2011文科数学总复习——函数的值域与最值(2) 课时作业
高考总复习·数学(文科)学案 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值
当 0＜x1＜x2＜ a时，0＜x1x2＜a，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数． 当 a≤x1＜x2 时，x1x2＞a，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0， a]上是减函数，在[ a， ＋∞)上为增函数．
f(x)在[0，＋∞)上单调递减”且
f(21)＝0，则不等式
f(log1x)＞0 9
的解
集是________．
解析：∵f(21)＝0，f(log19x)＞0，f(log19x) ∴f(log19x)>f(12)． 又∵y＝f(x)是偶函数，且 y＝f(x)在[0，＋∞)上递减 ∴f(|log19x|)＞f(12)，则|log19x|＜21. ∴－21＜log19x＜12， 解得31＜x＜3.
g(x)＝－ x为减函数，不合题意．
若 0＜a＜1，则 y＝ax 为减函数，
则 a－1＝4，a2＝m，所以 a＝14，m＝116.
此时 g(x)＝34 x在[0，＋∞)上是增函数．故 a＝14.
(2)易知 f(x)在[a，b]上为减函数，
f（a）＝1 ∴f（b）＝13，即
a－11 1＝＝11，，所以ab＝＝24，，∴a＋b＝6.
1．求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③ 配方法；④图象法；⑤导数法．
高中数学复习学(教)案(第7讲)函数的值域与最值
§2.3函数的值域与最值【高考要求】1、掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法。
2、求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广。
因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了。
【知识点归纳】一、函数值域的定义：函数的值域是指函数值的集合。
函数的值域取决于函数的定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数的值域都应先考虑其定义域。
二、常见的基本初等函数的值域：1、()0y kx b k =+≠的值域：R 。
2、()20y ax bx c a =++≠的值域： （1）当0a >时,值域：24[,)4ac b a-+∞； （2）当0a <时,值域：24(,]4ac b a--∞。
3、()0k y k x=≠的值域：{},0y y R y ∈≠。
4、()01x y a a a =>≠且的值域：()0,+∞。
5、()log 01a y x a a =>≠且的值域：R 。
6、sin ,cos y x y x ==的值域：[]1,1-。
7、tan ,cot y x y x ==的值域：R 。
三、求值域与最值的常用方法：1、分析观察法：有些函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察得出函数的值域与最值。
2、配方法：二次函数或能转化为形如：()()()2F x a f x bf x c =++⎡⎤⎣⎦型的函数的值域或最值，均可用配方法。
但要注意结合二次函数的图像以及()f x 的取值范围。
3、不等式法：利用均值不等式)0,0,a b a b a b c +≥>>++≥()0,0,0a b c >>>以及它们的变形，可以求某些函数的的值域与不等式，但要注意“一正、二定、三相等”的条件。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高考总复习数学文科第二篇 函数第2讲 函数的单调性与最值
高考总复习数学文科第二篇函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值[最新考纲]1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·北京卷改编)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)[感悟·提升]1．一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6)．考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＜0，有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＞0，有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0，则1－ax 2＞0， 解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－ax 2＜0， 解得－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a .∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数． 令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为 (－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与 u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考点二 利用单调性求参数【例2】 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0.由于x 1<x 2<－1， ∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a 的取值范围是(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)规律方法 解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案 (1)C (2)D考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【训练3】 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用.易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[错解]由题意知⎩⎨⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] D[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] B[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立．令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.答案 C基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )．A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在解析 注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数在区间[3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选A.答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －68．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4.答案 4 三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0， 因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x解析 对于A ，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于B ，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于C ，注意到函数y ＝ln2＋x 2－x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于D ，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x －e －x ≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.答案 D2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.答案 D 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－a x 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4.答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]。
高三文科数学一轮复习第二节函数的值域与解析式
