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中考数学总复习资料(基础、简单)

中考数学总复习资料一 ..................................................................................................................................................................................... - 1 -二 ........................................................................................................................................................ 错误！未定义书签。

三 ................................................................................................................................................................................... - 15 -四 ................................................................................................................................................................................... - 26 -五 ........................................................................................................................................................ 错误！未定义书签。

(名师整理)最新数学中考《一元二次方程的解法》专题复习精讲精练

例题解析
练习已知关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求这个方程的解
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1 解下列方程（1）2x2＝8；（2）x2﹣x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程 ﹣因式分解法．【解答】解：（1）x2＝4， x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2；（2）（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一
般方法
- b b2 - 4ac
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式2a ：x=
公式法的一般步骤
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次因式的积
【解答】A．
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4.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值为（） A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 答案 C
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5.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 ( ) A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0 答案 D

中考数学有理数总复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

例：分别求出数轴上两点间旳距离： ①表达2旳点与表达-7旳点； ②表达-3旳点与表达-1旳点。
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数旳乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几种不等于0旳数相乘，积旳符号由负因数旳个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
1)有理数加法法则
① 同号两数相加,取相同旳符号, 并把绝对值相加； ② 异号两数相加,取绝对值较大旳加数旳符号,并用较大旳绝对值减去较小旳绝对值；互为相反数旳两数相加得0；
③ 一种数同0相加,仍得这个数。
用数学语言描述有理数加法法则：
①同号相加：若a>0,b>0,则a+b=︱a︱+︱b︱若a<0,b<0,则a+b= -(︱a︱+︱b︱)
1. 把一种不小于10旳数记成a×10n 旳形式，其中a是整数数位只有一位旳数，这种记数法叫做科学记数法 .
2. 一种近似数，从左边第一种不是0 旳数字起到，到精确到旳数位止，所有旳数字，都叫做这个数旳有效数字。
有理数旳五种运算
1.运算法则 2.运算顺序 3.运算律
1.运算法则
1）有理数加法法则 2）有理数减法法则 3）有理数乘法法则 4）有理数除法法则 5）有理数旳乘方
a
2）0没有倒数；
3）若a与b互为倒数，则ab=1.
例：下列各数，哪两个数互为倒数？
8， 1 ，-1，+（-8），1， ( 1)
8
8
6.绝对值
一种数a旳绝对值就是数轴上

名师介绍：初中联赛名师（税老师、谢三角、徐函数）

名师介绍：初中联赛名师（税⽼师、谢三⾓、徐函数）
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税德仲⽼师毕业于四川⼤学，中学特级教师，中国数学学会会员，彭州市有突出贡献拔尖⼈才。

他喜爱数学、热爱学⽣，长期从事数学教学、教师培训⼯作，⼀段时间以来多次到校深⼊课堂，指导青年教师。

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中考数学总复习资料大全(精华版)

中考数学总复习资料大全第一章实数★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 1．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：实数无理数(无限不循环小数)0 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数0 实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数│a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0)-a(a<0)│a │=几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算 1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷51×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第七章图形变化微专题(十五)无刻度直尺作图

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数学
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解：(1)如图①,点F即为所求. (2)如图②,点G即为所求. (3)如图③,点H,H′即为所求.
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数学
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【方法归纳】三角形中,已知两边中点： (1)画第三边中点时,一般运用“三角形三条中线交于一点”； (2)画某条中位线的中点时,先确定该中位线对应的底边中线,根据相似三角形的性质,由底边中线与中位线的交点确定中点； (3)一般地,已知中位线,可由中位线直接得到比例为1∶2的线段,由中位线的性质可构造全等三角形,得到相等线段,也可由相似三角形的性质得到1∶3,1∶4的线段.
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【方法归纳】特殊四边形中,已知一边中点,由对称性画出其他三边的中点；将特殊四边形的四个中点呈“十字相连”,得到四个与原四边形相似的小的四边形,继续作这些小四边形的中点并呈“十字相连”,得到一个网格,每一个中点均是网格的格点,且该网格具有该特殊四边形的一切性质.
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AC与网格线的交点.先将点B绕
点E旋转180°得到点F,画出点F,
再在AC上画点G,使DG∥BC；
(2)在图②中,P是边AB上一点,∠BAC＝α.先将AB绕点A逆时针旋转2α,得到线
段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.
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解：(1)作图如图①所示. (2)作图如图②所示.
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解：(1)如图①,AP即为所求. (2)如图②,AG即为所求.
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5.(2022·武汉)如图是由小正方形组成的9×6网格,每个小正方形的顶点叫做格点.
△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过

