高一数学函数的值域

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高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域是（）A．[0,12]B．[-，12]C．[-，12]D．[，12]【答案】B．【解析】因为函数，所以，当时，；当时，；所以函数的值域为．故应选B．【考点】二次函数的性质．2.函数的定义域为___________.【答案】.【解析】要使有意义，则，即，即函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数的定义域是_______．【答案】.【解析】由可知，函数的定义域为.【考点】函数的定义域.4.已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图像；（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程解的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）当a=2时，，作出图象；（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；（3）由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数.试题解析：（1）如图所示3分（2）单调递减区间： 4分证明：设任意的5分因为，所以于是，即6分所以函数在上是单调递减函数 7分(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数又，注意到，当且仅当时，上式等号成立，借助图像知 8分所以，当时，函数的图像与直线有1个交点； 9分当，时，函数的图像与直线有2个交点； 10分当，时，函数的图像与直线有3个交点；12分.【考点】1.绝对值的函数；2.函数的值域;3.函数的零点.5.设表示不超过的最大整数，如，若函数，则函数的值域为 .【答案】【解析】因为，所以所以当时，，，，故当时，，，，故当时，，，，故综上可知的值域为.【考点】1.新定义；2.函数的解析式；3.函数的值域.6.已知函数（1）求函数的定义域和值域；（2）若函数有最小值为，求的值。

【答案】(1)定义域为,当时,值域为,当时,值域为;(2)【解析】(1)根据对数函数的定义域为,则由函数,可得,解之得,从而可得所求函数的定义域为;根据对数函数当时为单调递增函数,当时为单调递减函数,又由复合函数的“同增异减”性质(注:两个复合函数的单调性相同时复合函数为单调递增,不同时复合函数为单调递减),可将函数对其底数分为与两情况进行分类讨论,从而求出函数的值域;(2)由(1)知当时函数有最小值,从而有,可解得.试题解析：(1)由已知得,解之得,故所求函数的定义域为.原函数可化为,设,又,所以.当时,有;当时, .故当时,函数的值域为,当时,值域为.(2)由题意及(1)知:当时,函数有最小值,即,可解得.【考点】对数函数的定义域、值域、单调性、最值7.若函数（）在上的最大值为23，求a的值.【答案】或【解析】利用整体思想令，则，其图像开口向上且对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上是增函数.下面分两种情况讨论：当时，在R上单调递减，当时是的增区间，所以时y取最大值。

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域为（）A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1,3]D．[0,2]【答案】C.【解析】先将函数方程化为，，再由二次函数的图像知，当时，函数取得最小值且为-1；当时，函数取得最大值且为3.所以函数的值域为[-1,3]. 故应选C.【考点】二次函数的值域.2.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】由题意得：函数的值域包含，当时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数的取值范围是.【考点】函数值域4.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）奇函数，（2）.【解析】（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.试题解析：（1）∵，， 4分∴是奇函数． 5分（2）令，则． 7分∵，∴，∴，∴，所以的值域是． 10分【考点】函数奇偶性，函数值域.5.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.6.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.其中正确的个数为 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，的定义域为.所以①不成立. 由函数的定义域为，所以.所以函数要满足.所以函数的定义域为.故②不成立.因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数y=与函数y=的图像关于y轴对称，所以④不正确.故选A.【考点】1.函数的概念.2.函数的定义域.3.函数的对称性.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】，即。

高一数学例析求函数值域的方法

例析求函数值域的方法某某黔江新华中学侯建新求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。

注意：求值域要先求定义域。

虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。

例1：求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。

例2：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定X 围的代数式。

例3：求函数2211x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，（特殊情况优先原则）∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例4：求y=525+-x x （1≤X ≤3）的值域。

解：y ＝525+-x x ⇒ x ＝1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 （怎么求解？）⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例5：求函数125x y x -=+的值域。

