小学六年级奥数 等积变形
小学六年级奥数-等积变形
小学六年级奥数等积变形（5）
【题目1】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BO：DO＝3：2，三角形ABC的面积是18，求三角形ACD的面积。
【题目2】如图，梯形ABCD的面积是64平方厘米，上底AD和下底BC的长度比是3：5，求三角形BOC的面积是多少平方厘米？
【题目3】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，E、F分别是AB、BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少平方厘米？
【题目4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC 的中点，求四边形BGHF的面积是多少平方厘米？
【题目5】如图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，BE＝2AE，BF：FC＝5：3，四边形ADGE的面积是多少平方厘米？
【题目6】如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABD的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC的面积。
【题目7】如图，如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABM的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC 的面积。
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
六年级奥数第3讲等积变形
六年级奥数第3讲等积变形
引言
本文档将介绍六年级奥数第3讲的等积变形。
通过本讲的研究，学生将能够更深入地理解等积变形的概念和方法，并能够应用于相
关问题的解决。
等积变形的定义
等积变形是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变形状、
角度或尺寸等方式进行变换的过程。
在等积变形中，图形的比例关
系和形状特征保持不变。
例题解析
以下是一些关于等积变形的例题解析，以帮助学生更好地理解
和掌握相关知识。
例题1
已知一个长方形的长为12cm，宽为8cm，将其等比例缩小为
原来的一半，请计算缩小后长方形的长和宽分别是多少？
解析：由于题目要求等比例缩小为原来的一半，可以将长和宽都除以2来计算。
因此，缩小后的长方形的长为6cm，宽为4cm。
例题2
一个三角形的底边长为10cm，高为8cm。
将该三角形的底边长保持不变，将高等比例放大为原来的2倍，请计算放大后三角形的高和面积分别是多少？
解析：根据等积变形的性质，底边长不变，高放大为原来的2倍意味着面积放大为原来的2倍。
因此，放大后三角形的高为
16cm，面积为80平方厘米。
总结
通过学习本讲的等积变形概念和例题解析，我们了解到等积变形是指在保持图形面积不变的前提下进行变换的过程。
在计算等积变形时，可以利用比例关系和形状特征来解决相关问题。
希望同学们通过本讲的学习，能够更熟练地运用等积变形的方法解决各类数学问题。
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
六年级奥数 第34讲 等积变形
30×20×24÷(40×30+30×20)＝8（厘米）。
7. 175.84米
把圆筒展开后，横截面（圆环）变成一个长方形（长是纸的长度，宽是纸的厚度），圆筒横截面（圆环）的面积就是长方形的面积，所以长方形的长（纸的长度）等于圆环的面积除以纸的厚度。3.14×[(38÷2)2-(18÷2)2]÷(0.5÷10)÷100=175.84(米)。
6. 7.25厘米
×π×（ ）2×3÷[π×（ ）2]+7=7.25（厘米）
【池中戏水】
1.答案不唯一
2. 6.4厘米
(第2题)
连接AG，在正方形ABCD中，△ABG的底和高分别为正方形边AB与BC，所以，它的面积是正方形ABCD面积的一半。同样，在长方形EBGF中，三角形ABG的底为长方形的长BG，高为长方形的宽EB，所以它的面积也是长方形EBGF面积的一半。由此得出长方形EBGF的面积与正方形的面积相等，即长方形EBGF的面积也为64平方厘米。所以，长方形EBGF的宽为64÷10＝6.4（厘米）。
8. 5倍
设正方体的棱长为 ，切开后两个长方体的表面积之和是 ×8.长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ；长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ，所以长方体 的体积是长方体 的5倍。
9.