中考数学知识点复习总复习资料大全(精华版)

（表为：x ≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数0 实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数│a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数)a(a≥0)-a(a<0)│a │=只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案

中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________；（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ，又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。

(名师整理)最新中考数学专题复习《一次函数的图象与性质》精品教案

中考数学人教版专题复习：一次函数的图象与性质考点考纲要求分值考向预测一次函数的图象与性质1. 理解函数、变量，正比例函数、一次函数定义；2. 掌握函数图象的性质，能够画出相应的函数图象；3. 掌握图象的运动变化规律，并能应用性质解决问题5～15分主要考查方向是自变量的取值范围，函数图象的性质，动点变化形成的图象，应用函数图象性质解决问题。

其中动点与图象问题难度较大一次函数1. 函数概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y 称为因变量，y是x的函数。

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。

提示：判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。

【方法指导】自变量的取值范围：（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；1（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。

【随堂练习】x中的自变量x的取值范围是（）（济宁）函数y=x1A. x≥0B. x≠﹣1C. x＞0D. x≥0且x≠﹣1答案：解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，解得x≥0，故选：A。

2. 一次函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

【重要提示】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，实际问题中要根据函数的实际意义来确定。

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数。

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(D )
1 A. x＋12
1 B. x－12
C. x＋12 D. x－12
3．计算：3ab2·ab＝___3_b____．
【归纳总结】
分式的加减分式的乘除分式的乘方
分式的混合运算
ba±ac＝__b_±_a_c___，ba±dc＝__b_c_±a_c_a_d_ ab×dc＝___ab_dc____，ab÷dc＝___ab_dc____
＝2（aa－＋11）·a＋1 1－（a＋（1a）－（1a）－21）
＝a－2 1－aa＋－11＝2－a－a－1 1＝1a－－a1＝－1.
[中考点金]
分式混合运算的顺序与实数混合运算的顺序相同：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．在这一过程中，应利用因式分解、通分、约分等手段将复杂的分式化简为简单的分式或整式．
3．若分式xx－＋12的值为零，则 x 的值是___1_____．
第3讲┃ 分式
【归纳总结】
1．如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有__字__母____，那么式子AB叫做分式．
2．当__B_≠__0___时，分式BA才有意义． 3．当__A_＝___0__且___B_≠__0__时，分式BA的值为 0.
( A)
3．先化简，再求值：1－x－1 1÷x2－x2－4x＋ 1 4，其中 x＝3. 解：原式＝x－x－1－1 1÷（x＋（1x）－（2）x－2 1）＝xx－－12·（x＋（1x）－（2）x－2 1）＝xx－＋21. 当 x＝3 时，原式＝33＋－12＝4.
解：选择 x2－1 为分子，x2＋2x＋1 为分母，组成分式 x2＋x2－2x1＋1.化简结果为xx－＋11.当 x＝2 时，值为13.(答案不唯一)

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二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想，但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取，这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误．故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交点旳坐标为（-3，-4）．故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题

