两角和与差的三角函数及倍角公式练习

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三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 = = αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m如(1)下列各式中,值为12的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .-o o D 、1302cos +o(2)命题P :0tan(A B )+=,命题Q :0tan A tan B +=,则P 是Q 的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件(3)已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为____ (4)131080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =,求0tan 50的值(用a 表示)甲求得的结果是313a a-+,乙求得的结果是212a a -,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等),如(1)已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是_____(2)已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值(2)三角函数名互化(切化弦),如(1)求值sin 50(13tan10)+o o(2)已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值(3)公式变形使用(tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。

高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式练习 理

高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式练习 理

第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式1.计算1-2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析:原式=cos 45°=22.故选B. 答案:B2.设tan (α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析:tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α+β)-⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=322. 答案:B3.求值:⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12-sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12+sin π12=( )A .-32 B .-12C.12D.32 答案:D 4.若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ=( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析:由tan θ+1tan θ=4得,sin θcos θ+cos θsin θ=sin 2θ+cos 2θsin θcos θ=4,即112sin 2θ=4,∴sin 2θ=12.故选D.答案:D5.cos π9cos 2π9cos 4π9=( )A.13B.14C.16D.18 解析:cosπ9cos 2π9cos 4π9=12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9=12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9=14sin π9sin 4π9cos 4π9=18sin π9sin 8π9=18sinπ9sin π9=18.故选D.答案:D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α等于( ) A .-79 B .-13C.13D.79 答案:C7.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2θ等于( ) A .-13 B.13C .-79 D.79解析:∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=13,∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=1-2×19=79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2θ=-cos[π-(π3-2θ)]=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2θ, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3+2θ=-79.故选C.答案:C8.函数y =sin 2x1+cos 2x的最小正周期为________.解析:y =sin 2x 1+cos 2x =2sin x cos x2cos 2x =tan x ,所以最小正周期T =π. 答案:π9.若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α 的值为______. 解析:∵tan α=-21=-2,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=43. 答案:4310.已知tan α=2,则2sin 2α+1sin 2α=________.解析:2sin 2α+1sin 2α=3sin 2α+cos 2α2sin αcos α=3tan 2α+12tan α=3×22+12×2=134.答案:13411.若sin (π-α)=45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则sin 2α-cos 2α2的值等于________.解析:∵sin(π-α)=45,∴sin α=45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos α=35.∴sin 2α-cos 2α2=2 sin αcos α-1+cos α2=2×45×35-1+352=425.答案:42512.已知向量a =(cos 2x ,1),b =(1,sin 2x),x ∈R ,函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π8=325,求cos 2α的值.解析:(1)f (x )=a·b =cos 2x +sin 2x =2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x +22sin 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4所以,f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2 =2cos α=325 ,则cos α=35,所以cos 2α=2cos 2α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352-1=-725.13.在△ABC 中,已知cos A =17,cos(A -B)=1314,且B <A.(1)求角B 和sin C 的值;(2)若△ABC 的边AB =5,求边AC 的长. 解析:(1)由cos A =17>0,cos(A -B )=1314>0,得0<A <π2且0<A -B <π2.可得sin A =1-cos 2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫172=437,sin(A -B )=1-cos 2(A -B )=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13142=3314, ∴cos B =cos[A -(A -B )]=cos A cos (A -B )+sin A ·sin (A -B ) =17×1314+437×3314=12, ∵0<B <π,且B <A , ∴B =π3.∵在△ABC 中,C =π-(A +B ), ∴sin C =sin[π-(A +B )]=sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =437×12+17×32=5314. (2)在△ABC 中,由正弦定理得AB sin C =ACsin B ,∴AC =AB ·sin Bsin C =5×325314=7.。

三角恒等变换练习题及答案

三角恒等变换练习题及答案

角函数公式两角和公式sin(A+B)=sin(A-B)=cos(A+B)=cos(A-B)=tan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2α=cos2α=sin2α=半角公式sin^2( α/2)=cos^2( α/2)=tan^2( α/2)=和差化积2sinAcosB=2cosAsinB=2cosAcosB=-2sinAsinB=积化和差公式sinαsinβ=cosαcos=βsin αco=sβ万能公式sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+t αn^2(α/2)) cos(α)= (1-t αn^2(α/2))/(1+t αn^2( α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-t αn^2( α/2))角函数公式两角和公式sin(Α+B)=sin ΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑcos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinBt αn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-t αnΑt αnB) tαn(Α-B)=(tαnΑ-t αnB)/(1+tαnΑt αnB) 倍角公式cos2 cos 2sin 2 2 c os 2 1 1 2 sin 2;。

sin 2 tan2 2sin2 tancos ;1 tan2半角公式sin^2( α/2)=(1-cos α)/2cos^2( α/2)=(1+cos α)/2tαn^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)和差化积2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin( Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B)-2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)积化和差公式sin(α)sin(β)=—1/2*[cos( α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos( α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin( α+β)+sin(α-β)]1. 三角函数式的化简(1)降幂公式sin cos 1sin 22;sin1 cos22;cos1 cos2。