第二节 函数的值域与解析式1．函数的值域在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，常见的有：(1)形如y ＝ax ＋b cx ＋d(c ≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化为y ＝a c ＋m cx ＋d(其中m 为常数)形式． (2)形如y ＝a x ＋b a x ＋c 或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数可用反解法． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用配方法及换元法．(4)形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法． 设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．(5)形如y ＝x ＋k x (k >0，x >0)的函数可用均值不等式法或函数单调性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相等”．(6)对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．[温馨提示] (1)熟记基本初等函数的值域①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．⑦y ＝tan x 的值域是R .(2)利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f []g (x )的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．[小题速练]1．(2018·河南平顶山模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)[解析] 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．选B.[答案] B2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x[解析] 用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.[答案] B3．函数f (x )＝33x －3的值域为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) [解析] 由3x －3≠0，得x ≠1，所以3x －3>－3且3x －3≠0.当－3<3x －3<0时，33x －3<－1；当3x －3>0时，33x －3>0.故f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________. [解析] 令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1. ∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)． [答案] lg 2x －1，x ∈(1，＋∞) 5．函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]时的值域为________．[解析] y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]的值域为[0,15]．[答案] [0,15]考点一 求函数的值域——基础考点求下列函数的值域：(1)y ＝x －3x ＋1； (2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[思路引导] (1)分离常数法．(2)换元法，令1－2x ＝t (t ≥0)转化为二次函数的值域或利用函数单调性求最值．(3)去分母，转化为关于x 的二次方程，利用判别式“Δ”求y 的取值范围．(4)均值不等式．[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. (3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*)方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0，即y 2＋2y －3≥0解得y ≥1或y ≤－3由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)(4)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}．当x >1时，log 3x >0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2 log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[拓展探究] (1)若本例中(1)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？(2)若本例中(3)变为y ＝x 2＋x ＋1x ＋1(x >－1)其值域如何求？ (3)若本例中(3)变为y ＝x 2＋4x ＋1x 2＋1，则其值域是________． [解析] (1)y ＝x －3x ＋1＝1－4x ＋1， ∵函数y ＝1－4x ＋1在[1，＋∞)上是增函数， ∴y ≥1－41＋1＝－1，故该函数的值域为[－1，＋∞)． (2)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，y ≥1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号． (3)由原函数整理得(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0.当1－y ＝0，即y ＝1时，x ＝0；当1－y ≠0，即y ≠1时，Δ＝16－4(1－y )2≥0，即(1－y )2≤4， 解得－1≤y ≤3，所以－1≤y ≤3且y ≠1.综上，所求函数的值域为[－1,3]．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)[1，＋∞) (3)[－1,3](1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围；(3)本例中(3)及拓展探究(3)均用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r(ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解，即拓展探究(2)．[跟踪演练]1．函数y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域为__________． [解析] 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. [答案] y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3 2．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)． ∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54 3．函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y 1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．[解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)．[答案] [3，＋∞)考点二 求函数的解析式——冷考点求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )． (2)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．[思路引导] (1)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系．(2)令t ＝1－cos x ，换元法求f (t )．(3)待定系数法，令f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．(4)用1x 代替式中x ，解方程组求f (x )．[解] (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2.∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t .故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(3)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.本例中(1)看出x ＋1x 与x 2＋1x 2之间的关系，若令t ＝x ＋1x ，则用t表示x 并不好表示，即换元法不易求f (x )，而用配凑法却易找到关系，同时注意到x ＋1x 的范围．本例(2)适宜用换元法．求函数解析式的3种方法：(1)配凑法、换元法：已知f [g (x )]的解析式求f (x )，可考虑配凑或换元法．(2)待定系数法：如本例中(3)，一般已知所求函数的类型或具体形式可用此法．(3)解方程组法：如本例中(4)，只适用于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )与f (－x )类型的表达式，代换后通过解方程组求出f (x )，这种方法有局限性．[跟踪演练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．[解] ∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx .又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，⇒a ＝b ＝12.