(名师整理)最新中考数学专题复习《四边形及相似形》精品教案

中考数学人教版专题复习：四边形及相似形一、教学内容四边形及相似形二、重点、难点（一）四边形1.多边形在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的性质：（1）n边形的内角和等于；（2）任意多边形的外角和等于360°；※（3）n边形的对角线的条数等于.2.四边形的分类3.平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：1（1）两组对边分别平行且相等；（2）两组对角分别相等；（3）两条对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的判定：（1）根据平行四边形的定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）两条对角线相等；（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线.矩形的判定：（1）根据矩形的定义判定；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形.5.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边都相等；（3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线.菱形的判定：（1）根据菱形的定义判定；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.6.正方形有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形.7.梯形及等腰梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高.连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性质：3（1）同一底上的两角相等；（2）两条对角线相等.等腰梯形的判定：（1）依据等腰梯形的定义判定；（2）同一底上两角相等的梯形是等腰梯形.※（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.8.中心对称与中心对称图形把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称.这个点叫做对称中心.两个图形关于点对称也称中心对称.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；由中心对称的性质可以认识中心对称图形的性质.9.平行线等分线段定理及其推论.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.10.简单平面图形的面积（1）三角形的面积公式三角形的面积等于它的底与高的积的一半.等底等高的两个三角形等积；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两4个三角形的面积比等于相应高的比.（2）平行四边形的面积等于一边与这边上的高的积.（3）矩形的面积等于两条邻边的乘积.（4）菱形的面积等于一边与这边上的高的积，也等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半.（6）梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半；或等于梯形中位线与高的积.（7）多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和.11.几何作图（1）作一图形关于某一点的对称图形；（2）任意等分已知线段；（3）依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形.（二）相似形比例线段：1.成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比.如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a、b、c、d叫做成比例线段，记作，其中叫做比的前项，b、d叫做比的后项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.若，则称b是a、c的比例中项.2.比例的性质成比例的数具有下面的性质：5（1）基本性质：；（2）反比性质：；（3）更比性质：；（4）合比性质：；（5）等比性质：，k为正整数，且，.3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.4.平行线分线段成比例定理推论的逆定理：如果一条直线截三角线两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角线的第三边.5.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似三角形：1.相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）（1）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即“两角对应相等，两三角形相似”.6（3）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”.（4）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即“三边对应成比例，两三角形相似”.对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.3.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；※（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.（注：新教材删去）4.直角三角形中的成比例线段在则（1）；（2）；（注：用时要证明.）（3）；（注：用时要证明.）（4）※5.相似多边形（注：“人教社”新教材删去.）如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：7（1）相似多边形的对应角相等；（2）相似多边形的对应边成比例；（3）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形周长的比等于相似比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方（6）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.【典型例题】例1.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且BE=DF，EF 交AC于点O.求证：AC、EF互相平分于O点.分析：若连结AE、CF，只要证四边形AECF是平行四边形即证：.而它可由推出.例2.如图所示，在△ABC中，，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC 的延长线上，.（1）求证：四边形DECF是平行四边形；8（2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长.分析：（1）由已知，不难得出，因此，关键是证，只要证出ED垂直平分AC于D，便可推出，从而有.就可根据平行四边形的定义证四边形ECFD是平行四边形.（2）可推出四边形EBFD为等腰梯形.因为所以可设可推出有解得：例3.如图所示，矩形ABCD中，，P是AD上的动点，，，试问的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.解：的值为定值9例4.如图所示，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE.求证：（1）；（2）四边形CDEF为平行四边形.证明：（1）∵△ABC为等边三角形（2）∵△AED为等边三角形10∴四边形CDEF为平行四边形.例5.如图所示，已知菱形ABCD中，对角线，边长，BC边上的高，菱形面积=S，若，求a，h及.略解：在Rt△AOB中，AO=5，BO=12由勾股定理可得：AB=13，即a=13说明：此例强调了菱形的两个面积公式的互相转化，强调了菱形中的线段与角之间的内在11联系.例6.如图所示，在矩形纸片ABCD的AB边上取一点E，使BE：EA=5：3，，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD上，设这个点为F，求AB、BC的长.解：由已知，，可得设在例7.如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7cm，对角线，，求梯形的面积.12分析：欲求此梯形的面积，只要求它的高.作交CD延长线于K.由已知可得，则，而说明：在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法.已知梯形对角线垂直时，常过梯形一顶点平移一条对角线.例8.如图1所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O图113（1）在AC上取一点E，作于G，交BD于F，求证：；（2）若在AC的延长线上取一点E，作直线BE于G，交DB延长线于F（如图2所示），这时结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请作图并给出证明，如果不成立，请说明理由.图2分析：（1）欲证OE=OF，只要证.因为四边形ABCD为正方形所以∠=∠==∠=-∠=∠9090°，，°AOB BOE AO BO AFO FAO BEO由此可证出可得.（2）若E点在AC的延长线上，这个结论仍能成立.