吉林省白城市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

吉林省白城市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数3
222x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】
设3
2()22x x
x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；3
66
26(6)722
f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个
数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】
设点P 的坐标为()
,a a ，直线AB 的方程为122x y
-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则11
22222
PAB S AB d d =⋅=⨯⨯=V ，解得2d =， 另一方面，由点到直线的距离公式得2
22
a a d --=
=，
整理得0a a -=或40a a --=，0a ≥Q ，解得0a =或1a =或917
a +=. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 3．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位 【答案】D 【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将
的图象向右平移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换．
4．已知圆22670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．
1
2
D ．4
【答案】B 【解析】
因为圆22
670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相
切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！
5．已知x ，y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，
易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ． 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．
121
B ．
221
C ．
115
D ．
215
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根
据等可能事件的概率公式可求. 【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2
721
C=，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果，
故概率
2
21 P=.
故选：B.
【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
7．已知函数f（x）＝e b﹣x﹣e x﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称性即可求出答案．
【详解】
解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
8．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】
当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
9．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
≤≤ ⎪⎝
⎭
个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
4
π 【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2
k k Z π
ϕπ=+∈，解得,4
2
k k Z π
π
ϕ=
+
∈， 因为02
π
ϕ≤≤，当0k =时，4
π
ϕ=
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA =PB =，AB ＝4，CA ＝CB =，
面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．
103
π
B ．
256
π
C ．
409
π
D ．
503
π
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】
如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=
，PB 14=，AB ＝4，
∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 1
2
=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；
∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，
∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；
故有：AO 2
＝OD 2
+AD 2
⇒R 2
＝（6-R ）2
+r 2
⇒R 6
=
； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2
5036π
⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.
11．设点P 是椭圆22
21(2)4
x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）
A ．4
B ．8
C ．42
D ．7【答案】B 【解析】 ∵1243F F =∵12243F F c ==
∴c =
∵222c a b =-，24b = ∴4a =
∴1228PF PF a +== 故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
12．若关于x 的不等式1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可将1127
k
x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x
f x x
=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】
因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为
ln 3ln 3k x
x
≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以
ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3
x x k
≥． 令()ln x f x x =，则()2
1ln x
f x x
-'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}
max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 3
3k
≥，解得9k ≥．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，416S =，则数列{}n a 的公差d =________，通项公式
n a =________.
【答案】2 21n a n =- 【解析】 【分析】
直接利用等差数列公式计算得到答案. 【详解】
213a a d =+=，414616S a d =+=，解得11a =，2d =，故21n a n =-.
故答案为：2；21n a n =-. 【点睛】
本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.
14．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为6
3
-，当三棱锥P ABC -的体积最大值为1
3
时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】
根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P AC B --的平面角,再设出,AB BC 的长,
即可求出三棱锥P ABC -的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P ABC -的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
如图所示：
过点P 作PE ⊥面ABC ,垂足为E ,过点E 作DE AC ⊥交AC 于点D ,连接PD . 则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角的补角,即有6cos 3
PDE ∠=
. ∵易证AC ⊥面PDE ,∴AC PD ⊥,而三角形PAC 为等边三角形, ∴D 为AC 的中点.
设,AB a BC b ==, AC c ==.
∴sin 232
c PE PD PDE c =⋅∠=
⨯=. 故三棱锥P ABC -的体积为
223
111322*********
c c c a b c V ab abc ab +=⨯⨯==⨯≤⨯=
当且仅当2
a b c ==时,3max 1243c V =
=,即2a b c ===. ∴,,B D E 三点共线.
设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ,半径为R . 过点O 作OF PE ⊥于F ,∴四边形ODEF 为矩形.
则OD EF ==
cos DE OF PD PDE ==∠==,1PE =,
在Rt PFO V 中,(
2
2
21R =+,解得22R =. 三棱锥P ABC -的外接球的表面积为248S R ππ==. 故答案为：8π． 【点睛】
本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.
15．平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r ，c ma b =+r r r （m ∈R ）
，且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m = . 【答案】2 【解析】
试题分析：()()()1,24,24,22c ma b m m m =+=+=++r r r ，c r 与a r 的夹角等于c r 与b r
的夹角，所以
··2
a c
b
c m a c b c
===r r r
r r r r r 考点：向量的坐标运算与向量夹角
16．设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成
等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______. 【答案】(1,2)或(1,2)- 【解析】
【分析】
设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可. 【详解】
抛物线2
:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：
11||(1)1AF x x =--=+u u u r ，22||(1)1BF x x =--=+u u u r ，33||(1)1
DF x x =--=+u u u r ，因为||AF uuu r
、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，所以有2||BF =u u u r ||DF uuu r ||AF +u u u r ，所以13
22
x x x +=，
因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有
22111333964964x x x x x x =⇒-++=-++，化简整理得：
131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.