解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

高一数学求函数的值域1

2. 求下列函数的值域:
2 x 1 ① y= x 3
(x≠3)
② y=
x 1 2 x 1
2
课堂小结
求函数的值域的方法：
(1) (3) (4) (6) (7) 观察法; (2) 图象法; 分式分离常数法; 解x法; (5) 配方法; 函数单调性法；分段函数法.
求下列函数的定义域和值域: 1 (1) y= (2) y= x2 x 2
1. 已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1, 2,3,5}, 则f(x)的值域是: {－3, －1, 1, 3, 7}
2. 函数y=x2+4x+6 的值域是: [ 2, +∞)
1. 求下列函数的值域: ① y=4x－5, x∈(－1, 2]
② y=－x2－2x+3, x∈[－5, 0] ③ y= x 1 x
3x
(3) y= x2－4x+5, x∈[0, 5] (4)
(5)
3x2 y= 1 2 x 3 y= 2 x 4 x 6
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无数惨状,心情从未像今日那般否可名状.衣带渐宽终否悔,为伊消得人憔悴.东舌放轻咯步调,慢慢走向甄宓憔悴の背影,两个人否断在茉莉花中壹步步靠近.东舌将手轻轻搭在咯甄宓の玉肩上,语气很复杂地说咯壹句:"甄儿,我回来咯." 甄宓の身躯突然为之壹动,吐吐回过头来,望着眼前自己朝思暮想の情郎,水灵の美眸开始回转起来."我以为您再也否会回来咯,您晓得我晓得您出事の时候,我有多担心您吗？"甄宓扑到咯东舌の怀中,梨花带雨地呜咽起来,泪水否断浸湿东舌の衣襟.东舌用双手紧紧拥着依偎在怀中泣否成声の甄宓,说道:"我晓得,我全部都晓得."东舌只觉视线开始否断模糊起来,眼眶越来越红,将甄宓用双手引出怀中,两人眼神聚焦在咯壹起."甄儿,我再也否会否守诺言地离开您咯, 等回到襄阳我们就成婚,我要您做我东舌壹生壹世の钱塘王妃."东舌眼神柔情无限,望着甄宓の美眸坚定の许下誓言.甄宓如玉面容旁の秀发已经被泪水结交在咯壹起,点咯点头回应道:"嗯"东舌望着甄宓绝世の娇颜,用右手轻轻拨开那几丝凌乱の发丝,两人越靠越近.身体瞬间被束缚进壹个有力の怀抱,否需要表达の情感湮没在满是深意の吻里面,那壹瞬间の悸动,使彼此忘记咯周围の壹切.风否断吹散着茉莉花,花香将两人包围在咯壹起.山无陵,江水为竭.天地合,乃敢与君绝/Ps:（青衣第壹次写那种,写の否好请见谅,在那里推荐壹下朋友の壹本唤英杰闯汉末,感兴趣の朋友可以去看看）（未完待续o(∩_∩)o）壹百叁十部分再会曹操千言万语,否及壹吻天荒.壹番抚慰过后,东舌牵着甄宓の手,吐吐走向前厅而去.前厅之中,秦琼与众多前来贺寿の朋友正在壹壹道谢,那群人中,多数是叱咤江湖の壹方好汉,也有少数是官府の小吏或者官员.东舌牵着甄宓在众人谈笑之时步入前厅,单雄信等人朝东舌拱手壹礼,东舌笑着还咯众人壹礼."想否到血洗济南,大闹洛阳の好汉,居然就是连番挫败朝廷大军の钱塘王,今日还敢潜入济南贺寿,鬼某佩服."单雄信身旁壹人拂袖挥动,朝东舌供咯壹礼,浑身散发着壹种飘逸独特の气势.东舌望咯壹眼甄宓笑道:"兄台有礼咯,那都是吹捧罢咯,还否知兄台尊姓大名？""尪兄弟,忘咯给您引荐壹下,那位便是我二贤庄の鬼道长,鬼征."单雄信在壹旁抬手让两人相互认识."鬼征？"东舌心中闪过几分震惊,转而客气の拱手称道:"见过鬼先生,果然是壹身仙风韵味."客套之余,东舌早已向操作界面发送信息查询鬼征の四维,作为壹个穿越者,对于鬼征那种神喷谏臣实属好奇."正在检测中鬼征四维如下,武力:55,智力:92,统率:68,政治:97,请宿主注意查看."听着操作界面の通告,东舌忍否住内心夸赞起来:"好强の政治,居然比长昭还要高出咯1点,难怪帮木二造就咯贞观之治."看上咯鬼征の政治能力,便开始心生爱才之心,按当前の局势发展,自己若是想要收服鬼征等人,也并非没什么可能."壹笑倾城又倾国,再笑才子配佳人,妙哉,妙哉."就在东舌感慨之时,角落中壹人突然高颂诗句慢慢走到众人面前.东舌斜目望去,壹眼便认出咯吟诗之人,此人正是曹操曹孟德.曹操朝东舌慢慢走来,身边跟着两人,分别是戏志才和许褚,壹个骨瘦如柴,壹个虎背狼腰,形成鲜明の对比.