三角函数 两角和与两角差 倍角公式

三角函数 两角和与两角差 倍角公式

三角函数训练-两角和与两角差1.若sin532=θ,542cos -=θ则θ在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 2.cos2125π+cos 212π+cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45 D.1+433.已知π<α<23π,且sin (23π+α)=54,则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-34.若tan θ+cot θ=m,则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2m D.21m5.下列关系式中不正确...的是 ( ) A.sin α+sin β=2sin2βα+cos2βα-B.sin α-sin β=2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2βα-D.cos α-cos β=2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α,那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.-53 D.-547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.-tan x D.cot x8.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2α的值为 ( )A.5B.-5C.51 D.-51三角函数训练-两角和与两角差1.设5π<θ<6π,cos2θ=a ,则sin 4θ等于 ( ) A.-21a + B.-21a- C.-21a + D.-21a - 2.若tannmA =2,则mcos A -nsin A 等于 ( ) A.n B.-n C.-m D.m3.若tan α=-2且sin α<0,则cos α= .4.tan5π+tan 52π+tan 53π+tan 54π= .5.已知sin θ=-53,3π<θ<27π,则tan 2θ= .6.已知sin α=31,2π<α<3π,那么sin 2α+cos 2α= .7.cos 85πcos 8π= .8.sin (θ+75°)+cos (θ+45°)-3cos (θ+15°)= . 9.已知π<θ<23π,cos θ=-54,则cos 2θ= . 10.tan19°+tan26°+tan19°tan26°= . 11.若cos (α+β)=54,cos (α-β)=-54,且2π<α-β<π,23π<α+β<2π,则cos2α= ,cos2β= .12.求2sin160°-cos170°-tan160°sin170°的值.13.已知sin (x -43π)cos (x -4π)=-41,求cos4x 的值. 14.求证tan xx x x x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数y=x 2-4px -2的图象过点(tan α,1),及点(tan β,1).求2cos2αcos2β+p sin2(α+β)+2sin 2(α-β)的值.三角函数训练- 两倍角公式1.如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是( ) A .251 B.1 C.2517 D.2517-2.若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值. 3.求证:αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=.4.已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证:αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5.已知α、)2,0(πβ∈,且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证:,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6.若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则( )A .a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >27.已知θ是第三象限角,且95cos sin 44=+θθ,那么θ2sin 等于( ) A .322 B. 322- C. 32 D.32-三角函数训练(三)答案1、解:由sin532=θ>22,cos 2θ=-54<-22 得2θ为第二象限角. 即2kπ+43π<2θ<2kπ+π (k∈Z)∴4kπ+23π<θ<4kπ+2π (k∈Z)∴θ在第四象限. 答案:D 2、解:原式=sin 212π+cos 212π+sin 12πcos 12π=1+21sin 6π=45 答案:C3、解:由sin (23π+α)=-cos α=54,π<α<23π,得cos α=-54,2π<2α<43π∵cos α=1-2sin22α ∴sin 2α=10103 cos2α=-1010∴tan 2α=-3答案:D4、解:∵tan θ+cot θ=tan θ+θtan 1=m 即:m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ=m2tan 1tan 22=+θθ答案:B5、解:因为sin α-sin β=2cos 2βα+sin2βα-.答案:B6、解:cos α=549119112tan 12tan 122=+-=+-αα.答案:B7、解:原式=x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案:C8、解:由sin α=135,α在第二象限得cos α=-1312. ∴tan2α=5cos 1sin =+αα答案:A三角函数训练(四)答案1、解:∵cos 2θ=1-2sin 24θ 5π<θ<6π 45π<4θ<23π ∴sin 24θ=21a - 即sin4θ=-21a -. 答案:D2、解:mcos A -nsin A =m·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案:C3、解:由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α=55.答案:55 4、解:原式=tan 5π+tan 52π+tan (π-52π)+tan (π-5π)=tan 5π+tan 52π-tan52π-tan 5π=0. 答案:05、解:∵3π<θ<27π ∴23π<2θ<47π又∵sin θ=532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ=-3. 答案:-36、解:∵2π<α<3π ∴π<2α<23π(sin2α+cos 2α)2=1+sin α=34∴sin2α+cos 2α=-332. 答案:-332 7、解:cos85πcos 8π=cos (2π+8π)cos 8π=-sin8πcos 8π=-21sin 4π=-42.答案:-428、解:设θ+15°=α原式=sin (α+60°)+cos (α+30°)-3cos α=sin αcos60°+cos αsin60°+cos αcos30°-sin αsin30°-3cos α=0. 答案:09、解:由π<θ<23π得2π<2θ<43π 又cos θ=2cos 22θ-1=-54∴cos2θ=-1010. 答案:-101010、解:原式=tan (19°+26°)(1-tan19°tan26°)+tan19°tan26°=1. 答案:111、解:∵2α=(α+β)+(α-β) ∴cos2α=cos [(α+β)+(α-β)]=-257∵2β=(α+β)-(α-β) ∴cos2β=cos [(α+β)-(α+β)]=- 1. 答案:-257-112、解:原式=2sin20°+cos10°+tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解:由sin (x -43π)cos (x -4π)=-41 ⇒21[sin (2x -π)+sin (-2π)]=-41⇒sin2x =-21⇒cos4x =1-2sin 22x =21.14、证明:左边=2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-=右边. 15、解:由条件知tan α、tan β是方程 x 2-4px -2=1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan (α+β)=p p=--)3(14.∴原式=2cos2αcos2β+tan (α+β)sin2(α+β)+2sin 2(α-β)=cos2(α+β)+cos2(α-β)+2sin 2(α+β)+2sin 2(α-β)=cos2(α+β)+cos2(α-β)+[1-cos2(α+β)]+[1-cos2(α-β)]=2三角函数训练(五)答案1、分析:先化简θθ44cos sin +为(.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式:.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案:C2、分析:角2A 与A +4π不是倍角关系,但)4(222A A +=+ππ,故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解:169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析:因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明:∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理,2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析:求证一个三角函数式为定值,就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式,所以我们得用如下公式:).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明:∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析:本题前半部分实际上是一个给值求角类型题,因此在确定βα2+范围的前提下,利用两个已知条件,求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式,且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解:由已知得:ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-=即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+,原式成立.由①2+②2得:22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈, ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得:1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β 6、分析:此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方,则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α,同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a >0,b >0,则有a <b .答案:A7、分析:此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角,则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案:A。