【海上冲浪】
(第1题)
1. 3平方厘米
连结CF。S△BDF=1，则S△CDF=2，S△CBF=3。由于S△ABE= S△CBE，S△AFE= S△CFE，可得S△ABF= S△CBF=3，设S△AFE=S△CFE=a，则有S△ABD:S△ADC=1:2，即（1+2）:（2+a+a）=1:2，求得a=2，所以S△CDFE=1+2=3（平方厘米）。
等积变形问题
等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。
在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。
这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。
等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。
通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。
等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。
假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。
如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。
根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。
通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。
同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。
这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。
2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。
这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。
考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。
现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。
我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。
设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。
根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。
由此可得R = ±r。
根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。
这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。
3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。
2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷14《等积变形》(解析版)
【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷14《等积变形》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240 B．270 C．300 D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），故选：B．2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25 B．40 C．49 D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49故选：C．3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（）A．42 B．40 C．38 D．36【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2＝100+36﹣48﹣50＝38答：阴影部分的面积是38．故选：C。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3；14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块《全部浸入水中》，水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形《不包括瓶颈》，容积是32；4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7；有A；B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。
现在往两个容器中以每分钟0；4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8；将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50；24平方厘米。
现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9；圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10；棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11；一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12；一车箱是长方体，长4米，宽1；5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13；一个底面周长15；7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14；把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15；正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?。
小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理b a S2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么A BCD Ob a S 3S 2S 1S 4OFEDC BA::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积_H_ G_ F_E_ D_C_B_ A _A_B_C_ D_E_ F_ G_H_ A _ B_G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_G_ C_ E_ F_ D的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHGDHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙， 即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A BC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEFDEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△， 而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS =；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1G C E G C F S S E G F G ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC=，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1A G MS=△份，则123M C DS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BE AD=，根据蝶形定理得2129S=+=梯形（）(平方厘米)，3ECDS=△(平方厘米)，那么12ABCDS =(平方厘米)．【例18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形Q E GNMFPA DCB．【解析】 设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份． 所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B EM==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==， ::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCDS S S∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:1E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G I I D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABIS S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABNS =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPA BCS S =△△，所以1111152121A B P ADNBED N P QE S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.CBGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).。
六年级奥数优胜教育第3讲：等积变形含答案
第三讲等积变形例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．例2：长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GB F C例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为．A DE OGB F C例4：已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)例5：如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．A AC D E F G C D E FGB B例6：如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，△S ADE=16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C例7：如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，△S ADE=12平方厘米，求△ABC的面积．DAEB CDAEB C例8：如图，平行四边形ABCD，BE=AB，C F=2CB，G D=3DC，HA=4A D，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．H HA B E A B EG D C G D CF例9：如图所示的四边形的面积等于多少？FC O131213D1312131212AB例10：如图所示，∆ABC中，∠ABC=90︒，AB=3，BC=5，以AC为一边向∆ABC外作正方形ACDE，中心为O，求∆OBC的面积．EEO DODA3B5CA3B5C F A1.如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_E_E_A_B_A_B_F_F_D_G_C_D_G_C2.在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．A D A(P)D A DP PB C B C B CC C甲乙3.如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为．A E DA E DMNO OB B4.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A AD E DEB C B C5.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4，B E=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE B甲乙D C BED CB6.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB=90︒，AC、B D 交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．C B C BO E OEFD A D A7.如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF 平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知F D=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？B G BAC ACF D F DE E角形 BCD 的面积的 ，且 AO = 2 ，DO = 3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍．EBE8.如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD : DC = 1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．AEBDFC9.如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC = 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?AD ADBGFECBxF x y Gy EC10.四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)．如果三角形 ABD 的面积等于三13ADOBCC11.如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面 积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积．ADOF GBEC12.如图，长方形 ABCD 中， BE : EC = 2:3 ， DF : FC = 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方 厘米，求长方形 ABCD 的面积．AGDFAGDFBCC13.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．B CGA M D14.在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．A DFB E C15.已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．A DA DO OB C E B C E1.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．A D A D992121O44B E B E CCDA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，2.右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)， 阴影部分的面积是 平方厘米．AD AD881616O 2 2BEC BEC3.如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘 米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．A EFB A EFB225O ?5O ?88DC D C4.如图， ∆ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正 方形 DEFG 的面积 48， AK : KB = 1:3 ，则 ∆BKD 的面积是多少？DA G DA GKKBEF C B E M F C5.下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB ，BC ，CD ，mn(m + n ) 的值等于．AH D A H DEG E GBFC BFC1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．3.如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 △O ，求证：AOB 与△COD 面积相等．4.如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形．5.如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC的面积．6.如下页图，在△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC=面积的几分之几？1 3BC ，求阴影部分面积占三角形 A BC7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 △A C ，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米．求三角形 CDF的面积．8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若△S ADE=1，求△BEF的面积．△S ACD = △S BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．E第三讲 等积变形1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S : S = a : b12③夹在一组平行线之间的等积变形，如图 △S ACD = △S BCD ；反之，如果④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比． 2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中，D , E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， 在 AC 上)，则S△ABC :S△ADE=(AB⨯AC):(AD⨯AE)3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①S:S=S:S或者S⨯S=S⨯S②AO:OC=(S+S):(S+S)124313241243蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．DAS2S1OS4S3B C梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①S:S=a2:b213②S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；1324③S的对应份数为(a+b)2．4.相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型A E F DAD F EB GC B G C①AD AE DE AF===AB AC BC AG；②：=AF2:AG2．△S ADE△S ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线AO和BC相交于D（有四种情形），则有S∆ABO :S∆ACO=BD:DC在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:S=BD:DC．∆ABO∆ACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO和∆ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.AFEBOD C1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
六年级下册奥数课件-几何模块等积变形 通用版 (共28张PPT)
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作业4：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是10厘米，求图中阴影部分的面 积.
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作业5：四边形ABCD是梯形，DE//CF，已知三角形ADG、三角形BCH和三角形CDO的面积分别 是19、20和18，求五边形EFHOG的面积.
例题讲解
例2：正方形ABCD、BEFG、CHIJ如图放置，已知正方形ABCD的边长是8厘米，正方形BEFG的 边长是5厘米，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练2：正方形ABCD、CEFG、FHIJ如图放置，已知正方形CEFG的边长是7厘米，求图中阴影 部分的面积.
例题讲解
例3：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知三角形CEH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面 积.
作业1：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是8厘米，求图中阴影部分的面 积.
