薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
大学物理薛定谔方程
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x
大学物理 第二章 薛定谔方程
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
9-4薛定谔方程
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)
U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
计算材料学 薛定谔方程
计算材料学薛定谔方程计算材料学是一门涵盖材料科学、物理学和化学等学科的交叉学科，它通过计算机模拟，预测、优化和设计新的材料。
而薛定谔方程则是计算材料学中最基础且最核心的方程之一。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是研究微观粒子运动的基本方程，它描述的是粒子的波函数在空间中的演化过程。
波函数用于描述粒子在空间中的行为，包括位置和能量等信息。
薛定谔方程的数学描述形式为：HΨ=EΨ其中，H为哈密顿量，Ψ为波函数，E为能量。
该方程本质上是时间无关的薛定谔方程，是描述粒子在定态下的运动。
二、薛定谔方程在计算材料学中的应用薛定谔方程在计算材料学中应用非常广泛。
材料结构的稳定性和性质通常可以通过求解薛定谔方程来加以解释。
特别是对于具有复杂结构和较高运动速度的粒子，直接进行实验研究是非常困难的，而求解薛定谔方程则使得计算机模拟成为了一种非常有效的手段。
1. 晶体结构优化在计算材料学中，最常用的方法是优化能量。
优化能量可以得到材料体系内每个原子的最新坐标。
因此，通过求解薛定谔方程，可以对晶体结构进行优化设计，从而实现理性设计新型材料。
2. 电子结构计算薛定谔方程可以帮助研究者解释原子中的电子结构、物质的各种性质和反应，包括它们的磁性、电性和光性等。
通过计算材料学方法，可以用薛定谔方程解释某些化学反应的发生原因，以及这些反应如何影响材料的性质和性能。
三、结语薛定谔方程在计算材料学中扮演着重要的角色，它使得科学家们能够更好地理解和设计新材料。
通过计算机模拟，研究者可以以更加优化的方式研究材料结构、性质、反应等，为新一代材料的设计发展做出贡献。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)
第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。
· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。
P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。
(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。
薛定谔方程式
薛定谔方程式概述薛定谔方程式（Schrödinger equation）是量子力学的核心方程之一，描述了量子系统的时间演化。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程式的发现极大地推动了量子力学的发展，为人们理解微观世界的性质提供了重要工具。
薛定谔方程式在波动力学（wave mechanics）中得到了严格推导和解释。
它描述了一个不含外部力和电磁场的短程自由粒子或由简单势场所引起的粒子的行为。
对于多粒子系统，薛定谔方程式可以将多个粒子的波函数妥善地描述为一个整体波函数。
方程式的形式薛定谔方程式的一般形式如下所示：iℏ∂Ψ∂t=ĤΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数（等于普朗克常数除以2π），∂Ψ∂t表示波函数Ψ对时间t的偏导数，Ĥ是哈密顿算符（Hamiltonian operator），描述了系统的总能量。
薛定谔方程式是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化。
根据方程式的形式，可以看出波函数的时间导数与波函数自身之间存在一种深刻的关系，通过求解薛定谔方程式，我们可以获得系统的波函数，并从中得到系统的物理性质。
波函数的解释根据波函数的解释，波函数Ψ(x,t)是位置x和时间t的一个函数，它描述了粒子存在于不同位置时的概率振幅。
波函数的模方|Ψ(x,t)|2表示了在位置x处寻找粒子的概率密度。
量子力学的一般规则告诉我们，波函数的平方和在整个空间上积分应该等于1，即：∫|Ψ(x,t)|2∞−∞dx=1这表示粒子总是处于一定的状态中，而且它的位置在真实性上是不确定的，只有一定的概率存在于某个特定位置。
哈密顿算符在薛定谔方程式中，哈密顿算符Ĥ起着关键的作用，它对应着系统的总能量。
哈密顿算符的具体形式取决于所研究的系统的性质。
对于一个自由粒子，哈密顿算符可以写为：Ĥ=−ℏ22m∂2∂x2其中，m是粒子的质量。
对于一个粒子受势场影响的情况，哈密顿算符则需要加入相应的势能项。
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和性质的方程。
一般表达式为：
Hψ = Eψ
其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ = Eψ
其中，ħ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，E是粒子的能量。
在三维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * (∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²) + V(x, y, z)ψ = Eψ
其中，x、y、z是空间坐标，V(x, y, z)是势能函数，E是粒子的能量。
这些方程描述了波函数随时间和空间的变化，通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数以及与波函数相关的物理量，如能量、位置、动量等。