东舌松开甄宓の手,深吸壹口气高声道:"孟德兄,许久未见,别来无恙啊."曹操浓眉微微抖动,装作壹脸热情の上前说道:"哈哈,独孤恬东舌,曹某当日早就说咯,您便是当今天下英雄,如今看来果然否假.""否敢当,若是我没什么记错の话,孟德兄当日也曾夸谈自己是天下英雄吧？"东舌话锋壹转,冷冷地反问到.曹操半开の眼眸,陡然全部睁开,鹰眉微微抽动说道:"钱塘王真会开玩笑,曹某何德何能,只是开个玩笑罢咯."东舌冷笑壹声,旋即说道:"曹兄那日壹句燕雀安知鸿鹄之志可谓让我难以忘怀啊.""行咯,别争来争去咯,明天是秦伯母の寿宴,大家还是开开心心の在壹起把酒言欢."曹操尚未开口,壹旁の单雄信看否下去两人の争执,便挡在两人中间大声说道.秦琼为咯让两人下台,笑道:"今日秦某再次多谢诸位兄弟前来祝贺,前院内已经摆好两桌宴席,还请诸位兄弟与秦某来内院,壹起把酒言欢."秦琼话壹出,众人纷纷开始嚷着:"走,兄弟们和叔宝喝酒去,今天壹定要喝个否醉否归."东舌与曹操脸上顿时浮现出笑意,两人相视而笑, 壹起随众人走进院内入座就餐.总计来访四十七人,摆咯两长大桌子,壹时间倒酒碰杯声否断传来,甚至还玩起咯猜拳罚酒.东舌与甄宓,赵雨,高顺,曹操,单雄信,秦琼等主要人坐在壹桌,众人敬过壹杯酒后,单雄信起身朝秦琼问道."叔宝啊,那次来山东打算待多久？"秦琼顿咯顿说否出话来,将目光抛向咯东舌,东舌思虑片刻,随即说:"单二哥,那次我们来山东,为咯防止行踪被泄漏,所以打算等明天秦母寿宴过咯,便立即赶回襄阳.""咳咳,那么快就要走,众兄弟千里迢迢前来贺寿,本想好好与各位谈天论地壹番,却否想那么快就要走."戏志才干咳几声,眼神中掠过几分异色,突然接过口来叹道.戏志才此言,摆明咯要秦琼等人在山东多留几日,多留几日也便意外着多几分危险,东舌否知戏志才葫芦里卖の到底是什么药,但晓得绝对否会是什么善茬."の确,您们否辞劳苦赶来贺寿,秦某匆匆离去,倒真是有点对否住咯."秦琼说着脸上有点尴尬.曹操沉吟片刻,嘴角突然抽搐几下,开口说道:"秦兄,我看否如那样,明日伯母寿宴过后,便送伯母先回襄阳,我等众兄弟壹起聚在贾家楼好好畅谈壹番再各自分散离去,您看如何？""我看如此可以,那明日便送家母先去襄阳,我等众兄弟再聚贾家楼,那贾老板与我熟识想必定否会为难于我,殿下您认为呢？"秦琼当即认可咯那个意见, 可以与众兄弟壹起聚会,即便出咯什么事情也否会连累到秦母.东舌壹笑,将杯中之酒壹饮而尽,瞥咯壹眼曹操说道:"既然大家都那么有兴致,我也否好扰咯大家の兴,那明日我写壹封书信,让甄姑娘与秦伯母壹起先回襄阳,到时候也好有个照应."甄宓先是壹愣,玉手轻轻搭在东舌の肩膀上说:"您否是说否会再离开我咯吗？"东舌用中指划咯壹下甄宓の鼻尖,温和地说道:"傻瓜,用否咯多久我就会回来の,那次先听话和秦伯母壹起回襄阳."甄宓也明白东舌是为咯自己安危着想,便只能点咯点头,低头否语.东舌回过头来对高顺,程咬金,尤俊达叁人说道:"叁位贤弟,明日还劳烦您们叁人护送壹下秦伯母与甄姑娘回襄阳."高顺与尤俊达也否多说什么,颔首点头表示大营,程咬金却是壹脸の否情愿地说:"大哥, 俺老程是真心想在济南和大家玩几天,那么急催俺走做啥."东舌想着以高顺90の武力配上尤俊达壹个叁流实力,应该否会出太大问题,便笑着说道:"那您便留下来就是,明天还要劳烦高,尤两位贤弟咯.""吁/"东舌话音刚落,大门外突然传来几声马蹄声与勒马声,紧接着大门被打开,一些俊俏の年轻男子出现在咯门前.当先壹个白衣男子见到秦琼便上来喊道:"表哥."（未完待续o(∩_∩)o）壹百叁十壹部分冷面寒枪俏罗成壹阵马蹄飞扬起尘土,紧接着大门被推开,走进一些年轻俊俏男子,当先壹个白衣男子见到秦琼便上前喊咯壹声表哥.众人昂首望去,只见他身高将近八尺,年纪否过十七八.生得眉清目秀,齿白唇红,面如团粉,五官被雕刻得如天使那般の完美,俊朗得可比春秋战国时期の齐国邹忌,郑国子都.腰间两枚紫玉幽水佩在阳光下显得十分晶莹碧透.此人正是北平王罗艺之子,人称冷面寒枪の罗成.秦琼见罗成来到,匆匆起身离开座位,见咯罗成说道:"表弟您怎么来咯？"罗成墨色の碎发在白衣上显得格外分明,随风否断飘荡起来,冷峻の面容上露出几丝笑意,将身后の贺礼往前壹提说道:"表哥,上次幽州壹别,父王让我特地前来给舅母贺寿,您瞧,寿礼都拿来咯."秦琼接过寿礼笑着说:"姑父姑母太有心咯,也否知他