因此，f (x )＝12x 2＋12x .3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三 函数的综合问题——热考点(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][思路引导] (1)利用指数函数的单调性→建立关于a ，b的方程组→解出a ，b(2)分别求出每一段的最小值→比较最小值列式→求出a 的范围[解析] (1)当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.(2)由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥0；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.[答案] (1)－32 (2)D(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的 影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[跟踪演练](2018·广东深圳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1][解析] 因为f (x )的值域是R ，且两段函数都是递增函数，所以4＋a ≤2＋a 2，解得a ≤－1或a ≥2，故选A.[答案] A利用几何意义或导数法求函数的值域素养解读：函数的值域或最值及其求法是近几年高考考查的重点内容之一．函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．下面就几何法及导数法进行一简单介绍，后面要继续学习．(1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域．[切入点] (1)根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．(2)对于含有对数式的函数的值域问题，利用导数求解即可．[关键点] (1)转化为斜率型函数值域问题．(2)准确求导，利用导数求最值．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 又f ′(x )＝11＋x －12x ＝(1－x )(x ＋2)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (1)＝ln2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln3－1>0，所以f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，故函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14.[答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14(1)几何法求值域步骤(2)求导法可以用来处理高次函数(大于等于三次)、分式函数或含有对数式的函数等相对比较复杂的函数的值域或最值问题，其关键是正确求导，利用导数与单调性的关系来求最值或值域．[感悟体验]1．函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [解析] f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)． [答案] [10，＋∞)2．(2017·天津红桥区二模)试求函数f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．[解] 由于f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，1e ≤x ≤e.令f ′(x )>0，得1e ≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e.故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝－12.课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22， 故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意． 当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。
高考数学函数的值域与最值
第七节 函数的值域与最值高考试题考点一 函数的最值1.(2011年湖南卷,理8)设直线x=t 与函数f(x)=x 2,g(x)=ln x 的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时的t 的值为( )(A)1 (B)12解析:将x=t 代入f(x)=x 2,g(x)=ln x 中,得到点M,N 的坐标分别为(t,t 2),(t,ln t),从而|MN|=t 2-ln t(t>0),对其求导, 可知当且仅当时取到最小值. 答案:D 2.(2009年海南、宁夏卷,理12)用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:画出y=2x,y=x+2,y=10-x 的草图,观察可知f(x)=2,02, 2,24,10,4, x x x x x x ⎧≤≤⎪+<≤⎨⎪->⎩f(x)的最大值在x=4时取得为6.答案:C3.(2009年湖南卷,理8)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K,定义函数f K (x)=()()(),,,.f x f x K K f x K ⎧≤⎪⎨>⎪⎩取函数f(x)=2-x-e -x .若对任意的x ∈(-∞,+∞),恒有f K (x)=f(x),则( ) (A)K 的最大值为2 (B)K 的最小值为2(C)K 的最大值为1 (D)K 的最小值为1解析:由题意,x ∈(-∞,+∞)时恒有f K (x)≤K 恒成立,∴K ≥[f K (x)]max .∵f ′(x)=-1+e -x,令f ′(x)=0⇒x=0. 令f ′(x)>0⇒x<0,令f ′(x)<0⇒x>0,∴x=0时,[f K (x)]max =f(0)=2-0-e -0=1,∴K ≥1, ∴K 的最小值为1,故选D.答案:D4.(2013年辽宁卷,理11)已知函数f(x)=x 2-2(a+2)x+a 2,g(x)=-x 2+2(a-2)x-a 2+8.设H 1(x)=max{f(x),g(x)},H 2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q 中的较大值,min{p,q}表示p,q 中的较小值).记H 1(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则A-B 等于( )(A)16 (B)-16(C)a 2-2a-16 (D)a 2+2a-16 解析:联立()()222222, 228,y x a x a y x a x a ⎧=-++⎪⎨=-+--=⎪⎩解得x 1=a-2,x 2=a+2.如图所示,虚线部分为H 1(x)的图象,实线部分为H 2(x)的图象,则A 、B 分别为x 1,x 2处函数值且A ≤B,A=H 1(x)min =f(a+2)=-4a-4,B=H 2(x)max =g(a-2)=-4a+12,所以A-B=-16,故选B.答案:B5.(2010年江苏卷,14)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=()2梯形的周长梯形的面积,则s 的最小值是 .解析:如图所示,设梯形上底边长为x(0<x<1),则梯形两腰长为1-x,2121x x ⎡++-⎤2·()2231x x --. 令u(x)=()2231x x --,0<x<1. ∵u ′(x)=()()()()2222231231x x x x x ----- =()()()2223311x x x ---,∴当0<x<13时,u ′(x)>0,u(x)单调递增; 当13<x<1时,u ′(x)<0,u(x)单调递减,∴当x=13时,u(x)最大,s 最小, s min×22133113⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭. 答案考点二 函数的值域问题1.(2012年福建卷,理7)设函数D(x)=1,0,x x ⎧⎨⎩为有理数为无理数则下列结论错误的是( ) (A)D(x)的值域为{0,1} (B)D(x)是偶函数(C)D(x)不是周期函数 (D)D(x)不是单调函数解析:由函数解析式可知,其值域为{0,1},是偶函数,周期为任意非零有理数,不具备单调性,故选C. 答案:C2.(2011年北京卷,理8)设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t ∈R).记N(t)为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为( )(A){9,10,11} (B){9,10,12}(C){9,11,12} (D){10,11,12}解析:当t=0时,平行四边形ABCD 为正方形,不含边界的整点个数为9个.当t ≠0时,直线AD 的方程为y=4tx, 分别与直线y=1,y=2,y=3交于点M 1（4t ,1）,M 2（2t ,2）,M 3（34t,3）. 同理直线BC 的方程为y=4t (x-4)分别与直线y=1,y=2,y=3交于点N 1（4+4t ,1）,N 2（4+2t ,2）,N 3（4+34t,3）. 此时当0<34t<1时,直线y=1,y=2,y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点, 故此时N(t)=12; 当34t=1时,直线y=1,y=2在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点, 而直线y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上只有3个整点,此时N(t)=11.