薛定谔方程
一. 粒子进入势垒
1.势函数 粒子从 x = - 处以能量 E 入射，
给定势函数（一维势垒）： U(x)
0 ，( x 0)
U(
x)
U0，( x
0)
入射能量 E <U0
势垒的物理模型：
入射 反射
U0
透射 ？
E
Ⅰ区 0 Ⅱ区 x
金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。 24
2. 定态薛定谔方程 I 区（x 0）：
1. 穿透系数
穿透系数
2a
Te
2m(U0 E )
a T
（U0 E） T
当 U0 E 5eV，势垒宽度 a 约50nm 以上时， 穿透系数会小6个数量级以上。此时隧道效应在
实际上已没有意义了，量子概念过渡到了经典。
29
2. 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子
31
三. 隧道效应的应用
隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，…
1. 核的 衰变
238U 234Th +4He
U
35MeV
库仑势能
E 4.25MeV 是通过 隧道效应出来的。
对不同的核，算出的 0 衰变概率和实验一致。
4.25MeV
R
r
核力势能
32
2. 扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）
0e
—自由粒子的波函数
E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。
一般情况下：
(r,
t
)
(r)
i Et
A0e
这种E 取定值的状态称定态（stationary state），
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程解析
薛定谔方程解析薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了量子体系的演化规律。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程在解释微观粒子的运动和性质方面起着重要的作用。
薛定谔方程是对量子体系的波函数进行数学描述的方程。
波函数是描述微观粒子行为的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。
薛定谔方程可以用来计算波函数在时间和空间上的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的左侧表示波函数随时间的变化率，右侧表示哈密顿算符作用在波函数上得到的结果。
哈密顿算符包含了粒子的动能和势能等信息。
薛定谔方程的解析解通常较为复杂，只有在一些特殊情况下才能得到解析解。
对于大多数真实的物理系统，需要采用数值方法求解薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数。
能级是粒子在不同能量状态下的取值，波函数则描述了粒子的位置和动量分布。
薛定谔方程的解析解在量子力学的发展中起到了重要的作用。
它为解释微观世界的现象提供了基础，例如描述原子和分子的结构和性质。
薛定谔方程的解析解还被应用于量子力学中的各种问题，如谐振子、氢原子等。
薛定谔方程的解析解还引发了一些深入的思考和讨论。
例如，波粒二象性的概念，即微观粒子既可以表现为粒子又可以表现为波动的性质。
波函数的坍缩和量子纠缠等现象也是基于薛定谔方程得到的。
薛定谔方程是量子力学中的一个重要方程，用于描述量子体系的演化规律。
它的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数，为解释微观世界的现象提供了基础。
薛定谔方程的发展和应用推动了量子力学的发展，对物理学和其他相关领域产生了深远的影响。
大学物理 薛定谔方程
说明 E:
——一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程
粒子能量 ; Ψ (x): 定态波函数 定态波函数. 概率密度在空间上的分布稳定. 概率密度在空间上的分布稳定
r r −i E t r 2 r 2 h Ψ(r , t ) =ψ (r )e ⇒ Ψ(r , t ) = ψ (r )
定态: 定态
3.波函数的标准条件： 波函数的标准条件： 波函数的标准条件
单值、连续、有限. 单值、连续、有限
4.波函数的性质： 波函数的性质： 波函数的性质
描写同一状态(C为常量 （1）ψ与 Cψ描写同一状态 为常量 ） 与 描写同一状态 为常量); 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 （2）|ψ|2 满足归一化条件 满足归一化条件: ）
P = ∫ ψn (x) dx = ∫
2 a 4 0 a 4 0
1 1 nπ 2 2 nπx sin sin dx = − 4 2π n 2 a a
a
n =1
n=∞
9 P= 1 100 25 P= 2 100
0
2 2 nπx ψn (x) = sin a a
2
0
a
（2）a/4 处的概率密度 ）
2 2 nπ a 2 2 nπ a ψn ( ) = sin ( ⋅ ) = sin 4 a a 4 a 4
Ψ (x)
n =4
当n很大时, 很大时, 很大时 量子概率分 布就接近经 典分布
n =3 n =2 n =1 a 0
0
a
3.一维无限深势阱粒子的驻波特征 3.一维无限深势阱粒子的驻波特征
E3 = 32 E1
E2 = 22 E1
E1
0
薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为和性质。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，被广泛应用于原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及其在量子力学研究和实际应用中的重要性。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的波动性质的基本方程。