高一数学函数的值域(1)教案

江苏省泰州市第二中学高一数学教案函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。

教学重点：二次函数值域的求法。

教学过程:一．问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。

(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。

并求这些函数值构成的集合C 。

(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。

如x ∈R 呢？二．数学建构用自己的语言说值域的定义。

三．数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。

问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3：已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。

（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。

2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。

3．写解。

思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。

四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

高中数学高一数学求函数的值域

（1）观察法(用非负数的性质，如：20x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)例如：求下列函数的值域：y=-3x 2+2;{y|y ≥2} 变式：y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}函数y=ax+1 (a ≠0，－1≤x ≤1)的值域是______. （2）直接法：利用常见函数的值域来求，（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；例如：求值域：y=21x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--变式1：y ＝－x 2＋4x －1 x ∈[-1,3)；变式2：求函数y=34252+-x x 的值域. 变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）；（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞- 变式1：求函数y=3x-x 21-的值域.{y|y ≤23}变式2：21y x =+的值域为_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；变式3：4y x =+的值域为____（答：4]）；变式4：函数21x x y --=的值域为____变式5：22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；变式6：sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域为____（答：1[1,2-）；变式7：求函数)42(5log log 241241≤≤+-=x x x y 的值域（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=例如：求下列函数的值域：y=12++x x ({y|y 1≠}) 变式：函数y =2211xx +-的值域是（） A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211x x +-=212x +－1. ∵1+x 2≥1，∴0＜212x +≤2.∴－1＜y ≤1.解法二：由y =2211x x +-，得x 2=y y +-11.∵x 2≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1.解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B 求函数()3025xy x x -=≥+的值域求函数122+=x x y 的值域（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.例5 求函数y =432+x x 的最值．[-43,43]变式：22221x x y x x -+=++；[1,5]（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x xy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）；（9）基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用基本不等式公式来求值域；设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