同理可得当k<34t<k+1(k ∈Z)时,N(t)=12; 当34t=k+1(k ∈Z)时,N(t)=11. 综上得N(t)=()()9,0, 4412,1,33411,1 3t k t k t k ⎧⎪=⎪⎪<<+⎨⎪⎪=+⎪⎩(其中k ∈Z).故选C.答案:C3.(2011年上海卷,理13)设g(x)是定义在R上的以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为.解析:设x1∈[3,4],f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5].∵g(x)是定义在R上的以1为周期的函数,∴当x2∈[4,5]时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1+1)=x1+1+g(x1)=f(x1)+1∈[-1,6];x3∈[5,6]时,f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1+2)=x1+2+g(x1)=f(x1)+2∈[0,7];…;x7∈[9,10]时,f(x7)=f(x1+6)=x1+6+g(x1+6)=f(x1)+6∈[4,11].同理,当x∈[-10,-9]时,f(x)=f(x1-13)=x1-13+g(x1-13)∈[-15,-8].综上分析知,当x∈[-10,10]时,函数的值域为[-15,11].答案:[-15,11]模拟试题考点一函数的最值问题1.(2012黑龙江重点中学质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=e x+a,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是( )(A)1 (B)-1 (C)-2 (D)2解析:依题意得f(0)=0,当x>0时,f(x)>e0+a=a+1,若f(x)在R上是单调函数,则有a+1≥0,a≥-1,因此实数a的最小值是-1,故选B.答案:B2.(2011桂林调研)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n等于( )(A)-1 (B)52(C)1 (D)2解析:由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=12,n=2,∴m+n=52.答案:B3.(2013上海十三校第一次联考)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则f(1)的最小值为.解析:由题知,a>0且Δ=4-4ac=0,即ac=1.∴f(1)=a+2+c≥当且仅当a=c=1时等号成立)答案:44.(2013广州市一模)已知a>0,a≠1,函数f(x)=()()1,1,xa xx a x⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩若函数f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大52,则a的值为.解析:若a>1,则函数f(x)在[0,1]递增,[1,2]递减,∴f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(0)=1或f(x)min=f(2)=a-2,∴12,512aa<-⎧⎪⎨-=⎪⎩或()12,52,2aa a>-⎧⎪⎨--=⎪⎩故a=7 2 .若0<a<1,则f(x)在[0,1]递减,(1,2]递减,∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a-2,∴1-(a-2)=52,得a=12,综上a=12或a=72.答案:12或72考点二函数的值域问题1.(2012广西桂林三模)设f(x)=2,1,,1,x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩g(x)是二次函数.若f[g(x)]的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )(A)(-∞,-1]∪[1,+∞) (B)(-∞,-1]∪[0,+∞) (C)[0,+∞) (D)[1,+∞)解析:因为g(x)为二次函数,所以是值域不可能为选项A或B.若g(x)的值域是[1,+∞),即|g(x)|≥1,则f[g(x)]=[g(x)]2≥1,不符合题意.故选C.答案:C2.(2012广东深圳调研)已知函数f(x)=121x+-12的定义域为R,则f(x)的值域是.解析:∵2x>0,121x+∈(0,1),∴-12<121x+-12<12,故函数值域为（-12,12）.答案: （-12,12）综合检测1.(2013陕西西安市长安区上学期检测)在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊕”;当a≥b时,a ⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,函数f(x)=(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法),则函数f(x)在[0,2]上的值域为( )(A)[0,4] (B)[1,4] (C)[0,8] (D)[1,8]解析:根据定义,f(x)=[](]3,0,1,,1,2.x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩当x ∈[0,1]时,f(x)∈[0,1];当x ∈(1,2]时,f(x)∈(1,8],故函数f(x)在[0,2]上的值域为[0,8].答案:C2.(2013四川双流中学9月月考)对于函数y=f(x)(x ∈I),y=g(x)(x ∈I),若对任意x ∈I,存在x 0使得 f(x)≥f(x 0),g(x)≥g(x 0)且f(x 0)=g(x 0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x 2+px+q,g(x)= 21x x x -+是定义在区间[12,2]上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间[12,2]上的最大值为( ) (A)32 (B)2 (C)4 (D)54解析:g(x)=21x x x -+=x+1x -1≥2-1=1,当且仅当x=1时,等号成立,∴f(x)在x=1处有最小值1,即p=-2,12-2×1+q=1,q=2,∴f(x)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,∴f(x)max =f(2)=(2-1)2+1=2.答案:B3.(2012上海徐汇5月模拟)若函数y=x 2-2ax,x ∈[2,4],则最小值g(a)的表达式g(a)= . 解析:∵函数y=x 2-2ax=(x-a)2-a 2开口方向向上,∴对称轴为动直线x=a,由对称轴与区间的位置关系,分三种情况讨论:当a<2时,函数在[2,4]上单调递增,则当x=2时,y min =g(a)=4-4a;当2≤a ≤4时,函数在[2,a]上单调递减,在[a,4]上单调递增,则当x=a 时,y min =g(a)=-a 2;当a>4时,函数在[2,4]上单调递减,则当x=4时,y min =g(a)=16-8a.综上,g(a)=244,2,,24,168, 4.a aa a a a -<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩答案: 244,2,,24,168, 4.a a a a a a -<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩。
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。
解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。
[高中数学]10A-11-学生-专题函数的值域和最值
![[高中数学]10A-11-学生-专题函数的值域和最值](https://img.taocdn.com/s3/m/27ba3a31011ca300a6c390e4.png)
（3）如果 ,求x的取值范围.
12、若 是定义在 上的增函数,且 .
（1）求 的值；
（2）解不等式： ；
（3）若 ,解不等式
13、二次函数 满足 ,且 .
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ,若 在R上恒成立,求实数m的取值范围.
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最小值”.
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”.
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是________.
课后练习
1、若 且 ,则 的最大值为________
2、定义在R上的函数 满足 ,则 =, =.
2. 运用基本不等式时要注意正负问题
教学内容
专题：函数的最值和值域
复习目标：(1)进一步熟悉求函数最值中的常见函数类型和常用方法；
(2)能将所要研究的值域(或最值)及其相关的问题合理转化为常见函数类型或选择合适的方法；
(3)进一步提高知识的综合运用能力.
例1求函数 的值域；
例2求关于 的函数 (常数 ), 的最小值.
例3求函数 , 的值域
例4已知函数 , ,问方程 是否有解？若有解,求出 ；若无解,说明理由.
例5若函数 对于任意实数 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.