它的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能量、动量、位置等物理量。
薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数的模的平方表示了粒子存在于不同位置的概率。
波函数的具体形式取决于体系的边界条件和势能场。
对于自由粒子，波函数可以用平面波表示；对于束缚态，波函数则由边界条件和势能场决定。
薛定谔方程的解可以通过数值计算或近似方法求得。
薛定谔方程在量子力学的研究中起着重要的作用。
它可以用来描述原子和分子的电子结构，解释化学反应的机理，预测材料的性质等。
在原子物理中，薛定谔方程被用来计算原子的能级和光谱线；在分子物理中，薛定谔方程可以用来研究分子的振动和转动；在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来描述电子在晶体中的行为和导电性质。
除了用于研究基本粒子和物质的性质，薛定谔方程还被应用于量子计算和量子通信等领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算方法，利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以在某些情况下比传统计算方法更高效。
薛定谔方程提供了描述量子比特（qubit）行为的数学工具，为量子计算的实现提供了理论基础。
此外，薛定谔方程还被应用于量子力学中的一些基本现象的研究，如量子隧穿效应、量子干涉和量子纠缠等。
这些现象在实验室中已经得到了验证，并且在量子信息科学和量子技术的发展中发挥着重要作用。
总之，薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的波动性质。
薛定谔方程
第二章dinger oSchr 方程 §2.1dinger oSchr 方程dinger oSchr 方程是非相对论量子力学的基本方程、是公设，正确性只能由它导出结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
已知无外场自由粒子波函数为()(),i p r Et r t Ceψ⋅-=由于22p E m=，这个(),r t ψ 表达式显然满足下面形式的波动方程()()2ˆ,,2r t p i r t t m ψψ∂=∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr 方程。
用一种简明的公设性程式——“一次量子化”方法直接“得到”这个方程：将非相对论经典物理学关于自由粒子能量等式22p E m=，按以下对应关系替换为量子算符（2.1a ） 将得到的算符方程作用到系统状态波函数(),r t ψ上即可。
若有外场()V r ，系统总能量为()22p E V r m=+。
采用“一次量子化”程式：（2.1b ） 将所得算符方程作用到波函数(),r t ψ上，就得到对应的量子系统的非相对论动力学方程━dinger oSchr 方程：(2.2)这里()()()()ˆˆ,,V r r t V r r t ψψ= ，通常记()()22ˆ22p V r V r H m m+=-∆+= ，称为此量子系统的哈密顿量算符。
这里指出四点：第一，全面写开，非相对论性量子系统的dinger oSchr 方程为(2.3) 其中()(),0r f r ψ=为给定的初始条件，根据需要再配以适当边界条件，组成一个完整的非相对论量子力学问题。
第二，“一次量子化”程式只是一种理解，不能当作严肃的逻辑论证。
虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是个独立的公设1，共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。
第三，对复杂经典系统，比如势V 中还含有动量p的情况，一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。
它们之间差别仅在于其中ˆr和ˆp 的排列顺序不同。
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
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Ae
i
p
x
e
i
Et
Aeik x ei t Aei(tk x) 沿 - x 方向的平面单色波 21
13-7 一维无限深方势阱
一.一维无限深势阱中粒子的波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运 动，即它的势能函数为:
微粒：I N（电子数）W （单个电子在该处出现的几率）
w 2 *
2与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
波函数又称为几率波
4
物质波既然是波, 就要有波函数. 由经典物理学可知：单色平面简谐波波动方程：
y(x,t) Acos 2 (t x )
y( x, t )
解：由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，为保
证波函数有限的物理条件，显然在区域
x0, xa中
Ⅰ(x) 0 Ⅲ (x) 0
(0) 0 (a) 0
区 区 区
在II区域 0 x a中， U(x)＝0，粒子的定态 薛定谔方程为：
d 2 ( x)
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大
7
波函数的性质
1）波函数具有归一性
粒子在整个空间出现的几率：W dw
2
dV
1
2）单值性：
V
3）连续性
波函数的标准化条件
双缝同时打开时，电子的几率分布为：W 2
W C121*1 C22 2* 2 C1C2 (1* 2 2*1)
W1 W2 C1C2 (1* 2 2*1)
第三项称为相干项。
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果 的不确定性，出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律.