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题:1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A .2 B .-2 C .211 D .-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A .16B .15C .29D .3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A .1318 B .322 C .1322 D .-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A .-12 B .-32 C .12 D .325、在∆ABC A B A B 中,··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰三角形二、填空题:6、角αβαβ终边过点,角终边过点,则(,)(,)sin()4371--+= ;7、若αα23tan ,则=所在象限是 ; 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ,则 ; 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·; 10、化简3232sin cos x x +=。

三、解答题:11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

,求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根,求是方程x x·cos()αβ+的值。

答案:一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。

(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习

(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习

两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos (α+β)=____________________________________________,cos (α-β)=_______________________________________________;(2)sin(α+β)=_____________________________________________,sin(α-β)=_______________________________________________;(3)tan(α+β)=______________________________________________,tan(α-β)=_________________________________________________。

(α,β,α+β,α-β均不等于kπ+π2,k ∈Z)其变形为:tan α+tan β=______________________________________,tan α-tan β=_________________________________________________.2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=____________________________________________________;(2)cos2α=________________________=________-1=1-_________;(3)tan2α=_______________________ (α≠错误!+错误!且α≠kπ+错误!,k ∈Z ).3。

公式的逆向变换及有关变形(1) sin αcos α=___________________(2)降幂公式:sin 2α=________________,cos 2α=______________________;升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________________;变形:1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=_____________________________例题讲解1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角,求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。