也可由证出.例9.已知：，求.解：由已知再由等比性质得即例10.已知：的值.14解：设，则解得：例11.如图所示，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长.解：∵BD、CE分别是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点想一想：如图所示，若连结ED，如何求GH？15例12.如图所示，△ABC中，AD是角平分线，求证：.分析：为了构造平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，可视C点为△ABD 的BD边延长线上一点.作CE//AB，交AD延长线于E，则，.又，得，推出.说明：此题介绍了三角形内角平分线的一个性质，即“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.例13.如图所示，△ABC中，BD是角平分线，DE//AB，AB=5，BE=3，求BC的值.解：16例14.如图所示，在△ABC中，，E为AC边中点，ED、AB 的延长线交于点F.求证：（1）AB：AC=BD：AD；（2）；（3）.分析：（1）由（2）因是△FAD和△FDB的公共角，欲证，只要证.这可由中，、E是AC的中点推出，即（3）由（2）中的，得17由（1）中的，可推出.说明：对于待证的四条成比例线段，首先要看它们所在的两个三角形能否相似，如果不能相似，需通过“中间比”进行等量代换.利用两组角对应相等，是证明两个三角形相似首选的基本方法.例15.如图所示，已知中，AB=AC，AD是BC边上的中线，，BF交AD 于P，交AC于E点求证：.分析：为了把共线的三条线段BP、PE、PF转化为不共线的，可利用等腰三角形是轴对称图形这一性质.连结PC，因为AD是等腰△ABC底边上的中线，所以它也垂直平分BC，可推出PC=PB、.由CF//BA，又可得到所以，而立即推出从而，即18例16.如图所示，△ABC中，，求证：.分析：欲证，只要证.而是这两个三角形的公共角，只需证.在中，则.同理可证：可得即，从而问题解决.例17.如图所示，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在19直线交于点E.探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？解：可分成三种情形分别作答：（1）如图1所示，若另一条直角边与AD交于点E，则.图1证明：当点P位于CD的中点时，如图2所示，则.图220又∴△PDE与△BCP的周长比是1：2.（2）如图3所示，若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证或.图3当点P位于CD的中点时，如图4所示，△PCE与△BCP的周长比是1：2；图4由于，因此△BPE与△BCP的周长比是.（3）如图5所示，若另一条直角边与BA的延长线交于E点，同理可证：.图521当点P位于CD的中点时，如图6所示，由于，因此△EPB与△BCP的周长比为.图6说明：根据需要对研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后即得问题的答案.在复习中要充分重视“分类讨论”这一数学思想方法的运用.解答问题时，要考虑到可能出现的各种情况.为此，请想一想下面这个问题应怎么解？已知：矩形ABCD中，M是BC的三等分点，若，求D点到AM 的距离.【模拟试题】（答题时间：80分钟）【自我检测1】一、填空题1.两条对角线互相平分的四边形是____________________；2.两条对角线_________________的四边形是菱形；3.两条对角线_________________的四边形是矩形；4.两条对角线_________________的四边形是正方形；5.顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是_________________；6.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是_____________；227.顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是_________________；8.四边形四个内角的比是1：2：3：4，那么这四个角的度数分别是___________；9.一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是______________；10.平行四边形两邻边长分别为6cm和8cm，夹角为60°，它的面积为_________；11.一个平行四边形被分成面积为的四个小平行四边形（如图所示），当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，与的大小关系为_____；12.如图所示，△ABC中有菱形AMPN，如果，则____________.13.矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所交锐角的度数为_________；【自我检测2】一、判断题（1）有一个锐角相等的两个Rt△相似.（）（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）（3）顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似.（）（4）一个等腰三角形的两边和另一个等腰三角形的两边成比例，则这两个三角形相似.（）23（5）两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似.（）（6）斜边和一条直角边分别是2和的与斜边和一条直角边长分别是和的相似.（）二、填空题（1）如图所示，已知，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是_____________________.※（2）在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点.以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的5×5的方格纸中，作以A、B、C为顶点的格点三角形和△OAB相似（相似比不能为1），则C点的坐标是________________.※（3）如图所示，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，若在此网格内画出一个与△ABC相似且面积最大的三角形，则的面积是___________.24（4）如图所示，△ABC中，若AB=AC，BD平分，则AD=______=_______，__________，___________.当AC=10时，BC=__________.（5）如图所示，△ABC中，则∽_______∽______，AD：_______=________：BC，_________，AD·DC=________，____________，AC·BD=___________.若AD=5，BC=6，则CD=_______.（6）已知：如图所示，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则图中有_________对相似三角形.三、解答题1.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F.求证：BC·CD=CF·AE.252.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，DEFG是△ABC的内接正方形.求证：EF2=AE·FB.3.如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F.求证：AE：ED=2AF：FB.4.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F.求证：CD2=DE·DF.5.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE.F为AE 上一点，且∠BFE=∠C.（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；26（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长.（计算结果可含根号）6.如图所示，延长正方形ABCD的AB边至E，连结EC、DE，DE交BC于F，FM//BE交EC于M，求证：FB=FM.7.正方形ABCD中，边长AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足.（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.8.如图所示，菱形ABCD中，E、M分别是AB、CD边的中点，F是BC上一点，且BF：FC=1：3.（1）求EF：AM；（2）若菱形ABCD的面积为S，求△EBF的面积.27【试题答案】【自我检测1】一、填空题1.平行四边形2.互相垂直平分3.互相平分且相等4.互相垂直平分且相等5.平行四边形6.矩形7.菱形8. 36°、72°、108°、144°9.十10.11.12.13. 80°【自我检测2】一、判断题（1）√（2）× （3）√（4）× （5）× （6）√二、填空题（1）或或；28（2）（4，4）或（5，2）（3）的面积是5（平方单位）；（4）BD、BC，△BCD，DC·AC，；（5）△BDC、△ABC，AB、DB，AD·AC，BD2，BC2，AB·BC，4；（6）4对.三、解答题1.提示：由得，而可推出2.提示：由得，即而，可得.3.提示：过D点作DK//BA，交EC于K4.提示：证5.（1）略；（2）；（3）6.提示：由已知可得，推出7.（1）略；（2）（平方单位），（平方单位）298.提示：（1）先证得；（2）.30。