若13x x =，由13
22
x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有1
3
212
x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)- 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 满足12a =，()
*
122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .
（1）通过计算
10
2a ，212a ，3
22a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*
n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝
⎭，若数列{}n c 是单调
递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1
(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1
,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）首先利用赋值法求出
3
12013
,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】
（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ．
所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则
1022a =，2
32a =，3242
a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．
证明：由于122n
n n a a +=+，
所以
111
222
n n n n a a ++=+， 则：
111
222
n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a
是首项为1，公差为12
的等差数列． 所以
111(1)2222
n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2
n n n
b b n N n +=
∈+， 所以
12
n n b n
b n +=+， 则
121211221143
n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)
n b n n =
+．则22()(1)n
n
t c n n n n =-+g ， 所以1
12242
2(
)2()2(2)2121
n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222
221323n t n n n n n n
>-==
++++++， 由于2
36n n ++…，所以21
333n n
++„，即13t >．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 18．设函数()f x x a x b =++-，
（1）当1a =，2b =，求不等式()6f x ≥的解集； （2）已知0a >，0b >，()f x 的最小值为1，求证：149
21214
a b +≥++. 【答案】（1）5
|2
x x ⎧≤-
⎨⎩
或72x ⎫
≥⎬⎭
；（2）证明见解析
【分析】
（1）将()f x 化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得1a b +=，
14
114[(21)(21)]2121
42121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
，展开后再利用基
本不等式即可. 【详解】
（1）当1a =时，21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
所以1()6216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨-+≥⎩或1236x -<<⎧⎨≥⎩
或2
216x x ≥⎧⎨
-≥⎩ 解得52x ≤-
或72
x ≥， 因此不等式()6f x ≥的解集的5{|2x x ≤-
或7
}2
x ≥ （2）()|||||()()|1f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+= 根据()()21214a b +++=
14
114[(21)(21)]212142121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
1214(21)542121b a a b ++⎛⎫=
++ ⎪++⎝⎭
19
(544
≥+=，当且仅当15,66a b ==时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
19．已知圆O 经过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点以及两个顶点，且点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．
()1求椭圆C 的方程；
()2若直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于M 、N 两点，且4
3
MN
=
，求直线l 的倾斜角． 【答案】（1）2
212x y +=；（2）4π或
34
π 【解析】
(1)先由题意得出b c = ,可得出b 与a 的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C 的方程，可求出a 与b 的值，从而得出椭圆C 的方程；(2)对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l 的斜率不存在时，可求出MN ，然后进行检验；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+,设点
()()1122,,,M x y N x y ，先由直线l 与圆O 相切得出m 与k 之间的关系，再将直线l 的方程与椭圆C 的方
程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件4
3
MN =得出k 的值，从而求出直线l 的倾斜角. 【详解】
（1）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得222a b =，
又点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2
22211b a a b
+=，解得22
2,1a b ==，
即椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）圆O 的方程为22
1x y +=，当直线l
不存在斜率时，解得MN =
当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，
1=，即221m k =+.
将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：
()2
2
2124220k x
kmx m +++-=，
判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，
设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222
422
=,=,1212km m x x x x k k --+++
12x x -=
=， 所以
124
3
MN x =
=-==， 解得1k =±， 所以直线l 的倾斜角为4
π或34π
. 【点睛】
求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
20．已知函数()|1||1|2f x x x =-++-.
（1）求不等式()1f x …
的解集； （2）若关于x 的不等式2
()2f x a a --…
在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3{|2x x ?或3
}2
x ≥； （2）12a -≤≤. 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值的几何意义，将不等式()1f x …，转化为不等式1
221x x ≤-⎧⎨--≥⎩
或1101x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨
-≥⎩求解.
（2）根据2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，由绝对值三角不等式求得()f x 的最小值即可.
【详解】
（1）原不等式等价于
1
221x x ≤-⎧⎨
--≥⎩或1101
x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：32
x ≤-
或3
2x ≥，
∴不等式的解集为3{|2x x ?