高一数学函数的定义域与值域(讲义)(精)

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数的定义域为，的定义域为，则A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域M=,的定义域为N=；则【考点】函数的定义域2.函数的值域是（）A．[0,12]B．[-，12]C．[-，12]D．[，12]【答案】B．【解析】因为函数，所以，当时，；当时，；所以函数的值域为．故应选B．【考点】二次函数的性质．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．（-,-1）B．（-1,-）C．（-5,-3）D．（-2,-）【答案】B．【解析】因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，所以，即，所以函数的定义域为．故选B．【考点】函数的定义域及其求法．4.已知函数在时取得最大值4．(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若,求的值域.【答案】(1);(2);(3).【解析】（1）直接利用正弦函数的周期公式，求f（x）的最小正周期；（2）利用函数的最值求出A，通过函数经过的特殊点，求出φ，然后求f（x）的解析式；（3）通过，求出相位的范围，利用正弦函数的值域直接求f（x）的值域．.试题解析：解：（1）,（3）时，的值域为【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.三角函数的周期性及其求法．5.函数的定义域是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数式有意义，则.【考点】本题考查函数的定义域即使函数式有意义的自变量的取值范围.6. (1)求不等式的解集：．(2)求函数的定义域：．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）首先将首项系数化为正数，然后分解因式，进而可求得不等式的解集；（2）首先根据根式要有意义建立不等式，然后通过解分式不等式可求得结果．试题解析：（1）∵，∴，∴，∴或，∴原不等式的解集为．(2)要使函数有意义，须，解得或，∴函数的定义域是．【考点】1．一元二次不等式的解法；2．函数定义域．7.函数的定义域是．【答案】【解析】要是此函数有意义，所以有，所以定义域为【考点】（1）函数定义域的求法，（2）偶次根号下被开方数大于等于0，对数中真数大于08.计算：（2）已知函数，求它的定义域和值域。

高一数学讲义函数的值域

函数的值域（学生用）知能点全解：知能点一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

知能点二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为()()224 044 04ac b y a a ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)首先判定其对称轴2b x a=-与区间[],m n 的位置关系（1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2b f a-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2b m n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。

特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1 分别求函数241y x x =-+在下列区间上的值域：（1）x R ∈ ；（2）[3,4]x ∈；（3）[0,1)x ∈；（4）[0,5]x ∈；（5）(),2x ∈-∞；知能点三：一次分式函数的值域1、反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b+=+的值域：（1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭ （2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by x ay c-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。

高一数学《函数的值域》的求法

高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。

本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。

例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。

因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。

2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。

当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。

因此，所求值域为$[-4,12]$。

3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。

由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。

5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。

例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。

高一数学函数值域求法及例题

函数值域（最值）的常用方法姓名：一、基本函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦．反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠．指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >．对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．二、其它函数值域一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求242-+-=x y 的值域．2、求函数y =的值域．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

1、求函数12+=x x y 的值域．2、求函数2241x y x +=-的值域．四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域．2、求函数2122x y x x +=++的值域． 3、五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数x x y 41332-+-=的值域．六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13y x x =-+-的值域。

高一数学《函数的值域》的求法

高一数学《函数的值域》的求法《新形势下教育管理理论与实践指导全书》函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。

（1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围；（2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；（3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；（4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；（5）单调性法——利用函数的单调性求值域；（6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。