例6三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路：
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
(2)若存在 ,使得对任意 且 ,有 ,则 是函数 的最大值；(3)若存在 ,使得对任意 ,有 ,则 是函数 的最大值；
课时作业17：第2课时 函数的最大值、最小值
第2课时 函数的最大值、最小值基础过关1.函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A.f (－2)，0 B.0，2 C.f (－2)，2D.f (2)，2解析 由图象可知，此函数的最小值是f (－2)，最大值是2. 答案 C2.已知f (x )＝1x ，则y ＝f (x )在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为( ) A.18与12 B.13与1 C.19与13D.18与13解析 y ＝1x 在[2，8]上单调递减，故当x ＝8时，y min ＝18，当x ＝2时，y max ＝12. 答案 A3.函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.54B.45C.43D.34解析 因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0＜11－x （1－x ）≤43.故f (x )的最大值为43. 答案 C4.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 答案 －5 05.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大. 答案 206.已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5].(1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值. (1)证明 任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵3≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[3，5]上为增函数.(2)解 由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.7.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解 由题意知笼舍的宽为x m ，则笼舍的长为(30－3x )m ，每间笼舍的面积为 y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0，10). 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.能力提升8.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A.(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f (0)＝f (3)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m 的值最小为32，最大为3，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，故选C.答案 C9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元解析 设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元. 答案 C10.函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________.解析 设x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，t ≥0，∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞11.函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3， ∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，∴当x ＝b 时，y max ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)， 当x ＝a 时，y min ＝－a 2＋6a ＋9＝－7， 解得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去). 答案 －2 012.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1，1]上的最小值.解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上.①当a >1时，f (x )在[－1，1]上单调递减(如图(1)所示)， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增(如图(2)所示)，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增(如图(3)所示)， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎨⎧3－2a（a >1），2－a 2 （－1≤a ≤1），3＋2a （a <－1）.创新突破13.某专营店销售某运动会纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚，而每增加一元，则减少销售100枚.现设每枚纪念章的销售价格为x 元，x 为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x (元)的函数关系式，并写出这个函数的定义域；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出最大值. 解 (1)依题意y ＝⎩⎨⎧[2 000＋400（20－x ）]（x －7），7<x ≤20，x ∈N *，[2 000－100（x －20）]（x －7），20<x <40，x ∈N *， 所以y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *， 定义域为{x ∈N *|7<x <40}. (2)因为y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *， 所以当7<x ≤20时，则x ＝16时，y max ＝32 400(元)；当20<x<40时，则x＝23或24时，y max＝27 200(元).综上，当x＝16时，该特许专营店一年内获得的利润最大，为32 400元.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：函数的值域与最值(练习 详细答案)大纲人教版
提能拔高限时训练5 函数的值域与最值一、选择题1.函数f(x)＝a x+log a (x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a 的值为( ) A.41 B.21C.2D.4 解析:f(x)＝a x+log a (x+1)是单调递增(减)函数〔原因是y ＝a x与y ＝log a (x+1)单调性相同〕,且在［0,1］上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)＝a 0+log a 1+a+log a 2＝a, ∴lo g a 2+1＝0.∴21=a . 答案:B2.函数y ＝log 2x+log x (2x)的值域是( )A.(-∞,-1］B.［3,+∞)C.［-1,3］D.(-∞,-1］∪［3,+∞)解析:y ＝log 2x+log x (2x)＝1log 1log log log 1log 22222++=++xx x x x .∵2|log |1|log ||log 1log |2222≥+=+x x x x ,∴1log 1log 22++xx ∈(-∞,-1］∪［3,+∞).故选D.答案:D3.已知f(x)是奇函数,且当x ＜0时,f(x)＝x 2+3x+2.若当x∈［1,3］时,n ≤f(x)≤m 恒成立,则m-n 的最小值为( ) A.49 B.2 C.43 D.41 解析:设x ＞0,则-x ＜0,∴f(x)＝-f(-x)＝-［(-x)2+3(-x)+2］＝-x 2+3x-2.∴在［1,3］上,当23=x 时f(x)max ＝41,当x ＝3时f(x)min ＝-2. ∴m≥41且n ≤-2.故m-n ≥49.答案:A4.把长为12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.233 cm 2 B.4 cm 2 C.23 cm 2 D.32 cm 2解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为243x ,2)4(43x -,则它们的面积之和为22)4(4343x x S -+=]4)2[(23)1682(4322+-=+-=x x x ,可见当x ＝2时,两个正三角形面积之和的最小值为32 cm 2.