(名师整理)最新数学中考专题复习《圆与直角三角形》考点精讲精练课件

(1)求证：∠ABG＝2∠C； (2)若 GF＝3 3，GB＝6，求⊙O 的半径．
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OE，∵EG 是⊙O 的切线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB.∴∠A＝∠ OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C.∴∠A＝∠C.∵∠ ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°. ∴AE 是⊙O 的直径，AE 的中点是圆心 O. 如图，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA. ∵AD 平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA. ∴OD∥AC. ∴∠BDO＝∠ACB＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)先根据勾股定理求出 OE，OD，AD 的长，证明 Rt△AOD∽Rt △ACB，得出比例线段即可求出 AC 的长．
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切，点 C 是⊙O 的半径， ∴OC⊥CE. ∴∠OCA＋∠ACE＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠ACE＋∠A＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°. ∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°. ∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
图1
图2
备用图
课后精练
解：(1)∵OD⊥AC，
∴
，∠AFO＝90°.
又∵AC＝BD，∴
，
即
.
∴
.∴
.
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝BO＝1.
∴AF＝AO·sin∠AOF＝1×23＝ 23.则 AC＝2AF＝ 3.
课后精练
(2)如图，连接 BC，∵AB 为直径，OD⊥AC，∴∠AFO ＝∠ C＝90°.∴ OD∥BC.∴ ∠ D＝ ∠EBC.∵ DE＝ BE， ∠ DEF ＝ ∠BEC，∴△DEF≌△BEC(ASA)．∴BC＝DF，EC＝EF.又 ∵AO＝OB，∴OF 是△ABC 的中位线．设 OF＝t，则 BC＝