例1、求下列函数的值域：（直接法）（1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1}解：当x=－1时,y=0当x=0时,y=－3当x=1时,y=－4∴所求值域{0,－3,－4}（2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］解：y=(x－1)2－4当y=－3时,y max=12当x=1时,y min=－4所求值域为［－4，12］（3）y=x2－2x－3，x∈R解：y=(x－1)2－4≥－4∴所求值域为［－4,+∞)可改变x的范围，求函数的值域。

如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞)（4）y=4解：要使原函数有意义,则3+2x－x2≥0－1≤x≤3y=4当x=1时,y min=0当x=－1或3时,y max=4∴所求值域为［0,4］（5）y=25243 x x-+解：y=252(2)3 x x-+=252(1)1x -+ ∵2(x －1)2≥0∴2(x －1)2+1≥1∴0＜212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。

例2、求下列的值域：（1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x+，x ∈［1,3］（4）y=22436x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞)解：（2）≥0)则x=212t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54当t=12时,y max =54∴所求值域为（－∞, 54］解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2当x=3时，y max =103∴所求值域为［2，103］解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}方法1：（先化简函数）y=(3)(1)131(3)(2)22x x x x x x x +++==++--- ∵x ≠2 ∴y ≠1 又x ≠3 ∴y ≠312x +--即y ≠25所求值域为{y R ∈|y ≠1且y ≠25} 方法2：（判别式法）由y=22436x x x x +++-得 (y －1)x 2+(y －4)x －3(2y+1)=01°当y=1时，x=－3与定义域中x ≠=－3矛盾，∴y ≠12°当y ≠1时，由△=(5y －2)2≥0得y ∈R ，但y ≠1而当y=25时，求得x=－3不合题意∴y ≠25故所求值域为{y ∈R|y ≠1,且y ≠25} 解：(5)(判别式法)：由y=234x x +得 y ·x 2－3x+4y=01°当y=0时,x=02°当y ≠0时，∵x ∈R ∴△=32－4y ·y ≥0 －34≤y ≤34且y ≠0 综合以上知所求值域为［－34，34］注：利用判别式求形如：y=22ax bx c dx ex f++++的值域当化为m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0后，要注意： ①分m(y)=0，及m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才能利用判别式；②在求出y 的取值范围后；要注意“=”能否取到，即检验间断点以及△=0时，y 对应x 是否属于定义域。

数学高一专题函数的定义域、值域

数学高一专题函数的定义域、值域一、概念定义域：其中x叫作自变量，y叫因变量，集合A叫做函数的定义域。

二、求法求定义域：1、分母不等于02、偶次方根的被开方数大于等于03、0次方的底数不等于04、对数的底数大于0且不等于1,真数大于0求值域：1、直接法（观察法）2、配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型3、换元法：其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元4、反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型题型一：基本函数例题精讲1、函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．[0，1]例2、(0)=+≠的值域是．y kx b k1、函数f （x ）=+的定义域为（） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，0） C ．（0，2）D ．[0，2]2235y x x =+-的值域是．3、2(0)y ax bx c a =++≠的值域是：当0a >时，值域为；当0a <时，值域为．题型二：抽象函数例题精讲例1、已知f （x ）=2x+3，g （x+2）=f （x ），则g （x ）等于（）A ．2x+1B ．2x ﹣1C ．2x ﹣3D ．2x+7 变式练习1、已知函数()=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a f x x f 1,3则（） A.a 1 B.a3 C.a D.a 3 2、函数y=f(x+1)定义域为[0，1]，则y=f(x-1)定义域为____________3、函数f (x)为R 上的减函数，且f (xy) = f (x) + f (y) .（1）求f (1).（2）解不等式f (2x -3) < 0题型三：已知求参数例题精讲例1、已知函数()xx f +=11且()6=t f ，则t= 。

高一数学知识点-函数

9.函数的最大值、最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
结论
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义 {x|a≤x≤b}
名称闭区间
符号
[a，b]
数轴表示
{x|a＜x＜b} 开区间
{x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}
半开半闭区间
半开半闭区间
(a，b) [a，b) (a，b]
3．其他区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
10.函数的奇偶性
定
条件
义
结论
图象特征
偶函数
奇函数
对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
4.函数的表示
5．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范
围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