答案:D5.在区间［1.5,3］上,函数f(x)＝x 2+bx+c 与函数11)(-+=x x x g 同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间［1.5,3］上的最大值为( )A.8B.6C.5D.4 解析:3111)1(21111)(=+-⨯-≥+-+-=x x x x x g ,当且仅当x ＝2时,g(x)min ＝3, ∴f(x)＝(x-2)2+3.∴在区间［1.5,3］上,f(x)max ＝f(3)＝4. 故选D. 答案:D6.若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2的最小值为( ) A.3 B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.故选B. 答案:B 7.函数∑=-=191||)(n n x x f 的最小值为( )A.190B.171C.90D.45 解析:f(x)＝|x-1|+|x-2|+…+|x -9|+|x-10|+|x-11|+…+|x -18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a·b≤0时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|＝18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|＝16,… |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|＝2, |x-10|≥0.上面各式当x ＝10时同时取等号, ∴f(x)最小值为18+16+…+2+0＝902)018(10=+⨯.答案:C8.设a ＞1,函数f(x)＝log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为21,则a 等于( ) A.2 B.2 C.22 D.4 解析:由a ＞1知f(x)为增函数,所以log a 2a-log a a ＝21,即log a 2＝21,解得a ＝4.所以选D. 答案:D9.设a 、b∈R ,a 2+2b 2＝6,则a+b 的最小值是( ) A.22- B.335-C.-3D.27-解析:∵13622=+b a ,故令αcos 6=a ,αsin 3=b , ∴)sin(3sin 3cos 6ϕααα+=+=+b a . ∴a+b 的最小值为-3.答案:C10.若动点(x,y)在曲线14222=+by x (b ＞0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( ) A.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+4,240,442b b b b B.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+2,220,442b b b b C.442+b D.2b 解析:令x ＝2cosθ,y ＝bsinθ,则x 2+2y ＝4cos 2θ+2bsinθ＝-4sin 2θ+2bsinθ+4＝-4(4sin b -θ)2+4+42b ;当4b ＜1即0＜b ＜4时,x 2+2y 取最大值442b +,此时4sin b =θ;当14≥b即b ≥4时,x 2+2y 的最大值为2b,此时sinθ＝1.故选A. 答案:A 二、填空题11.设a,b∈R ,记max{a,b}＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a b b a a 函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(x∈R )的最小值是_________.解析:如右图所示,函数y ＝max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分,∴max{|x+1|,|x -2|}的最小值为23. 答案:23 12.规定记号“Δ”表示一种运算,即b a ab b a ++=∆,a 、b∈R +.若1Δk＝3,则函数f(x)＝kΔx 的值域是__________. 解析:由题意311=++=∆k k k ,解得k ＝1,∴x x x f ++=1)(.而1)(++=x x x f 在［0,+∞)上递增,∴f(x)≥1. 答案:［1,+∞)13.已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________. 解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,∴y＝［f(x)］2+f(x 2)的定义域为⎩⎨⎧≤≤≤≤.91,912x x 解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.∴0≤log 3x ≤1.又y ＝［f(x)］2+f(x 2)＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2＝(log 3x)2+6log 3x+6＝(log 3x+3)2-3, ∵0≤log 3x ≤1, ∴6≤y ≤13.故函数的值域为［6,13］. 答案:［6,13］14.若变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+,02,03y x y x 则z ＝2x+y 的最小值为_______;x y的取值范围是_________.解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y ＝0平移至点A(2,1)时目标函数z ＝2x+y 取得最小值,即z min ＝2×2+1＝5,xy表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH 绕原点逆时针方向转动到AB 位置,斜率变得越来越大,故-1＝k GH ＜xy ≤k AB ＝21.答案:5 (-1,21］三、解答题15.求下列函数的值域:(1)y ＝x 2-4x+6,x∈［1,5); (2)2415+-=x x y ;(3)12--=x x y .解:(1)y ＝x 2-4x+6＝(x-2)2+2, ∵x∈［1,5),∴由图象知函数的值域为{y|2≤y ＜11}.(2)2415+-=x x y＝24251)24(45+--+x x ＝2427)24(45+-+x x ＝)24(2745+-x . ∵)24(27+x ≠0,∴y≠45. ∴函数的值域为{y∈R |y≠45}.(3)令t x =-1,则x ＝t 2+1(t ≥0), ∴y＝2(t 2+1)-t ＝2t 2-t+2＝2(41-t )2+815. ∵t≥0, ∴y≥815. ∴函数的值域是［815,+∞). 16.(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数bx ax x x g -+=232131)((a,b∈R ),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求a 2+b 2的最小值.解:(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x 2+ax-b,由已知-2、4是方程x 2+ax-b ＝0的两个实数, 由韦达定理,⎩⎨⎧-=⨯--=+-,42,42b a∴⎩⎨⎧=-=,8,2b a f(x)＝x 2-2x-8. (2)g(x)在区间［-1,3］上是单调减函数,∴在［-1,3］区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x 2+ax-b ≤0,即f(x)＝x 2+ax-b ≤0在［-1,3］上恒成立,这只需满足⎩⎨⎧≤≤-0)3(,0)1(f f 即可,也即⎩⎨⎧≥-≥+,93,1a b b a而a 2+b 2可视为平面区域⎩⎨⎧≥-≥+,93,1a b b a 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当⎩⎨⎧=-=3,2b a 时,a 2+b 2有最小值13.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知函数x a ax x f --+=1)((a∈R 且x≠a).(1)当f(x)的定义域为［31+a ,21+a ］时,求f(x)的值域;(2)设函数g(x)＝x 2+|(x-a)·f(x)|,求g(x)的最小值.解:(1)x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(.当x∈［31+a ,21+a ］时,21-≤a-x ≤31-,于是-4≤xa -+-11≤-3, 即f(x)的值域为［-4,-3］.(2)g(x)＝x 2+|x+1-a|(x≠a),①当x ≥a-1且x≠a 时,g(x)＝x 2+x+1-a ＝a x -++43)21(2. 若211-≥-a ,即21≥a 时,则g(x)在［a-1,a),(a,+∞)上为增函数,故g(x)min ＝g(a-1)＝(a-1)2. 若211-<-a ,即21<a 且a≠21-时,a g x g -=-=43)21()(min ; 若21-=a 时,g(x)min 不存在. ②当x ≤a-1时,g(x)＝x 2-x-1+a ＝45)21(2-+-a x ;若211>-a ,即23>a 时,45)21()(min -==a g x g ;若211≤-a ,即a ≤23时,g(x)在(-∞,a -1)上为减函数,g(x)min ＝g(a-1)＝(a-1)2.