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作业2：以AB为直径作半圆，C为AB上任意一点，D、E为弧AB的三等分点，求图中阴影部分的面 积.
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作业3：如图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形AOE的面积 比三角形BOD的面积小16平方厘米，求梯形AEBD的面积.
例题讲解
练一练2：如图，正六边形ABCDEF的面积是6，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例7：如图，正八边形ABCDEFGH的面积是2020，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练7：如图，正八边形的面积是1，求图中两块阴影的面积比.
总结归纳
总结归纳
找平行线
找底边
移顶点
等积变形
巩固提升
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例题讲解
例5：正三角形ABC、BDE如图放置，已知三角形F、G为BC、DE的中点，已知正三角形ABC的面 积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积.
六年级数学奥数培优教案(下册)三角形之等积变形
我们已经知道三角形的面积公式为： S ∆ =21⨯ 底⨯高 。
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：【结论 1】等底等高------若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相同（图①）；【结论 2】同底看高------若两个三角形等底，但高不等，则这两个三角形面积比等于高之比（图②）；【结论 3】同高看底------若两个三角形等高，但底不等，则这两个三角形面积比等于底之比（图③）；=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆ADC ABD s s :【例1】用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例2】如图，在△ABC 中， FC : DF : BD = 4 : 3 : 2 ，已知△AFC 的面积为 48cm 2，E 为 AF 的中点。
求阴影部分的面积。
专题：三角形之等积变形【例 3】如右图，长方形 ADEF 的面积是 16 平方厘米，三角形 ADB 的面积是 3 平方厘米，三角形 ACF 的面积是 4 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？AFC DBE1、如图，△ABC 的每边长都是 96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的 4 个三角形，求线段 CE 和 CF 的长度和为 。
2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4。
3、如图，△ABC 的面积为 1，且 BD =21DC , AF = 21FD , CE = EF ,则△DEF 的面积是多少？4、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC 的面积．1、如图，怎样把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形？（作图说明）2、如图，在△ABC 中，BD = 2AD ，AG = 2CG ，BE = EF = FC = 31BC ，求阴影部分面积占△ABC面积的几分之几？3、如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 S △ADE =1，求△BEF 的面积．4。
小学奥数——三角形的等积变形(附答案)
小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方跑如右圏，将EC边四尊分（EDJEPAFC詁玩）・连结AD、AL. AF.则△AED. “ADE、ZXAEF. AAF洋积.方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ADF △ BDF △DCE △ ADE等积.方法如右耳先将EC四等分，即BD=yBC,连结AD,再将AD三等分，即AE二EF = FD二扣，连结CE* CF,从而得到四个等积的三诵形,即公ABD< ACDF, △CEE △ACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右图，先取EC中点D再取AE的+分点E,连结AD*DE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。
通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。
本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。
常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。
首先，我们来看一下倍数变形。
倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。
举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。
通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。
其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。
倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。
例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。
通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。
最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。
分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。
例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。
通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。
接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。
假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。
现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。
首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。
现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。
通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。
等积变形是几年级的知识点
等积变形是几年级的知识点
哎呀！等积变形？这可把我难住啦！我想想啊，我现在上小学五年级，反正我们五年级还没学到呢。
我去问了六年级的大哥哥大姐姐，他们有的说六年级上册学的，有的又说六年级下册才会碰到。
这可真让人摸不着头脑！
我又跑去问老师，老师笑着说：“等积变形呀，通常是在六年级的数学课程中会涉及到，但也得看教材版本和教学进度呢。
” 我就很疑惑啦，为啥不能早点学呢？
就好比我们搭积木，每一块积木的形状不同，但是体积不变呀。
等积变形不也差不多嘛，就是形状变来变去，可里面包含的量不变。
我跟同桌讨论这个，我问他：“你说这等积变形难不难？”他皱着眉头说：“感觉会很难，不过要是能搞清楚原理，也许就没那么可怕啦。
” 可不是嘛，数学里好多知识一开始觉得难，弄懂了就简单啦。
我又想到了做蛋糕，同样多的面粉和材料，能做出不同形状的蛋糕，这不就和等积变形有点像吗？
等积变形到底有啥用呢？难道就是为了考试？才不是呢！以后要是当个建筑师，设计房子的时候，不就得考虑空间和体积的问题嘛。
还有工程师造大桥，也得用这些知识呀。
反正我觉得，不管它是几年级的知识点，只要我们认真学，用心琢磨，就一定能搞明白！。
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小学六年级奥数等积变形（5）
【题目1】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BO：DO＝3：2，三角形ABC的面积是18，求三角形ACD的面积。
【题目2】如图，梯形ABCD的面积是64平方厘米，上底AD和下底BC的长度比是3：5，求三角形BOC的面积是多少平方厘米？
【题目3】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，E、F分别是AB、BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少平方厘米？
【题目4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC 的中点，求四边形BGHF的面积是多少平方厘米？
【题目5】如图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，BE＝2AE，BF：FC＝5：3，四边形ADGE的面积是多少平方厘米？
【题目6】如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABD的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC的面积。
【题目7】如图，如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABM的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC 的面积。