(名师整理)最新数学中考专题复习《垂径定理》考点精讲精练课件

学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道什么
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②如图，连接 BC.∵BD∥CF，∴BFCE＝OOCE＝OOBF.∵BE＝2， OE＝32，R＝52，∴CF＝130，OF＝265.∴AF＝OF＋OA＝230.在 Rt△BCE 中，CE＝1，BE＝2，∴BC＝ CE2＋BE2＝ 5.∵AB
是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC＝ AB2－BC2＝2 5.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴C 是的中点． ∴OC⊥BD.∴BE＝DE. ∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠AFC＝∠ABD. ∴BD∥CF. ∴OC⊥CF. ∵OC 是半径，∴CF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)①设 OC＝R.∵DE＝2CE＝2，∴BE＝DE＝2，CE＝1.∴OE＝R－1.在 Rt△OBE 中，(R－1)2＋22＝R2，解得 R＝52.∴OE＝52－1＝32.由(1)得，OA＝OB， BE＝DE，∴AD＝2OE＝3.
课堂精讲
【解】(1)∵DF 过圆心，且 AF＝BF，∴DF⊥AB，
.
∴∠ACD＝∠EAD.又∠ADC＝∠EDA，∴△DAC∽△DEA. (2)连接 OA，如图，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFE＝90°.
在 Rt△AOF 中，OA＝OD＝3，AF＝ 5，根据勾股定理，得 OF
＝ OA2－AF2＝2，∴DF＝OD＋OF＝3＋2＝5.在 Rt△ADF 中，AF＝ 5，DF＝5，
根据勾股定理，得 DA＝ AF2＋DF2＝ 30.又 EF＝FB＋BE＝FB＋AB＝3 5，AE
＝AF＋EF＝4 5.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 DE＝ EF2＋DF2＝ 70，