又若23>a 时,0)23()45()1(22>-=---a a a ,若21<a 且a≠21-时,0)21()43()1(22>-=---a a a .综上,得21<a 且a≠21-时,a x g -=43)(min ;2321≤≤a 时,g(x)min ＝(a-1)2;23>a 时,45)(min -=a x g ;21-=a 时,g(x)min 不存在. 【例2】 已知|11|)(xx f -=.(1)当x∈［21,2］时,求f(x)的值域.(2)是否存在实数a,b(a ＜b),使得函数f(x)的定义域与值域都是［a,b ］?若存在,求出a,b 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-<>-=-=.10,11,01,11|11|)(x x x x xx x f 或当x∈［21,1］时,11-x∈［0,1］; 当x∈［1,2］时,x 11-∈［0,21］.∴f(x)的值域为［0,1］.(2)不存在.理由:假设存在实数a,b 使得函数f(x)的定义域与值域都为［a,b ］,则当a ＜b ＜0或b ＞a ＞1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,11,11b b a a方程组无解;当0＜a ≤b ≤1时,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a b b a11,11⇒a ＝b,与a ＜b 矛盾;当a ＜0＜b ＜1时,f(x)∈(11-b ,+∞)不合题意; 当a ＜0＜1＜b 时,f(x)∈(b11-,+∞)不合题意;当0＜a ＜1＜b 时,f(x)min ＝f(1)＝0,∴a＝0与a ＞0矛盾.综上所述,不存在实数a,b(a ＜b)使得函数f(x)的定义域与值域都是［a,b ］.。
2011届高考数学函数最值与值域02
2011 届高考数学函数最值与值域02 教课设计 4：函数最值与值域一、课前检测1.函数的值域为 _____________.2.函数的定义域为，则其值域为 ___________.3.函数的值域为 ___________.二、知识梳理求函数值域（最值）的一般方法：1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转变为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，特别注意形如型函数）4、函数的单一性：特别关注的图象及性质5、部分分式法、鉴别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、数形联合法三、典型例题剖析（一）利用基本初等函数的值域例 1．求以下函数的值域：（1）（ 2） y=5+2(x ≥ -1).答案：（ 1）（2）变式训练：求函数，的值域．答案：小结与拓展：常有的基本初等函数的值域（二）分别常数法例 2．求函数的值域：解：，∵，∴，∴函数的值域为．变式训练：求函数y=的值域 .答案：小结与拓展：（三）换元法例 3。
求以下函数的值域：（ 1）（ 2）（ 1）解：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．（ 2）解：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．小结与拓展：总结型值域，变形：或（四）数形联合法例 4．求以下函数的值域：（1）（ 2）答案：（ 1）（2）（五）其余方法例 5．求以下函数的值域：（1）（均值不等式）（2）（鉴别式法）答案：（ 1）（2）四、概括与总结（以学生为主，师生共同达成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教课反省（不足并查漏）：。
全国文数第10课 函数的值域与最值
5
两组题讲透
2
数学低段
第10课 第（1）题
P41
6
两组题讲透
数学低段
第10课 第（1）题
P41
7
两组题讲透
数学低段
第10课 第（1）题
P41
8
两组题讲透
数学低段
第10课 第（1）题
P41
9
两组题讲透
数学低段
第10课 第（1）题
P41
10
两组题讲透
数学低段
41
随堂普查练
数学低段
第10课 第10题
P43
42
课后提分练
数学低段
第10课 第1题 P15
43
课后提分练
数学低段第10课 第2ຫໍສະໝຸດ P1544课后提分练
数学低段
第10课 第3题 P15
45
课后提分练
数学低段
第10课 第4题 P15
46
课后提分练
数学低段
第10课 第5题 P15
35
随堂普查练
数学低段
第10课 第4题 P43
36
随堂普查练
数学低段
第10课 第5题 P43
37
随堂普查练
数学低段
第10课 第6题 P43
38
随堂普查练
数学低段
第10课 第7题 P43
39
随堂普查练
数学低段
第10课 第8题 P43
40
随堂普查练
数学低段
第10课 第9题 P43
B组 第12题
第10课 函数的值域与最值
第2题 第7题
第3题 第8题
第13题
第14题
高考数学一轮复习第二章第2课时函数的单调性与最值课时作业理新人教版
第2课时函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义.(2)单调性、单调区间的定义.若函数f(x)在区间D上是或,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,叫做f(x)的单调区间.2.函数的最值1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是().A. y=2x+1B. y=3x2+1C. y=D. y=|x|2. (2014·北京)下列函数中,定义域是R且为增函数的是().A. y=e-xB. y=x3C. y=ln xD. y=|x|3.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是().A. (-1,1)B. (0,1)C. (-1,0)∪(0,1)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)4. (教材改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为;f(x)max= .5.(教材改编)函数f(x)=在[1,2]的最大值和最小值分别是.1.函数的单调性是局部性质.函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.如y=x2在(-∞,+∞)上不具有单调性.3.函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.4.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结,如函数y=的单调减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)是错误的.考向一确定函数的单调性或单调区间例1(2014·辽宁模拟)设函数f(x)=log a|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是().A. f(a+1)>f(2)B. f(a+1)<f(2)C. f(a+1)=f(2)D. 不能确定【审题视点】本题主要考查函数的单调性、奇偶性,对数函数的图象和性质,意在考查函数的性质和函数图象的应用.【方法总结】确定函数单调性及单调区间方法:(1)能画出图象的函数,用图象法.(2)能作差变形的用定义法.(3)能求导的函数用导数法.(4)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数,用转化法.1. (2013·河南模拟)已知函数f(x)=则该函数是().A. 偶函数,且单调递增B. 偶函数,且单调递减C. 奇函数,且单调递增D. 奇函数,且单调递减考向二函数单调性的应用例2(2014·杭州一模)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)的值等于().A. 1B. e+1C. 3D. e+3【审题视点】本题考查函数的性质,难度较大.【方法总结】根据函数y=f(x)的单调性,由x1,x2的大小,可比较f(x1)与f(x2)的大小.反之知f(x1)与f(x2)的大小,可得x1与x2的大小,即剥去“f”符号解不等式.2. (2013·山东模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足:对∀x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则().A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(-2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(-2)考向三求函数的最值例3(2014·青岛模拟)在实数集R中定义一种运算“*”,对任意,a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:①对任意a∈R,a*0=a;②对任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).