两角和与差的三角函数、二倍角公式

两角和与差的三角函数、二倍角公式

tan β=-17>-1,所以 0<α<π4,34π<β<π,则 0<2α<π2,-π<-β<-34π,-π<
2α-β<-π4,所以 2α-β=-34π.
总结 提炼
1.解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1) 当“已知角”有
两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2) 当“已知角”有一个 时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”.
A.-2245
B.2245
C.274
D.-274
【解析】因为-π3<θ<π6,所以 0<θ+π3<π2,所以 cos θ+π3=35,故 tan θ+π3=43,
tan
2θ+π6 = tan
2θ+3π-π2 =
sin cos
2θ+π3-π2 2θ+π3-π2


cos sin
2θ+π3 2θ+π3

2 2
C.tan 15°=2- 3
D.12sin 40°+ 23cos 40°=sin 70°
【解析】sin 2+π2=cos 2,故 A 正确; cos 73°·cos 28°+sin 73°sin 28°=cos (73°-28°)=cos
45°=
22,故
B
正确;
tan 15°=tan (60°-45°)=1+3-13=2- 3,故 C 正确;
2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+2 β-α-2 β,α=α+2 β
+α-2 β,α-2 β=α+β2-α2+β等.
研题型 能力养成 举题说法
1.(2023·梅州一模)已知 sin α+π6=13,则 cos 23π-2α=

备战高考数学一轮复习讲义第20讲 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式

备战高考数学一轮复习讲义第20讲 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式

第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°-cos72°sin42°= 12 . 解析: sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α=-35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α等于( D )A. -210 B. 7210 C. -71010D. 210解析: 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,cos α=-35,所以sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45,因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos π4cos α+sin αsin π4=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35+45×22=210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=35,且β是第三象限角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β+5π4= 10 .解析: 由sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=35,得sin[(α-β)-α]=-sin β=35,sin β=-35.因为β是第三象限角,所以cos β=-1-sin 2β=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=-45,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β+5π4=sin βcos 5π4+cos βsin 5π4=⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-22+⎝ ⎛⎭⎪⎫-45×⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=35,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4等于( A )A. 17 B. 7 C. -17D. -7解析: 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=35,得tan α=-34,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan α+11-tan α=17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8-sin 2π8C.tan π81-tan 2π8D. 2cos 222.5°-1解析: 对于A ,sin π12cos π12=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12=12sin π6=14,不符合题意;对于B ,cos 2π8-sin 2π8=cos π4=22,符合题意;对于C ,tan π81-tan 2π8=12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8=12tan π4=12,不符合题意;对于D,2cos 222.5°-1=cos45°=22,符合题意.基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β):cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β ; (2) S (α±β):sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β ; (3) T (α±β):tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α= 2sin αcos α ;cos2α= cos 2α-sin 2α = 2cos 2α-1 = 1-2sin 2α ; tan2α=2tan α1-tan 2α.3. 辅助角公式函数y =a sin x +b cos x 可化为y =A sin(ωx +φ)的形式, a sin x +b cos xtan φ=ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β) ;(2) 降幂公式:cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1-cos2α2; (3) 1+sin2α=(sin α+cos α)2,1-sin2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°+tan12°+33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析: 因为tan30°=tan(18°+12°)=tan18°+tan12°1-tan18°tan12°=33,所以tan18°+tan12°=33(1-tan18°tan12°),所以原式=33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α=45,0<α<π2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. -210D. -7210解析: 由cos α=45,0<α<π2,得sin α=35,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=22sin α+22cos α=22×35+22×45=7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β),C (α±β),T (α±β)的展开式中所需要的条件,结合题设,明确谁是已知的,谁是待求的.此类题的解题方法可总结为“对照公式,缺什么求什么”.1. (2022·岳阳三模)1-2cos 267.5°等于( D ) A. -12 B. -22 C. -32D. 22解析: 由余弦的倍角公式可得1-2cos 267.5°=-cos(2×67.5°)=-cos135°=22.2. (2022·扬州模拟)1-tan75°1+tan75°= -3 .解析: 1-tan75°1+tan75°=tan45°-tan75°1+tan45°tan75°=-tan(75°-45°)=-tan30°=-33.3. (2022·海南模拟)若sin α=55,则cos(π-2α)等于( A ) A. -35 B. -25 C. 25D. 35解析: cos(π-2α)=-cos2α=2sin 2α-1=-35.4. 若tan α=-23,tan β=13,则sin(2α+2β)等于( C ) A. -7130130 B. 11130130C. -3365D. 9130解析: 由tan α=-23,知sin α=-213,cos α=313或sin α=213,cos α=-313,则sin2α=2sin αcos α=-2×213×313=-1213,cos2α=1-2sin 2α=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132=513.