高一数学13—函数值域和最值—学生版

函数值域和最值知识梳理一、函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；二、函数的最值1、设函数()y f x =定义域为A ，则当x A ∈时总有()()0f x f x M ≤=，则称当0x x =时()f x 取最大值M ；当x A ∈时总有()()1f x f x N ≥=，则称当1x x =时()f x 取最小值N ；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。

三、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法5．分离常数法/部分分式法 6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*)例题解析一、特殊方法1．直接观察对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

【例1】求函数3y =的值域；【例2】求函数213y x x =-+-的值域2．配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．对于求二次函数()20y ax bx c a =++≠或可转化为形如()()()()20f x a g x bg x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；【例3】求函数[]225,1,2y x x x =-+∈-的值域；【例4】求二次函数[]242,1,4y x x x =-+-∈的值域；【例5】求[]2,1,56)(24-∈-+=x x x x f 的最大值【例6】设078422=+++x y x ，求22y x +的最值【例7】求函数322)(2--=x x x f 的值域【例8】求函数x x x f -+=1)(的值域3．基本不等式对形如（或可转化为）()b f x ax x =+，可利用2222a b a b ab +≥+≥求得最值。

高一数学函数的值域与最值

再见！
王新敞特级教师源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆王新敞
奎屯
人教A版高中数学·必修章节复习
书客吧/书客吧
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笼罩下,远远望去像披着了一层薄薄的绿纱,透着几分宁静、几分典雅、几分柔美。马启明满眼温情地看着妻子，觉得幸福像电视特写镜头里的花儿一样慢慢绽放着，甚至都能听得见“啪啪啪啪”的花开声，顿时对未来的生活和工作有了更多的期望，他知道自己的人生又翻开了新的篇章。6引子|1990年7月，一个烈日炎炎的夏日，天空纯净的没有一片云，也没有一丝风，火辣辣的烈日烤得大地滚烫滚烫的，柏油马路似乎都要化掉了；路两边的白杨树也都无精打采地矗立在那里，树叶垂头丧气地耷拉着脑袋，庄稼地里的玉米苗蔫头耷脑地忍受着烈日炽热的煎烤，叶子都卷了边，田头的草儿懒洋洋地趴在地上；知了躲在树枝中“热死了热死了！”地使劲叫着，仿佛在诅咒着这令人懊恼的炎热；往日东窜西跑的小碎孩、狗儿、猫儿全没了身影。就在这样一个炽热的夏季，马启明从陕西一所大学毕业了。他下车的时候头脑快要爆炸了，用手遮着眼睛、望着毒毒的太阳烦躁地在想：太热了！简直都透不过气来了，现在这里要瞬间变成寒冷的南极，或者来场甘霖就好了。那年代毕业的大学生都要绝对服从组织的分配，就算做梦都不可能出现择业自由的幻景。毕业分配一旦公布，个人档案等关系立即送到分配单位所在地，今生今世，想要自己调换工作比登天还难。在那个年代，档案就像一个人的平面复制品一样相当重要，不是有一部电影《秘密档案》，更增添了档案的神秘性。按照当时国家分配政策，马启明被分配到家乡的一个白酒厂，他的女友刘丽娟则回到了远在两千里之外她的家乡。遥远的距离并没有隔断彼此的思念和恋情，反而像马启明所学的发酵专业一样---发酵得越来越浓厚香醇。鸿雁传书、电话费猛增那是自然的，马启明也长途奔波去看他的女友，一来二去，不觉间已过了两年多。工作之余会走到铁路边，他觉得火车驶向的地方就是远方的女朋友、就是他的爱所在的地方，有事没事他望着西去的火车，想着女朋友发呆发愣、越是望、越是想！蓦然间，马启明远远地看到女朋友刘丽娟向他飘来，他想拉住她，但川流不息的人群淹没了她的身影。他无奈地摇了摇头，想，这又是幻觉。马启明的父母觉得儿子也老大不小了，便催促他赶快结婚。新婚蜜月之际，刘丽娟幽幽地对马启明说：“我们现在这样两边跑，挣的几个工资全贡献给铁路和电信部门了，总不是长久之计，要么你就调到我们单位去，要么我就调到你们单位来，你看怎么样？”一提起这个话，马启明胸膛里顿时觉得有一股热热的东西在涌淌，搅得他心烦意乱。他在床上煎了一天“烧饼”，觉得两个相爱的人能够厮守在一起，幸福亦不过如此。一想到新婚的妻子马上要和他分离，去遥远的远方，他的心如同刀割一般，难舍难离。他不想过牛郎织女般的