（而不是几率的相加律）
13
二 薛定谔方程
1926年，奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961） 得出的方程称为薛定格方程。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖。
贡献：量子力学找到微观粒子在不 同条件下的波函数的方法，归结为 求各种条件下薛定格方程的解。
Aei2 (t x
)
只取实部
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t
)
e i 2
0
(t x
)
h p E h
(
x
,t
)
e
i
(
0
Et
px
)
其中 h
5 2
波函数的统计解释
实物粒子的德布罗意波是一种概率波
t时刻，粒子在空间某处发现一个实物粒子的概率同波 函数平方成正比 t时刻在r附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
两个特解:
i px
1 e
2
e
i
p
x
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解:
1 ( x, t )
1(x)
f
(t)
i
Ae
p
x
ei
Et
Aeik x ei t Aei(tk x) 沿 + x 方向的平面单色波
2 (x,t)
2 (x)
f
(t)
单缝1使通过它的电
P1
子处于1态；单缝2
1
A 使其处于2态。
S
DP
2
P2
B
当双缝同时打开时，
一个电子同时处在
C11 C2 2
处于两态的几率分别为：
| C11 |2
| C2 2 |2
1态和2态。双缝
同时诱导的状态是 它们的线性组合态。
11
只开缝1---强度分布为I1 (状态为1，几率分布为 12 ) 只开缝2---强度分布为I2 (状态为2，几率分布为 22 ) 同时开缝1,2---分布不是I1+ I2,而是双缝干涉分布。
电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现 一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子 增多，逐渐形成双缝衍射图样。
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率， 衍射图样是大量电子出现几率的统计结果。
实验原理
衍射图象 10
2）电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性（进一步理解波函数）。
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子……
1 e2 U
4 0 r
这时波函数 （r，t）可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
2 2 U(r) E
2m
i Et
f (t) Ae
19
最简单的例子：介绍量子力学处理问题的最基本方
状态为 1 + 2, 几率分布为 1 + 22
电子枪
1 2
I1+ I2 分布
双缝干涉 分布
电子有粒子性，一个电子只能从一个缝通过； 电子有波动性，其状态服从叠加原理.
12
因为状态叠加
C11 C2 2
处于两态的几率分别为： W1 | C11 |2 , W2 | C2 2 |2
i
t
2 2m
2 x 2
i
(r , t) [
2
2
U
(r ,
t
)]
(r, t)
t
2m
14
（1）一维自由粒子的薛定谔方程
一维自由粒子的波函数
i ( Et px )
( x,t ) 0e
2
x 2
p2 2
对于非相对论粒子
a
这样的波函数不满足归一化条件! 24
k n (n 1,2,3,)
a
‘ k ’是什么？
已知：
(x) Asin kx
k 2mE
k2
2mE 2
k n
a
En
k22 2m
n2
22
2ma 2
(n 1,2,)
——能量本征值
而方程的解为： ( x)
Asin
(a) 0 Asin(ka) B cos(ka) 0(2)
由（1）可得： B 0 (x) Asin kx
由（2）可得： Asin(ka) 0
A0
sinka 0
ka n
k n (n 1,2,3,) 注意：n 0 !若n0, k 0, (x) 0
d x2
2mE 2
(
x)
0
令k 2
2mE 2
d 2
dx2
k 2
0
其通解为：(x) Asinkx Bcoskx
23
(x) Asin kx B coskx
k 2mE
式中 A、 B、 k可用边界条件、归一化条件确定
根据边界条件
(0)0 Asin(0) B cos(0) 0(1)
n
a
x
(n 1,2,3,)
式中的A 可由归一化条件确定：
(
x)2dx
1
a
即：
A2 sin2 ( n
x)dx 1
A2
a
1
0
a
2
A
2 a
B0 25
薛定谔方程的解：
n( x)
0
2 a
sin(na
x)
势阱中粒子的波函数：
x0, xa
0 xa
(x)
2 a
中的人为假设。
相邻两能级的间隔：
1 me4
En n2 ( 8 20 h2 )
22 E (2n 1) 2ma 2
n , E a , E
n 1,2,3
当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著
当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著，
dP (r, t) 2 d无物理解释. 但| |2= *有物理意义.
波函数的平方表征了t 时刻，粒子在空间r处出现的概 率（密度）
6
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！ 几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个 粒子的单次过程.
Hˆ (r,t)
t
16
(3) 定态薛定谔方程
i (r,t) Hˆ (r,t)
t
如果势能函数不是时间的函数
Hˆ
2
2 U(r )
2m
用分离变量法将波函数写为：
(r, t) (r) f (t)
代入薛定谔方程得：
i
1 f
f t
1 (r)
1932 诺贝尔物理学奖
W.海森堡 创立量子力学 并导致氢的同素异形的
发现
1
1933 诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 量子力学的广
泛发展
2
3
一 波函数
‘波函数’是什么？
光波 波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2
微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I N