由tan β=13,知sin β=110,cos β=310或sin β=-110,cos β=-310,则sin2β=2sin βcos β=2×110×310=35,cos2β=1-2sin 2β=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102=45,则sin(2α+2β)=sin2αcos2β+cos2αsin2β=-1213×45+513×35=-3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1010,则cos α的值为5 .解析: 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以π4<α+π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1010,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=31010,所以cos α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos π4+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin π4=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010+31010=255. (2) 已知α为锐角,且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35,则sin α等于( B )A. 43+310 B. 43-310 C.33+410D. 33-410解析: 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35(α为锐角),所以α+π6为锐角,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,所以sin α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π6-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos π6-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6sin π6=45×32-35×12=43-310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1) 当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2) 当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2-⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+β等.1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-32,则sin2α的值为( A ) A. 12 B. -12 C. 32D. -32解析: 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-32,所以sin2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-322-1=12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=55,则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析: 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则-π4<θ-π4<π4,故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=1-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=255,所以sin θ=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+π4=22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=31010,故cos θ=1-sin 2θ=1010,因此tan θ=sin θcos θ=3.3. 已知α,β为锐角,且cos (α+β)=1213,cos (2α+β)=35,那么cos α= 5665 . 解析: 因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),2α+β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,3π2.又cos(α+β)=1213,cos(2α+β)=35,所以sin(α+β)=513,sin(2α+β)=45,所以cos α=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=35×1213+45×513=5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°-2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析: cos10°2sin10°-2cos10°=cos10°-4sin10°cos10°2sin10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin (30°-10°)2sin10°=cos10°-(cos10°-3sin10°)2sin10°=32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x =13,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x 等于( A )A. -79 B. 79 C. -89D. 89解析: sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x =cos2x =2cos 2x -1=2×19-1=-79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,63是角α的终边与单位圆的交点,则sin2α等于( C )A. 13 B. -13 C. -223D. 63解析: 由题知,由任意角三角函数的定义可得sin α=63,cos α=-33,所以sin2α=2sin αcos α=2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫-33=-223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2-π4=33,则cos2α等于( D )A. -79 B. -13 C. 13D. 79解析: 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2-π4=33,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2-π4=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332=13,即sin α=13,从而得cos2α=1-2sin 2α=79.4. 已知sin β=35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)= -2 .解析: 因为sin β=35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,所以cos β=-45.由sin(α+β)=cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-45cos(α+β)+35sin(α+β),得25sin(α+β)=-45cos(α+β),所以tan(α+β)=-2.5. 计算:3cos15°-4sin 215°cos15°解析:3cos15°-4sin 215°cos15°=3cos15°-2sin15°·2sin15°·cos15°=3cos15°-2sin15°sin30°=3cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)= 2.练案❶ 趁热打铁,事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》. 练案❷ 1. 补不足、提能力,老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容,成书可向当地发行咨询购买.2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力,老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》,成书可向当地发行咨询购买.。

