薛定谔方程

1932 诺贝尔物理学奖
W.海森堡 创立量子力学 并导致氢的同素异形的
发现
1
1933 诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 量子力学的广
泛发展
2
3
一 波函数
‘波函数’是什么？
光波 波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2
微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I N
波动：电子波的强度 I 2 （波函数模的平方） 物质波
两个特解:
i px
1 e
2

e

i
p
x
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解:
1 ( x, t )
1(x)
f
(t)

i
Ae
p
x
ei
Et
Aeik x ei t Aei(tk x) 沿 + x 方向的平面单色波
2 (x,t)

2 (x)
f
(t)
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律.
（而不是几率的相加律）
13
二 薛定谔方程
1926年，奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961） 得出的方程称为薛定格方程。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖。
贡献：量子力学找到微观粒子在不 同条件下的波函数的方法，归结为 求各种条件下薛定格方程的解。
sin(na
x)
——本征函数
En

k22 2m

n2
22
2ma 2
(n 1,2,)
——能量本征值
26
2. 一维无限深方势阱中粒子运动特点：
（1）能量是量子化的
量子数
En

n2
22
2ma 2
(n 1,2,)
这是解薛定谔方程得到的 必然结果，不是玻尔理论
每一能量值对应一个能级
可把能量看成连续，回到了经典理论
27
对不同的 n可得粒子的能级图
En

n2
22
2ma2
(n1,2,)
E

(2n

1)
22 2ma 2
n, E
当 n 时
E
En

2n n2
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子……
1 e2 U
4 0 r
这时波函数 （r，t）可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
2 2 U(r) E
2m
i Et
f (t) Ae
19
最简单的例子：介绍量子力学处理问题的最基本方
(a) 0 Asin(ka) B cos(ka) 0(2)
由（1）可得： B 0 (x) Asin kx
由（2）可得： Asin(ka) 0
A0
sinka 0
ka n
k n (n 1,2,3,) 注意：n 0 !若n0, k 0, (x) 0
中的人为假设。
相邻两能级的间隔：
1 me4
En n2 ( 8 20 h2 )
22 E (2n 1) 2ma 2
n , E a , E
n 1,2,3
当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著
当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著，
0 U( x)
0 x a x 0, x a
分析： 这种势场表示粒子可以
在势阱中运动，但不能越出势阱， 因为x 0 ,x a 区域的势能 为无穷大。
（这是一个理想化的模型）
区 区 2区2
d 2 2m (E U ) 0
dx2 2
（定态问题）
微粒：I N（电子数）W （单个电子在该处出现的几率）
w 2 *
2与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
波函数又称为几率波
4
物质波既然是波, 就要有波函数. 由经典物理学可知：单色平面简谐波波动方程：
y(x,t) Acos 2 (t x )
y( x, t )
dP (r, t) 2 dV *(r, t)(r, t)dV
波函数(x,t)本身无物理解释. 但| |2= *有物理意义.
波函数的平方表征了t 时刻，粒子在空间r处出现的概 率（密度）
6
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！ 几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个 粒子的单次过程.

t


i
E
E p2 2m
i
t

2 2m

2 x 2
（2）粒子处在外场中的薛定谔方程 在外力场中粒子的总能量为： E 1 p2 U(r, t)
2m 15
2
x 2


p2 2

i E
t
i
t


2 2m

2 x 2
(r,t) 2……称为“几率密度”或“几率”
若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2···， 则 它们的线性组合=C11,+C22+··· 也是该体系的一个 可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。
理解：波函数和微粒的波粒二象性
弱电子流衍射实验
电子双缝衍射实验
9
1）1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非 常精确的弱电子流衍射实验．
状态为 1 + 2, 几率分布为 1 + 22
电子枪
1 2
I1+ I2 分布
双缝干涉 分布
电子有粒子性，一个电子只能从一个缝通过； 电子有波动性，其状态服从叠加原理.
12
因为状态叠加
C11 C2 2
处于两态的几率分别为： W1 | C11 |2 , W2 | C2 2 |2
d x2

2mE 2
(
x)

0
令k 2

2mE 2
d 2
dx2

k 2

0
其通解为：(x) Asinkx Bcoskx
23
(x) Asin kx B coskx
k 2mE
式中 A、 B、 k可用边界条件、归一化条件确定
根据边界条件
(0)0 Asin(0) B cos(0) 0(1)
i
t

2 2m

2 x 2
i
(r , t) [
2
2

U
(r ,
t
)]
(r, t)
t
2m
14
（1）一维自由粒子的薛定谔方程
一维自由粒子的波函数
i ( Et px )
( x,t ) 0e
2
x 2


p2 2

对于非相对论粒子
解：由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，为保
证波函数有限的物理条件，显然在区域
x0, xa中
Ⅰ(x) 0 Ⅲ (x) 0
(0) 0 (a) 0
区 区 区
在II区域 0 x a中， U(x)＝0，粒子的定态 薛定谔方程为：
d 2 ( x)
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大
7
波函数的性质
1）波函数具有归一性
粒子在整个空间出现的几率：W dw

