薛定谔方程及其应用

不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空间
概率密度分布取决于空间各
各点的波强的绝对值。
点波强的比例，并非取决于
因此，将波函数在空间各
波强的绝对值。
点的振幅同时增大 C倍，则
因此，将波函数在空间各
该处的能流密度增大 C2 倍， 变为另一种能流密度分布状
f (t) t
1 (r)
[
2 2m
2
(
r)
U
(r)
(r )]
E
17
i
1 f (t)
f (t) t
1 (r)
[
2 2m
2 (r)
U (r) (r)]
E
f (t)
i t
Ef (t ) （1）
2 2(r) U (r)(r) E(r)
2m
i Et
（2）
方程（1）的解为：f (t ) ce
2
３、波函数的统计解释 与光波类比，物质波的强度：
I | |2 正实数 *是 的共轭复数。
由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是 与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。
W | |2 某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子
的概率为： dW 2 dV *dV
由此可见，| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出
p0e
i
(x,t)
p( x, t)
Ae
2(x, t) x 2
(
ip h
)2
0e
i h
(
Et
px
)
p2 h2
( x, t )
②
p2
E 2m
③
比较以上三式，可得：i ( x, t ) t
2 2m
2( x, t ) x 2
④
12
i ( x, t) t
2 2m
2( x, t ) x 2
④
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
2）归一化条件
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任
意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以
应有：
| |2 dV 1
V
5
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
6
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
a
时，粒子出现的概率最大。因 为0<x<a，故得x=a/2，此处粒
粒子在0到a/2区域内出现的概率 子出现的概率最大。
8
二、薛定谔方程
9
经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
20
23.9 薛定谔方程的简单应用
一、一维无限深势阱
考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域 内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，
0 (0 x a)
U( x) ( x 0及x a)
U ( x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一维 无限深方势阱。
21.5 波函数 薛定谔方程
一 、波函数
1、经典的波与波函数
机械波
y(x,t) Acos2π (t x )
电磁波
E
(
x,
t
)
E0
cos
2π
(t
x
)
H
经典波为实函数
( x, t )
H0
cos2π (t
i 2π(t x
)
x
)
y(x,t) Re[ Ae
]
1
2、量子力学波函数（复函数）
自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动
三、定态薛定谔方程
定态：能量不随时间变化的状态。
如果粒子的势能并不随时间而变化，即： U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应 于粒子机械能守恒的情况）。
在这种情况下，可以用分离变量法把波函 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
(r, t) (r) f (t)
代入 i (r, t ) 2 2(r, t) U (r, t )(r, t )
2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为：
p2 E U(x,t)
2m
此时的薛定谔方程为：
( x, t) 2 2( x, t)
i t
2m
x 2
U( x, t)( x, t) ⑤
13
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为：
点的振幅同时增大 C倍，不影 响粒子的概率密度分布，即
态。
和C 所描述德布罗意波的状
态相同。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
7
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 的范围内，已知其波函数为：
x Asinx
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？
(
r)(r) E(r)
Hˆ
(r )
E
(r )
|
(
r,
t
)
|2
|
(
r )e
i
Et
|2
|
(
r)
|2
将
(
r,
t
)
(
r )e
i
Et
与自由粒子的波函数表达式
( x, t )
i ( Et px )
Ae
比较:
19
应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤： （1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应 的薛定谔方程； （2）用分离变量法求解波函数； （3）由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数； （4）求概率密度并讨论其物理意义。
n 很大时，相邻波腹靠得 很近，接近经典力学各处概 率相同。
（3）几率密度
粒子在势阱中的概率密度：
| ( x) |2 2 sin2 n x
aa
一维无限深方势阱中 粒子的能级、波函数
(x)
4 x
E4
3 x
E3
2 x
E2
1x E1
n+1个
o
x a 节点
稳定的驻波能级 27
一维无限深方势阱中粒子的
(r, t)
2 2(r, t ) 2(r, t ) 2(r, t )
i t
[ 2m
x 2
y 2
z2 ]
U(r , t)(r , t)
⑥
为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
则上式可写为：
i (r, t ) 2 2(r, t) U (r, t)(r, t )
( x, t ) Ae h
对时间求微商，得到：
( x, t) t
i
2
i ( Et px )
E0e
i E( x, t)
①
11
( x, t) t
i
i ( Et
E0e
px )
i E( x, t)
①
对 x 求二阶偏导：
i ( Et px )
( x, t) x
i
i ( Et px )
现的几率，称为几率密度。即： | |2
3
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来 说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计 规律。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于 波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统 计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
粒子的最低能量为零点能，即为n=1时的能量。
2 2
E1 2ma 2 0
这是微观粒子波粒二象
性的表现，“静止的波是没 有意义的”。
26
（2）波函数
n(x)
2 sin(nx ), n 1,2,3,
a a (0 x a)
粒子在势阱中的波函数很象
两端固定弦的驻波波形，波的 波长随能级的增高而缩短。
n(x)
2 sin( nx ),
aa
n 1,2,3,
(0 x a)
25
4. 讨论：（1）能级和能级间隔
由
k2
2m E 2
和
k
n
a
可得：
En
2 2
2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
结果说明：粒子被束缚在势阱中，能量只能取一 系列分立值，即它的能量是量子化的。
按经典力学观点，粒子在无限深势阱中运动时， 能量可以取任意值，是连续的。
4
４、波函数应满足的条件
1）标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几
率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 所以波函数还必须是连续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称
为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可 微，且一阶导数也连续可微。
过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 动量保持不变。
对应的德布罗意波的频率和波长： E , h
h
P
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。