两角和、差及倍角公式-高考理科数学课时分层作业练习

两角和、差及倍角公式-高考理科数学课时分层作业练习

两角和、差及倍角公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=( )A. B.- C.- D.【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin 2θ= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcos β=cos α(1+sin β),则( )A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.因为sin αcos β=cos α(1+sin β),所以sin(α-β)=cos α=sin,所以α-β=-α,即2α-β=.4.已知sin α=,sin=-,α,β均为锐角,则cos 2β=( )A.-B.-1C.0D.1【解析】选C.由题意知:cos α==,cos(α-β)==.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=0.【变式备选】已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cos β的值为( )A.-B.C. D.-【解析】选 C.因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,故cos β= cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( )A. B. C. D.【解析】选 A.tanβ=tan[(α+β)-α]===.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sin θ及cos θ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.【解析】选B.由题意知sin θ=,cos θ=,故sin=cos2θ= cos2θ -sin2θ=-=-.7.(2018·郑州模拟)已知sin α+cos α=,则sin2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-,因此sin2==(1-2sin αcos α)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·江苏高考)若tan=, 则tan α=__________ ____.【解析】tan α=tan===.答案:9.(2018·长沙模拟)已知P,Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P 点的纵坐标为,Q 点的横坐标为,则cos ∠POQ= __________.【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos ∠xOP 和sin ∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.【解析】由题意可得,sin ∠xOP=,cos ∠xOQ=,所以cos ∠xOP=,sin ∠xOQ=.所以cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos ∠xOP ·cos ∠xOQ-sin ∠xOP ·sin ∠xOQ=×-×=-.答案:-10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin =,cos =,则sin(A+B)=__________.【解析】因为sin=,所以cos=±,因为cos=-<-=cosπ,所以A+>⇒A>(舍),所以cos=,由cos=⇒sin=,所以sin(A+B)=sin=sin cos+cos sin=×+×=.答案:1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=.②①+②得sin αcos β=.②-①得cos αsin β=.==5.2.(5分)化简:·=________.【解析】原式=tan(90°-2α)·=··=··=. 答案:3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α= cos 2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin 2α==,所以原式=cos 2αcos -sin 2αsin =×-×=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cos β的值.【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cos α的值,再由cos β= cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM= ,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=和α为锐角,所以sin α=,cos α=.又点B的纵坐标是.所以sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2××=,所以2α∈.因为β∈,所以2α-β∈.因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,所以2α-β=-.。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α?β)=cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=2sin_αcos_α.cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan2α=.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan_αtan_β). (2)cos 2α=,sin 2α=.(3)1+sin2α=(sin α+cos α)2,1-sin2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=sin.4.函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=sin(α+φ),其中tan φ= 一、选择题1.给出如下四个命题①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立; ②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是()A .①②B .②③C .③④D .②③④ 2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是()A .21+B .12-C .2D .2 3.当]2,2[ππ-∈x 时,函数x x x f cos 3sin )(+=的() A .最大值为1,最小值为-1 B .最大值为1,最小值为21-C .最大值为2,最小值为-2D .最大值为2,最小值为-14.已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 ()A .21 B .22 C .22-D .22±5.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 ()A .6556B .-6556C .5665D .-56656. 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于()A .43 B .83 C .81D .41 7.函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是()A .)()(x g x f 与B .)()(x h x g 与C .)()(x f x h 与D .)()()(x h x g x f 及与8.α、β、γ都是锐角,γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 () A .3πB .4π C .π65 D .π459.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是()A .p+q+1=0B .p -q+1=0C .p+q -1=0D .p -q -1=0 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是()A .412--a aB .-412--a aC .214a a --±D .412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为()A .1tan tan >+B A B .1tan tan <⋅B AC .1tan tan =⋅B AD .不能确定12. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是()A .41B .23C .21D .43二、填空题(每小题4分,共16分,将答案填在横线上) 13.已知m =-⋅+)sin()sin(αββα,则βα22cos cos -的值为.14.在△ABC 中,33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅=则∠B=.15.若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ=.16.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是. 三、解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分) 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π.18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.19.求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++. 20.已知α,β∈(0,π)且71tan ,21)tan(-==-ββα,求βα-2的值. 21.证明:x x xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22.已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B ,B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.C2.A3.D4.D5.B6.C7.C8.B9.B10.D 11.B12.A二、13.m14.3π15.32--16.]214,214[-三、17.原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,3275tan )2tan(+==- αβ.19.证:y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右. 20.13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右.22.由题设B=60°,A+C=120°,设2CA -=α知A=60°+α,C=60°-α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。