则函数的最小值为().A. 2B. 3C. 6D. 8【审题视点】本题考查新定义问题及基本不等式的应用,难度中等.【方法总结】求函数最值的常用方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对关系式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.3.设定义在(0,+∞)上的函数.求f(x)的最小值.典例(2014·陕西模拟)已知函数f(x)=x ln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间(t,t+2)(t>0)上的最小值;(3)若对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】本题主要考查函数的导数及其应用,会利用函数的导数求单调区间,判断函数的增减性,求最值等.本题还考查了分类讨论的数学思想,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.1. (2014·湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是().A. f(x)=B. f(x)=x2+1C. f(x)=x3D. f(x)=2-x2. (2014·江苏)已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(+3x0)成立.试比较e a-1与a e-1的大小,并证明你的结论.参考答案与解析1. (1) f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2) 增函数减函数区间D2.①f(x)≤M ②f(x0)=M ①f(x)≥M ②f(x0)=M[基础自测]1. C2. B3. D4. [1, 4]85.,1 【感悟考点透析】【例1】A解析:由已知得0<a<1,所以1<a+1<2,根据函数f(x)为偶函数可以判断f(x)在(0, +∞)上单调递减,所以f(a+1)>f(2).【例2】C解析:依题意,f(x)-e x的值是一个常数,设f(x)-e x=t,则有f(x)=e x+t, f(t)=e t+t=e+1;注意到函数g(x)=e x+x是在R上的增函数,且g(1)=e+1,因此t=1,f(x)=e x+1, f(ln2)=e ln2+1=3,故选C.1.C解析:当x>0时,-x<0, f(-x)+f(x)=(2-x-1)+(1-2-x)=0;当x<0时,-x>0, f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0;易知f(0)=0.因此,对任意x∈R,均有f(-x)+f(x)=0,即函数f(x)是奇函数,当x>0时,函数f(x)是增函数,因此函数f(x)单调递增,选C.2. B解析:x∈[0, +∞)时,f(x)为增函数,所以f(3)>f(2)>f(1).3.1. A解析:由偶函数的定义,可以排除C, D,又根据单调性,可得B不对.2.。
10高考总复习：函数的最值与值域(文基础)
例 4. 已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 ( 1 ,1) 上是增函数，求： 2
(1)实数 a 的取值范围；
(2)f(2)的取值范围.
【解析】(1)∵对称轴 x = a -1 是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知 2
只需 a -1 ≤ 1
∴a ≤ 2；
22
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a≤2，∴-2a≥-4
A. 0 ≤ m ≤ 4
B. 1 ≤ m ≤ 4
C． 4 ≤ m 或 m ≤ 0
D. 1 ≤ m 或 m ≤ 0
4. 已 知 函 数 f (x) = a−x , g(x) = loga x(a > 0, a ≠ 1) ,若 f(2)·g(2)<0，则 f(x)与 g(x)在 同 一 坐
标系内的图象可能是（
(2)[1,3] ⊆ (1 , +∞) 故函数 f(x)在[1，3]上单调递增 3
∴x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3 时 f(x)有最大值 f (3) = − 5 4
∴x∈[1，3]时 f(x)的值域为[−2, − 5] . 4
例 3.若函数 y = f (x) 的值域是[ 1 , 3]，则函数 F (x) = f (x) + 1 的值域是（
f f
(2) = 2(x2 −1) − (2x −1) < 0 (−2) = −2(x2 −1) − (2x −1) <
0
，解得
7 −1 < x < 2
3 +1， 2
13. 【解析】
（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 f (x) = 1− 1 ,通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六课时 函数的值域与最值(2) 课时作业
1.若x 2＋y 2＝1，则A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2．(2008年重庆卷)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M 的值为
( )
A.14
B.12
C.
22 D.32
3．(2009年柳州模拟)函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值a 2，则实数a 的取值范围是( )
A ．0≤a ≤1
B ．0≤a ≤2
C ．－2≤a ≤0
D ．－1≤a ≤0
4．(2009年郑州模拟)设f (x )＝⎩
⎨⎧
x 2
，||x ≥1
x ，||x <1 ，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是
[)0，＋∞，则g (x )的值域是(
)
A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞
B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞
5．(2008年常州月考)规定记号“*”表示一种运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1] ；
(2)函数f (x )＝k *x 的值域是________．
6．(2009年厦门十中模拟)定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|成立，则称函数f (x )在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f (x )＝x (x ≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．
7．若函数y ＝x 2的定义域和值域均为[a ，b ]，试探究区间[a ，b ]是否存在？并说明理由．
8．某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －1
2x 2(万
元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润y 表示为年产量x 的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
参考答案
1．C 2.C 3.D 4.C 5.(1)1 (2)()1，＋∞ 6.1
2
7．解析：由函数y ＝x 2≥0可知a ≥0，由定义域和值域均为[a ，b ]，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝a
b 2＝b ，∵a <b ，
解上述方程组得a ＝0，b ＝1.即存在这样的区间[0,1]满足条件．
8．解析：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5x －0.5x 2
－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)(5×5－0.5×52
)－(0.5＋0.25x )(x >5) ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4.75x －0.5x 2－0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x >5). (2)在0≤x ≤5时，y ＝－0.5x 2＋4.75x －0.5，当x ＝－b 2a ＝4.75(百台)时，y max ＝10.78125(万
元)，当x >5(百台)时，
y ＜12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大．
(3)要使企业不亏本，即要求⎩
⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5－0.5x 2
＋4.75x －0.5≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧
x >512－0.25x ≥0. 解得5≥x ≥4.75－21.5625≈0.1(百台)或5＜x ≤48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．。