或3
}2
x ≥. （2）因为2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，
而()|1||1|2|(1)(1)|20f x x x x x =-++-≥--+-=， 所以220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是12a -≤≤. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线1C ：22221(0)x y y a b +=≤和曲线2C ：22
221(0)x y y a b
-=>组成，
其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）221(0)2016x y y +=„和221(0)2016x y y -=>.；
（Ⅱ）证明见解析；165
. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由23(2,0),(6,0)F F -，可得2222
36
4a b a b ⎧+=⎨-=⎩
，解出即可； (Ⅱ)设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，设直线:()b
l y x m a
=
-，与椭圆方程联立可得：()222220x mx m a -+-=，利用>0∆，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1(0)2016
x y y +=„，且4(6,0)F ，设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，与椭圆方程
联立可得：(
)2
2
5448640n
y
ny +++= ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、
基本不等式的性质，即可求解. 【详解】
(Ⅰ)由题意：23(2,0),(6,0)F F -Q ，
2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016
a b ⎧=⎨=⎩， 则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=„和221(0)2016
x y y -=>.
(Ⅱ)证明：由题意曲线2C 的渐近线为：b
y x a
=±
，
设直线:()b
l y x m a
=
-， 则联立22
22
()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222
220x mx m a -+-=， ()
222480m m a ∴∆=-->
，解得：m <<，
又由数形结合知a m <
„.
设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
则12x x m +=，22
122m a x x -=，
02m x ∴=
，02bm y a
=-， 00b
y x a
∴=-，即点M 在直线b y x a =-上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1:1(0)2016
x y C y +=„，点4(6,0)F ，
设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，
∴联立22612016x ny x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得：()22
5448640n y ny +++=，
()
22(48)464540n n ∴∆=-⨯⨯+>21n ⇒>，
设()()3344,,,C D x y y x ，
3424854n y y n ∴+=-
+，342
64
54y y n
=+，
342
54y y n
∴-=
=+， 1CDF ∴∆
面积123422118225454S F F y y n n
=-=⨯⨯=++
令0t =>，221n t ∴=
+，
2
94934S t t t
∴=
=++„ 当且仅当32
t =
，即2n =时等号成立，所以1CDF
∆面积的最大值为
3
.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
22．已知x ∈R ，设(2cos ,sin cos )m x x x =+v
，,sin cos )n x x x =-v ，记函数()f x m n =⋅u v v .
（1）求函数()f x 取最小值时x 的取值范围；
（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =
，c =，求△ABC 的面积S 的
最大值.
【答案】（1）|,6x x k k Z π
π⎧
⎫=-∈⎨⎬⎩
⎭；（2
）
4
【解析】 【分析】
(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出
3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】
（1）(
)22
cos sin cos 2cos 22sin 26f x m n x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=-=- ⎪⎝
⎭u r r .
令2262x k ππ
-
=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，()f x 取最小值，
所以，所求x 的取值集合是,6x x k k Z π
π⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭
；
（2）由()2f C =，得sin 216C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭， 因为0C π<<，所以1126
66
C π
ππ
-
<-
<，所以26
2
C π
π
-
=
，3
C π
=
.
在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号， 所以ABC ∆
的面积11sin 322S ab C =
≤⨯=
因此ABC ∆的面积S
. 【点睛】
本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题.
23．已知抛物线1C ：22y px =（0p >）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为
4.
（1）求p 的值；
（2）设()00,P x y （002x <≤）为抛物线1C 上的动点，过P 作圆()2
211x y ++=的两条切线分别与y
轴交于A 、B 两点.求AB 的取值范围. 【答案】（1）2p =；（2）02AB <≤ 【解析】 【分析】
（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到342
p
+
=求解. （2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-，根据直线与圆()2
211x y ++=相切，则有
002(1)
11
y k x k -+=+，整理得：()()()2220000022110x x k y x k y +-++-=，根据题意
()()0010020,,0,k A y x B y k x --，建立()02
1212124k k k k A x k x k B -=+-=.
【详解】
（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4， 由抛物线的定义得：342
p
+=， 解得:2p =.
（2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-， 因为直线与圆()2
211x y ++=相切，
002
(1)
11
y k x k -+=+，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，
()200012122
20000
211
,22y x y k k k k x x x x +-+=⋅=++， 由题意得：()()0010020,,0,k A y x B y k x -- 所以
012k k A x x B -==
==
因为002x <≤，
所以0112
214x +≤<， 所以02AB <≤. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。