(±=-x f x f （()0f x ≠）； （2）在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数
（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 （3）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”
（4）既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集） 考点/易错点2对称性（“同号周期，异号对称”） 1、函数()y f x =的图象的对称性
（1）轴对称（对称轴为括号中的两个量和的一半）
①()()f a x f a x +=-(2)()f a x f x ⇔-=⇔函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ②()()f a x f b x +=-⇔函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称 （2）中心对称（对称中心的横坐标为括号中的两个量和的一半）
①()()f a x f a x +=--(2)()f a x f x ⇔-=-⇔函数()y f x =的图象关于(,0)a 对称 ②()()f a x f b x +=--⇔函数()y f x =的图象关于(,0)2a b
+对称 2、两个函数图像的对称性（对称轴由a x b x +=-确定）
两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2
b
a x +=对称 考点/易错点3周期性（“同号周期，异号对称”）
如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z 特别地：①若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =
②若1
()(0)()
f x a a f x +=±
≠恒成立，则2T a = 考点/易错点4对称性与周期性 类比“三角函数图像”得：
1、若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为
2||T a b =-
2、若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数且一周期为
2||T a b =-
3、如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是
周期函数，且一周期为4||T a b =-
二、例题精析
【例题1】
【题干】判断函数的奇偶性：
（1）(
)(f x x ＝－ （2）22lg(1)
()|2|2
x f x x -=--； （3）(
)f x
（4）2
2
2(0)
();2(0)
x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）既奇又偶函数；（4）奇函数 【解析】（1）由
101x
x
+≥-得11x -≤<，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数. （2）由2
210
|2|20
x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-U ，
∴2lg(1)()(2)2x f x x -=---2lg(1)
x x
-=-，
∵22lg[1()]lg(1)
()x x f x x x
----=-=-()f x =- ∴()f x 为奇函数.
（3）10
1012
22
=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x Θ，∴函数的定义域为1±=x ，定义域关于原点对称，解析式化简
后为(0)0.f = ()()f x f x ±Q －＝， ∴()f x 为既奇又偶函数.
（4）分段函数可利用图像判断函数的奇偶性.因为定义域是R ，作出函数()f x 的图像，可知
()f x 是奇函数.
【例题2】
【题干】（1）已知5
3
()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =________
（2）已知22
()21
x x a a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =________
（3）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数，当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当
),0(∞+∈x 时，=)(x f ________
（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
A ．()sin f x x =
B ．()1
f x x =-+
C ．()1()2
x
x f x a a -=
+
D ．2()2x
f x ln
x -=+
（5）函数1()ln
(2)12ax
f x a x
+=≠+为奇函数，则实数a =________ 【答案】（1）26- （2）1（3）4x x --（4）D （5）2-
【解析】（1）令5
3
()()8g x f x x ax bx =+=++，很明显()g x 是奇函数，
则(2)(2)g g -=-，即(2)8[(2)8]f f -+=-+，则(2)26f =- （2）)(x f 定义域为R 上的奇函数，则(0)0f =，即1a =
（3）当),0(∞+∈x 时，(,0)x -∈-∞，则4
4
()()()f x x x x x -=---=--，
因为函数)(x f 是偶函数，则()()f x f x =-，即4()f x x x =--
（4）sin x 在[]1,1-上是单调递增函数，A 错误；()1f x x =-+是非奇非偶函数，B 错误；
()1()2
x
x f x a a -=
+是偶函数，C 错误 （5）()f x 在0x =处没有定义， 所以根据定义法112()ln
()ln
121ax x
f x f x x ax
-+-==-=-+ 所以 2.a =- 【例题3】
【题干】若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12x x R ∈，
有 ()()()12121f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．()f x 为偶函数
C ．()1f x +为奇函数
D ．()1f x +为偶函数
【答案】C
【解析】1212()()()1f x x f x f x +=++Q ，令120(0)1x x f ==⇒=-
令12(0)()()11x x x x f f x f x ==-⇒=+-+=-，
即：
()()
12
f x f x +-=-，即()f x 关于点(01)-，
对称 因此，()1f x +关于点(00)，对称，是奇函数，故选C
【例题4】
【题干】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有
1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，
（1）求证：()f x 是偶函数；
（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；
（3）解不等式2
(21)2f x -<．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）()22
-
【解析】（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，
令121x x ==-，得∴(1)0f -=，
∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，
则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-=
∵210x x >>，∴211x x >，∴21
()x
f x 0>，即21()()0f x f x ->， ∴21()()f x f x >
∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）(2)1f =Q ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，
∵()f x 是偶函数∴不等式2
(21)2f x -<可化为2
(|21|)(4)f x f -<，
又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2
|21|4x -<，解得：x <<
即不等式的解集为(22
-
． 【例题5】
【题干】设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1
(+3)=()
f x f x -，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =， 则(107.5)f = 【答案】1
10
【解析】由于1
(+3)=()
f x f x -
，所以(6)()f x f x +=， 即函数()f x 的周期等于6，又因为函数()f x 是偶函数， 于是1(107.5)(617 5.5)(5.5)(3 5.5)(2.5)f f f f f =⨯+==+=-
11
( 2.5)10f =-=-
【例题6】
【题干】已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，2()f x x x =-，则函数()
y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】A
【解析】()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，02x ≤<，即区间[0,2)，恰是一个周期，只要确
定在此区间上()y f x =的图象与x 轴的交点个数，即可确定函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数.