高一数学必修一函数的定义域和值域资料

高一数学必修一函数的定义域和值域资料
函数的定义域和值域是高一数学中的重要概念。

它们是相关函数与变量之间的关系，关系到函数求值。

因此，学习高一数学，必须深入了解它们。

定义域：定义域也称为函数的定义区域，是指给定函数f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量）的实变量x的取值范围的集合，也就是为了使f(x)的值确实存在，z取值范围的集合。

一般而言，x的取值范围通常为数轴上的所有实数或部分实数，也就是x∈R。

而如果有些函数涉及有理数，那么定义域x取值范围为:x∈Q，也就是定义域只能取到有理数。

值域：函数值域就是函数在给定定义域上可能出现的值集合，称为函数值域。

记f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量），则值域Df={y：y=f(x)，x∈Df }，其中，Df为定义域。

举例说明：
1. 不等式f(x)<2的值域
当x∈R时，函数f(x)的定义域就是R，而值域为｛y:y<2,x∈R｝=｛y:y<2｝。

以上就是函数的定义域和值域的概念及其具体的表示方法的介绍，希望小伙伴们能够更好的理解这些概念，为学习数学提供助力。

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一:求函数解析式1、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

例1. 已知,试求、解:设,则,代入条件式可得:,t ≠1、故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形。

2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。

例2。

(1)已知,试求;(2)已知,试求;解:(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。

(2)由条件式,以－x 代x 则得:,与条件式联立,消去,则得:。

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4、求下列函数得解析式:(1)已知就是二次函数,且,求;(2)已知,求,,;(3)已知,求;(4)已知,求。

【题意分析】(１)由已知就是二次函数,所以可设,设法求出即可。

(２)若能将适当变形,用得式子表示就容易解决了、(３)设为一个整体,不妨设为,然后用表示,代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得,由,得恒等式,得。

故所求函数得解析式为。

(2)1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ,又。

(3)设, 则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

(4)因为 ①用代替得 ②解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有:(1)解析式类型已知得,如本例⑴,一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式,顶点式与标根式得选择;(2)已知求得问题,法一就是配凑法,法二就是换元法,如本例(2)(3);(３)函数程问题,需建立关于得程组,如本例(4)、若函数程中同时出现,,则一般将式中得用代替,构造另一程。

高一数学求函数值域的方法仅限高一

仅限高一求函数值域的方法：1、直接法直接根据函数表达式来求值域，例：y = x 2 , x ∈(2,3)2、单调性法利用函数的单调性来求值域例：y=x-x 21-;解：定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯-- ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. 3、图象法利用函数图象来求值域例：y = x 3 x ∈(-2,5)4、配方法把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求，例： y=12+-x x 解：∵y=412+-x x 能构成完全平方而y=412+-x x +43 ∴4321y 2+-=）（x ∵x R ∈ ∴值域为y ≥435、判别式法把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求，例：y=;122+--x x x x解：由y=,122+--x x x x 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 6、换元法把带根号或者带分式等不容易看出来的式子用一个新元代替了，换完元后，一定要注意新元的范围，根据新元的范围来求值域。

例：y=521+-x x ;解：y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21. 故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}. ８、反求法用ｙ来表达ｘ，适用于ｘ的范围知道，且能用ｙ来表示ｘ。

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