三角形全等之动点问题(习题及答案)

三角形全等之动点问题（习题）

➢ 例题示范

例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．

【思路分析】

1．研究背景图形，标注

四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段

①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．

0≤t ≤6

D

C

(2/s) P ：

②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式

①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，

P

D

C

B

A

此时AP =2t ，AD =4，

1

2ADP S AD AP =⋅⋅△，

即1

6422t =⋅⋅，

3

2t =，符合题意．

②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，

P D

C B

A

A B

C

D

A

B

C

D

P D

C

B A

此时11

44822

ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，

不符合题意，舍去．

③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，

P

A

B C

D

此时DP =12-2t ，AD =4，

1

2ADP S AD DP =⋅⋅△，

即1

64(122)2t =⋅⋅-，

9

2

t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或9

2

时，△ADP 的面积为6．

➢ 巩固练习

1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，

A

P

B D C

且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．

2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1

个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动

点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点

P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，

交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何

值时，△PBE≌△QBE．

3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB

上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设

C

Q

B

E

P

A D

Q

C B

D

A

点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．

4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，

点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP

是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少

时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？

5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接

DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．

（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．

（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

➢思考小结

1.动点问题的处理方法：

①______________________；

②______________________，________；

③______________________，________．

2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：

①起点、________、__________；

②_________________________；

③根据_____________分段；

④所求目标．

3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的

问题来进行考虑，动点问题也是如此．

具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．

【参考答案】

1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC

2.当x为8

3

秒时，△PBE≌△QBE