高三数学两角和与差的三角函数试题

高三数学两角和与差的三角函数试题

高三数学两角和与差的三角函数试题1.已知0<α<π,sin 2α=sin α,则tan=________.【答案】-2-【解析】由sin 2α=sinα,可得2sin αcos α=sin α,又0<α<π,所以cos α=.故sin α=,tan α=.所以tan===-2-.2. sin2012°=()A.sin32°B.﹣sin32°C.sin58°D.﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin(5×360°+212°)=sin212°=sin(180°+32°)=﹣sin32°.故选B3.设函数满足.(1)求的单调递减区间;(2)设锐角的内角所对的边分别为,且,求的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)由函数,运用二倍角公式的逆运算,即可将化成一个角的和差的正余弦形式.再结合基本函数的单调性,通过解不等式即可得到的单调递减区间.(2)因为,结合余弦定理化简后再根据正弦定理,即可得到角B的值,又由(1)所得的函数关系,即可求出角A的范围.试题解析:(1)由得:,∴∴由得:,∴的单调递减区间为:(2)∵,由余弦定理得:,即,由正弦定理得:,,,∴∵△锐角三角形,∴,∴的取值范围为.【考点】1.三角函数的二倍角公式.2.三角函数的化一公式.3.运用正弦定理、余弦定理解三角形.4.三角不等式的解法.4.求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.【答案】【解析】(解法1)因为40°=30°+10°,于是原式=sin210°+cos2(30°+10°)+sin10°cos(30°+10°)=sin210°++sin10°·(cos10°-sin10°)=(sin210°+cos210°)=.(解法2)设x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°.则x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°,x-y=cos80°-cos20°-=-sin50°-=-cos40°-.因此2x=,故x=5.设α、β∈(0,π),且sin(α+β)=,tan=,则cosβ=________.【答案】【解析】∵tan=,∴tanα==,而α∈(0,π),∴α∈.由tanα==及sin2α+cos2α=1得sinα=,cosα=;又sin(α+β)=<,∴α+β∈(,π),cos(α+β)=-.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-6.已知α、β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=________.【答案】1【解析】∵tanβ=,∴tanβ==tan .又∵α、β均为锐角,∴β=-α,即α+β=,∴tan(α+β)=tan=1.7.已知向量,, .(1)求的最小正周期;(2)若A为等腰三角形ABC的一个底角,求的取值范围.【答案】(1) ;(2).【解析】(1)求出=利用两角和与差的正余弦函数公式化简得==∴最小正周期T=;(2)利用A为等腰三角形ABC的一个底角,求出A的范围为,所以,进而,再求出,即可得.试题解析:(1)= 2分===== 5分∴最小正周期T= 6分(2)∵A为等腰三角形ABC的一个底角,∴∴,∴, 8分∴,即. 12分【考点】1.两角和与差的正余弦函数;2.平面向量数量积的运算;3.解三角形..8.已知向量,向量,函数.(1)求的最小正周期;(2)已知分别为内角的对边,为锐角,,且恰是在上的最大值,求和的值.【答案】(1);(2),.【解析】本题是对平面向量和三角函数的综合考查,考查向量的数量积、三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦公式、余弦定理、周期、最值等基础知识,考查运算能力、分析问题解决问题的能力.第一问,先利用向量的数量积的运算公式,将向量的坐标代入,得到的解析式,再利用倍角公式、两角差的正弦公式化简表达式,最后利用周期公式计算即可;第二问,先数形结合求函数的最大值,得到角,再利用余弦定理得到边.试题解析:(1),,……6分(2)由(1)知:,时,当时取得最大值,此时.由得由余弦定理,得∴,即则 12分【考点】1.向量的数量积;2.倍角公式;3.两角差的正弦公式;4.三角函数的周期、最值;5.余弦定理.9.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边,(1)求A的大小;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用,以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换,考查基本运算能力,考查分析问题解决问题的能力.第一问,先利用正弦定理将边换成角,去分母,再利用两角和的正弦公式化简,得到,再在中,考虑角的范围求角;第二问,利用正弦定理将边用角来表示,利用降幂公式化简,再将用角表示,用两角差的正弦公式化简,最后化简成,利用角的取值范围求函数的值域.试题解析:(I)△ABC中,∵,由正弦定理,得:,即,故,…(4分)∴(2)由正弦定理得∴,∴∵∴∴∴.【考点】1.正弦定理;2.两角和与差的正弦公式;3.倍角公式;4.三角函数的值域.10.若且则的可能取值是()A. B C. D.【答案】A【解析】由得,由得:,故,故,故选A.【考点】1.两角和的正切公式;2.基本不等式;3.正切函数的单调性11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.【答案】(1);(2);【解析】(1)中有正切和正弦、余弦,这样的问题一般是“切化弦”,统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答;(2)利用正弦定理,可化为角的三角函数,再利用,可消去一元,问题于是就转化为三角函数的值域问题.试题解析:(1)因为,即,所以,即,得. 4分所以,或(不成立).即, 得. 7分(2)由,设,.因, 8分故=. 12分,故. 15分【考点】两角和与差的三角函数、正弦定理.12.若是锐角,且,则的值是.【答案】【解析】根据题意,由于是锐角,且,故可知,那么利用=,故答案为【考点】两角和差的公式点评:主要是考查了差角的三角函数公式的运用,属于基础题。

(2021年整理)高中必修4两角和与差公式及倍角公式练习及答案

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两角和与差公式及二倍角公式练习一、选择题:1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A .2 B .-2 C .211 D .-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A .16B .15C .29D .310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A .1318 B .322 C .1322 D .-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A .-12 B .-32 C .12 D .325、在∆ABC A B A B 中,··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰三角形二、填空题:6、角αβαβ终边过点,角终边过点,则(,)(,)sin()4371--+= ;7、若αα23tan ,则=所在象限是 ;8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ,则 ;9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·; 10、化简3232sin cos x x += 。