方法一：解20x x -=，得120,1x x ==，可知函数()y f x =的图象在区间[0,2) 上与x 轴的交
点个数为2，故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为6，正确选项是A.
方法二：画出函数2()f x x x =-在区间[0,2)上的图象，由于()f x 是R 上最小正周期为2的周期
函数，因此，可画出区间[0,6]上函数()y f x =的图象（如图）.由此可知，函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为6，正确选项是A.
【例题7】
【题干】已知函数()f x 满足：()()()()()()1
14,4f f x f y f x y f x y x y R ==++-∈，
则()2010f =______ 【答案】
1
2
【解析】2010数字大，考虑利用函数周期性()()()()()1
144
f f x f y f x y f x y =
=++-Q ，，
取1y =得到()()()()4111f x f f x f x =++-，即()()()11f x f x f x =++-，同号问题递推得到
()()()12f x f x f x +=++
()()()()()()
()()111212f x f x f x f x f x f x f x f x =++-⎧⎪⇒-=-+⎨
+=++⎪⎩，则周期为6， 于是()()()
201033560f f f =⨯=
()()()()()1144f f x f y f x y f x y ==++-Q ，，令()11,002
x y f ==⇒=
【例题8】
【题干】如果函数()f x 在R 上为奇函数，在(1,0)-上是增函数，且(+2)=()f x f x -，试比较
12
(),(),(1)33
f f f 的大小关系_________ 【答案】12()()(1)33
f f f <<
【解析】∵()f x 为R 上的奇函数∴11()()33f f =--，22()()33
f f =--，(1)(1)f f =--，
又()f x 在(1,0)-上是增函数且12
133-
>->- ∴12()()(1)33
f f f ->->-，∴12()()(1)3
3
f f f <<
【例题9】
【题干】若()f x 为奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0xf x <的解集为_________ 【答案】(3,0)(0,3)-U
【解析】由题意可知：()0xf x <⎩⎨
⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(0
0)(0x f x x f x 或
⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或
∴(3,0)(0,3)x ∈-U
【例题10】
【题干】已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程
()f x m =(0)m >在区间[]88-，上有四个不同的根1234x x x x ，，，，则
1234x x x x +++=____________
【答案】8-
【解析】(4)()f x f x -=-Q 且()f x 是奇函数，(4)()f x f x ∴-=-，∴函数图象关于直线2x =-对称；
由(4)()f x f x -=-⇒(8)()T=8f x f x -=⇒
()f x Q 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[2,0]-上也是增函数．
如图所示，那么方程()f x m =(0)m >在区间[]88-，上有四个不同的根1234x x x x ，，，，
不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-，344x x +=所以
12341248x x x x +++=-+=-
三、课堂运用
【基础】
1．（2013·北京卷3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是（ ）
A ．y ＝1x
B ．y ＝e －
x
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝lg |x|
2．（2013·郑州模拟）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数
B ．f (x )－|g (x )|是奇函数
C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数
D ．|f (x )|－g (x )是奇函
3．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝
4．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，
则f (－6)等于________．
5．（2013·全国卷13）设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (-1)＝________
6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝—f (x )，则f (2014)＝
7．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )=
【巩固】
1．（2013·全国卷）已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函
数，那么f (x )在[1,3]上是（ ） A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为
3．（2012·山东高考）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－
1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝
4．（2013·济宁模拟）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)
时，f (x )＝2x －1，则f ⎝
⎛
⎭
⎫
log 12
6的值为
5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________． 【拔高】
1．（2013·辽宁高考）设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦
⎤－12，3
2上的零点个数为（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
2．（2013·北京卷）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是
课程小结
1．判断函数奇偶性的方法
(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数． (2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：
①定义判断：f (－x )＝f (x )⇔f (x )为偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )为奇函数．
②等价形式判断：f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数，f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数． (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．
(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的 方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用()()0f x f x ±-=得到 关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.
(4)应用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
3．函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间 上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0. f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．
(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶， 偶＋偶＝偶，奇×偶＝奇． 4．函数周期性常用的结论
(1)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期； (2)若满足f (x ＋a )＝
1()f x ，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1
()
f x a +＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期； (3)若函数满足f (x ＋a )＝1
()
f x -，同理可得2a 是函数的一个周期. 5．对称性与周期性 类比“三角函数图像”得：
(1)若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为
2||T a b =-
(2)若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数且一周期为
2||T a b =-
(3)如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周
期函数，且一周期为4||T a b =-
课后作业
【基础】
1．（2013·山东卷3）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1
x
，则f(－1)＝
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
2．（2013·重庆卷）若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.
3．（2013·湖南卷4）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，
则g(1)等于
4．（2013·江苏卷11）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的
解集用区间表示为________．
5．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.
6．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式
()()0f x f x x
+->的解集为
【巩固】
1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭
⎫－52＝
2．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在
区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为
3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围
是________．
4．（2013·湖北卷8）x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在R 上为（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．周期函数
5．（2013·上海高考）已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.
6．（2013·南通模拟）已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x
∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2011)＋f (2012)＝
【拔高】
1．（2012·江苏高考）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．
2．定义在(－1,1)上的函数f (x )．
(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy ； (ⅱ)当x ∈(－1,0)时，f (x )>0，回答下列问题．
(1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；
(3)若f ⎝⎛⎭⎫15＝12，试求f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭
⎫119的值．。