2
dV
1
2）单值性：
V
3）连续性
波函数的标准化条件
2
e
i
Et
2


(r)
2
粒子在空间出现的几率密度
几率密度与时间无关，波函数描述的是定态
2 2 U(r) E
2m
定态薛定谔方程
定态波函数
粒子在一维势场中
d2 dx 2

(
x
)
2m 2
(
E
V
)
(
x
)
0
18
定态
微观粒子的势能函数 U 与时间t无关的
稳定的势场问题，例如

Aei2 (t x
)
只取实部
( x,t ) 0 区别于经典波动

(
x,
t
)


e i 2
0
(t x

)
h p E h

(
x
,t
)


e
i
(
0
Et
px
)
其中 h
5 2
波函数的统计解释
实物粒子的德布罗意波是一种概率波
t时刻，粒子在空间某处发现一个实物粒子的概率同波 函数平方成正比 t时刻在r附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现 一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子 增多，逐渐形成双缝衍射图样。
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率， 衍射图样是大量电子出现几率的统计结果。
实验原理
衍射图象 10
2）电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性（进一步理解波函数）。
双缝同时打开时，电子的几率分布为：W 2
W C121*1 C22 2* 2 C1C2 (1* 2 2*1)
W1 W2 C1C2 (1* 2 2*1)
第三项称为相干项。
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果 的不确定性，出现了干涉图样。

U
E 1 p2 U(r, t) 2m
薛定谔方程
i
(r , t) [
2

2

U
(r ,
t
)]
(r, t)
t
2m
拉普拉斯算符
哈密顿量算符
2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
势场中的薛定谔方程
Hˆ

2
2 U(r,t)
2m
i
(r,t)
2 2m

2
(r)

U
(r)
(r)
只是时间的函数 只是空间坐标的函数 17
令
i 1 f E f t
i Et
f (t) Ae
A 是待定复常数， E 有能量量 纲,以后可知是粒子的总能量
(r
,
t
)


(r
)e

i
Et
(r, t)
2


(r)
a
这样的波函数不满足归一化条件! 24
k n (n 1,2,3,)
a
‘ k ’是什么？
已知：
(x) Asin kx
k 2mE
k2

2mE 2
k n
a
En

k22 2m

n2
22
2ma 2
(n 1,2,)
——能量本征值
而方程的解为： ( x)
Asin
法，并得出一些重要的结论。
求一维自由运动微观粒子的波函数。
电子枪
晶体
衍
射
K
自由运动区
屏
A
U=0
自由粒子的定态薛定格方程为
2 2 U(r) E
2m
d 2
dx2

2m 2
E

0
二阶常系数常微分方程
20
d 2
dx2

2m 2
E

0
得
d 2
dx2

p2
2
0
令 2mE p2
n
a
x
(n 1,2,3,)
式中的A 可由归一化条件确定：


(
x)2dx

1

a
即：
A2 sin2 ( n
x)dx 1

A2
a
1
0
a
2
A
2 a
B0 25
薛定谔方程的解：
n( x)
0
2 a
sin(na
x)
势阱中粒子的波函数：
x0, xa
0 xa
(x)
2 a
单缝1使通过它的电
P1
子处于1态；单缝2
1
A 使其处于2态。
S
DP
2
P2
B
当双缝同时打开时，
一个电子同时处在
C11 C2 2
处于两态的几率分别为：
wk.baidu.com
| C11 |2
| C2 2 |2
1态和2态。双缝
同时诱导的状态是 它们的线性组合态。
11
只开缝1---强度分布为I1 (状态为1，几率分布为 12 ) 只开缝2---强度分布为I2 (状态为2，几率分布为 22 ) 同时开缝1,2---分布不是I1+ I2,而是双缝干涉分布。
4）有限性
波函数的统计解释（波恩诠释）
波函数本身并无物理意义，而波函数的 模的平方（波的强度）代表时刻t、在空间 r点处，微观粒子出现的几率，
（玻恩把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起 来）
1954年 玻恩获诺贝尔物8 理奖
5）状态叠加原理：
(r,t) 2 = (r,t)*(r,t)
(r,t)……称为“几率振幅” 或“状态”

Ae
i
p
x
e
i
Et
Aeik x ei t Aei(tk x) 沿 - x 方向的平面单色波 21
13-7 一维无限深方势阱
一.一维无限深势阱中粒子的波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运 动，即它的势能函数为:
Hˆ (r,t)
t
16
(3) 定态薛定谔方程
i (r,t) Hˆ (r,t)
t
如果势能函数不是时间的函数
Hˆ

2
2 U(r )
2m
用分离变量法将波函数写为：
(r, t) (r) f (t)
代入薛定谔方程得：
i
1 f
f t


1 (r)