3两角和与差的三角函数及二倍角公式(空).docx

3两角和与差的三角函数及二倍角公式(空).docx

三角函数——3.两角和与差的三角函数及二倍 角公式【知识要点】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:如⑴下列各式中,值为扣J 是(2)命题 P : tan( A + B ) = 0 ,命题 Q : tan A + tanB = 0 ,则 P 是 Q 的 ()A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件;(3)已知 $加(a_ 卩)cos a- cos( a-p )sina =—,那么 cos 20 的值为 —iR(4)------------------------------------------------------------------- 时血的值是A^ 血 15 co$15B cos 1127112tan 22.5Z\-tan 222.5°D 、 11 +cos30°V 2得的结果是 匕匚,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 2d2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:2 71 1 71(1)如(1)己知 tan(a + 0) = —, tan(0——)=—,那么 tan(a + —)的值是5 4 4 4 (2)已知 0 v 0 v 亍 v a v 龙,_LL cos( ex —)=-百,sin( ——/3)—— > 求c()s( a 七卩丿的值;(3)己知 % 0 为锐角,sin a = x, coscos(cr + /?) = --,则 y 与兀的函数关系为 ______________________________ ;(2) 如(1)求值sin50°(l + V3tanl0°);(2)已知 抽 Qcos a = ],tan(a_0) = _Z ,求 tan(0-2a)的值; 1-COS 2Q 3(3)如(1)已知 A 、B 为锐角,且满足 tan A tan B = tan 4 + tan B +1,则 cos(A +(5)已知tanllO°=a,求tan50°的值(用a 表示)甲求得的结果是1 + \j3ci乙求B)⑵设 AABC 中,tan A + tan B + V3 = >/3 tan A tan B , sin A cos A =,4则此三角形是三角形;1 和 +—cos2a 为 ;2函数x) = 5sinxcosx-5A /3 COS 2 X +—V3(xe R 丿的单调递增区间如(1)若ae (7v,-7v ),化简2(2)如(1) 1 ▲ a t ~ l + tan — l +sin a2 : a 1 - tan —2求证: l-2sin 2-2 2 cos 4 x-2 cos 2(2)化简 ------ --------2 tan(— 一 x) sin 2 (— + x)44如已知 tana = 2 ,求sin 2(z + sin6ircos6r-3cos 2 a.(7)如(1)若 sinx±cosx = r,贝Osinxcosx= _________ ,特别提醒:这里ZG [-72,72];(2)若 aE (0,^), sin cr+cos a(3)已知 sm2a + 2snr a = &(£ v© v 兰),试用k 表示sina — cosa 的值。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和差的正弦余弦正切公式练习题之宇文皓月创作知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)=cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α.cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan 2α=2tan α1-tan2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β). (2)cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2.(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cosα)2,sin α±cos α=2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α±π4. 4.函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a2+b2sin(α+φ),其中tan φ=ba一、选择题1.给出如下四个命题立;;成立的条件是且③公式其中假命题是()A.①②B.②③C.③④D.②③④2()A B C D. 23()A.最大值为1,最小值为-1 B.最大值为1,最小C.最大值为2,最小值为-2 D.最大值为2,最小值为-14()A B C D5()A6()A B C D7()C DA8.α、β、是锐角,等于D9p、q之间的关系是()A.p+q+1=0 B.p-q+1=0 C.p+q-1=0 D.p-q-1=010()A B1的关系为11.在△ABCABC12()A B C D二、填空题(每小题4分,共16分,将答案填在横线上).1314.在△ABC则∠B= .1516. 三、解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分) 1718. 1920. 2122.已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B10.D 11.B 12.A二、13.三、17.原式1821.左.22.由题设B=60°,A+C=120°,设A=60°+α,C=60°-α,。

最新三角函数两角和差公式及其基本练习题资料

最新三角函数两角和差公式及其基本练习题资料
三角函数两角和差公式及其基本练习题
一公式及技巧:
1、和差公式:
(1) ;
(2)
(3)
2、二倍角(半角)公式:
(1)
(5)资金问题(2)
(3)
1、DIY手工艺市场状况分析备注:常用技巧或知识:
(1)角的关系:
五、创业机会和对策分析(2)代换:1=
(四)大学生对手工艺制品消费的要求(3)韦达定理: 有两根 ,则有
3.比较大小: < ;
4. ;
5. ;
6. ;
Beadwrks公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流,体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎;同样,自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感,这里更是创作的源泉。知 , ;
10.已知锐角 满足 ,则 ;
(4)由三角函数线及其三角形三边关系有: 一正一负;
同号; 有一个为零。
一、消费者分析二、填空题:
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受?1. ;
2003年,全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元,比上年增长9.1%。2.函数 的最大值为 ;
三、解答题:
11.若 求 .
12..若 ,求
1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社2003年2月13.若 、 为方程 的两根,求 .
14.锐角 满足 求 ;
15.已知 化简
16.求函数 的最大值.
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