(名师整理)最新中考数学专题复习《位似图形和相似三角形的应用》精品教案

1中考数学人教版专题复习：位似图形和相似三角形的应用一、教学内容位似图形和相似三角形的应用1. 了解位似图形的概念、画法和性质.2. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度或宽度.3. 能利用位似图形和相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.二、知识要点1. 位似图形（1）定义：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比.ABC DEA'B'C'D'E'（2）画法：画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：①位似中心在图形的一侧；②两个图形分居在位似中心的两侧；③位似中心在两个图形的内部.OADC BC'D'A'B'ABCDA'B'C'D'O A BC DA'B'C'D'O22. 测量物体的高度（1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆三、重点难点本讲重点是位似图形的概念和性质、相似三角形的应用. 难点是应用相似三角形解决实际问题.四、考点分析从历届中考题来看，相似形在中考中的位置越来越重要，试题分值也逐渐增加，特别是相似三角形的判定和性质的应用，在解答题中出现的频率较高，近两年来，相似形在实际生活中的应用性问题也开始出现.3【典型例题】例1. 如图所示，试回答下列问题，并说明理由.（1）分别在△ABC 的边AB 、AC 上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了；（2）分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了？ABCDE ABCED(1) (2)分析：解答此题的关键是正确理解位似图形的定义，即（1）必须是相似图形；（2）所有对应顶点的连线都经过同一点. 这两条缺一不可. 若再要判定是放大了还是缩小了，就看位似比是大于1还是小于1就行了.解：（1）是，缩小了. 理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A ，位似比AD AB ＜1.（2）是，无法确定放大还是缩小，理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A . 但ADAB 的值可能大于1，也可能小于1，无法确定.例2. 如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中心的位似四边形A'B'C'D'.（1）沿OA 方向放大为原图形的2倍；（2）沿AO 方向放大为原图形的2倍.ABC DO分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2∶1，而（1）问是沿OA方向，即从O点向A点的方向，而（2）问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大.解：如图1所示.①连接OA，并延长OA到A'，使AA'＝OA；②连接OB，并延长OB到B'，使BB'＝OB；③连接OC，并延长OC到C'，使CC'＝OC；④连接OD，并延长OD到D'，使DD'＝OD；⑤连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.A'B'C'D'A BC DO图1（2）如图2所示.①连接AO，并延长AO到A'，使OA'＝2OA；②连接OB、OC、OD，并延长BO、CO、DO到B'、C'、D'，使OB'＝2OB，OC'＝2OC，OD'＝2OD.③连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形AB CD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.45A'B'C'D'图2ABC DO例3. 如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙1.60m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（）A . 3.85mB . 4.00mC . 4.40mD . 4.50mABCD E分析：找出图中的相似三角形，列出相应的比例式AD AB ＝DEBC ，代入求值即可. BC ＝1.6m ，DE ＝1.4m ，DE ∥BC ，BD ＝0.55m ，设AB ＝x m ，则AD ＝（x －0.55）m . 由△ADE ∽△ABC ，可得AD AB ＝DEBC ，即x －0.55x ＝1.41.6，解得x ＝4.40，故选C . 解：C例4. 如图所示，小明为了测量一高楼MN 的高度，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度. （精确到0.1m ）ABCMN分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA 与△MNA 的相似关系就明确了.6解：因为BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∠BAC ＝∠MAN ，所以△BCA ∽△MNA ，所以MN BC ＝ANAC ，即MN ∶1.6＝20∶1.5，所以MN ＝1.6×20÷1.5≈21.3（m ）.评析：这是一道实际应用题，利用了两角对应相等的两个三角形相似，且相似三角形对应边成比例.例5. 一条河的两岸是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有4棵树，则河宽是多少米？分析：先按题意画图，如图所示，可得AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，由题意可知△ADE ∽△ACB ，从而AD AC ＝DECB ，可求河宽.ABCDE解：如图所示，AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，CB 、DE 表示互相平行的河两岸，AD ⊥DE ，图中CB 、DE 两端的点表示树木，本题求DC 的长，因为DE ∥CB ，所以△ADE ∽△ACB .所以AD AC ＝DE CB ，即AD AD ＋DC ＝DE CB ，则1616＋CD ＝2050，解得CD ＝24（m ），所以河宽为24m .评析：有关测量问题的计算，要应用相似三角形的性质——相似三角形的对应边成比例，这是解决实际问题的重要方法之一.【方法总结】71. 关于位似图形和相似图形：①位似图形一定是相似图形；②两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫做位似图形；③位似比即相似形的相似比；④位似图形具有相似形的性质.2. 能够把实际问题转化成数学问题，利用影长计算或测量时，注意同一时刻：物体的实际高度影长＝被测物体的实际高度被测物体的影长.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图所示，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是（）ABCDEFG HMNA . 2DE ＝3MNB . 3DE ＝2MNC . 3∠A ＝2∠FD . 2∠A ＝3∠F 2. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A . 点PB . 点OC . 点MD . 点NPO MN3. 小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A . 0.5mB . 0.55mC . 0.6mD . 2.2m4. 如图所示，身高为1.6m 的某学生测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走8去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2m ，CA ＝0.8m ，则树的高度为（）ABE DA . 4.8mB . 6.4mC . 8mD . 10m*5. 下列命题中真命题的个数是（） ①两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC 与△A'B'C'中，AB A'B'＝ACA'C'，∠A ＝∠A'，那么△ABC ∽△A'B'C'； ④已知△ABC 及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5. A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个*6. 如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（）xyA . （－a ，－2b ）B . （－2a ，－b ）C . （－2a ，－2b ）D . （－2b ，－2a ）二、填空题91. 如图，△ABC 与△A ’B ’C ’是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________.19876543210119876543211011O A'B'C'A B C yx2. 要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ∶BC ＝5∶4，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上（如图所示），量得DE 的长为30m ，则AB 的距离为__________m .ABCDEF3. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为__________米（精确到0.1米）.EDCB4. 如图，火焰的光线穿过小孔O ，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为4.5cm ，OA ＝16cm ，OD ＝48cm ，那么火焰的高度是__________cm .10*5. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆. 小丽站在离南岸岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米.**6. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________.ABCDO E FGx y三、解答题1. 如图所示，把图（1）中的图形在图（2）中放大（形状完全一样）.（1）（2）2.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.OABCD3.用一桶农药给果树防虫，桶高0.7米，桶内有一斜放的木棒，一端在桶底，另一端恰好在桶盖小口处，抽出木棒量得木棒的总长为1米，上面浸有农药部分长0.7米，你能求出桶内药液的高度是多少吗？4.如图所示，小明手拿一把刻有厘米刻度的尺子，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺子上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长60cm，求电线杆的高度.**5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ACQ1112【试题答案】一、选择题1. B2. A3. A4. C5. C6. C二、填空题1.（9，0）2. 243. 5.64. 1.55. 22.56.（1，0）或（－5，－2）三、解答题1.如图所示：2.下图中的A’B’C’D’就是所求.OABCD B'D'3.设桶内药液高度为x米，则0.7－x0.7＝1－0.71，解得x＝0.49米4.设电线杆的高度为x米，则603000＝12x，解得x＝600（cm）＝6（米）5.（1）狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板P端按到底时可得到R t△PHQ，∵点A是PQ的中点，∴△PAB∽△PQH，且相似比是1∶2，AB＝1.2（米）∴QH＝2.4＞2（米）.13（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝13PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，△PAB∽△PQH，∴QH＝3AH＝3.6（米）.14。

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