第五讲定积分的几何应用

第五讲 定积分的几何应用

教学目的要求：基本掌握定积分的元素法，会用定积分计算平面图形的面积，两类特殊 几何体的体积以及平面曲线的弧长。

知识点：定积分的元素法；平面图形面积的计算；旋转体体积的计算；截面面积已知的 几何体体积的计算；平面曲线弧长的计算。

教学重点：定积分的元素法；平面图形面积的计算，旋转体体积的计算。

教学难点： 定积分的元素法； 截面面积已知的几何体体积的计算； 平面曲线弧长的计算。 教学方式：讲授、演示、练习

教学思路：先讲授定积分的元素法，由此导出平面图形的面积、两种特殊几何体体积以 及平面曲线弧长等积分计算公式，再以实例说明公式的运用。

教学过程：

一、复习

1．定积分的几何意义；

2．定积分的定义。

二、新授

（一）定积分的元素法

一般地，如果某一实际问题中的所求量U 符合下列条件：

（1）U 是与一个变量x 的变化区间[a , b ]有关的量；

（2）U 对于区间[a , b ]具有可加性，即，如果把区间[a ,b ]分成许多部分区间，则U 相应 地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；

（3）部分量 i U D 的近似值可表示为 () i i f x x D ；

那么，就可考虑用定积分来表示这个量 U ，通常用如下方法（微元法或元素法）来建立 所求量 U 的积分式：

（1）根据问题的具体情况，选取一个变量作积分变量，并确定其变化区间[a , b ]；

（2） 在区间[a , b ]上任取一个小区间[,] x x dx + ， 并求出相应于这个小区间的部分量 U D 的近似值。如果 U D 的近似值可以表示成某连续函数在x 处的值 () f x

与dx 的乘积，就把 () f x dx 称为 U 的元素（或微元），且记作 dU ，即 () dU f x dx = ；

（3）在整个区间[a , b ]上以U 的元素（或微元） () f x dx 为被积表达式求积分，就得所 求的量： () b

a U f x dx = ò 。 （二）平面图形的面积

1．直角坐标系中平面图形的面积

设 () f x ， () g x 均为[a , b ]上的连续函数， 且 ()() f x g x £ ， 则由曲线 () y f x = ， () y g x = ， x a = ，x b = 所围成的平面图形面积（由元素法推出）为

(()()) b a

A g x f x dx =- ò 一般，若去掉 ()() f x g x £ 的条件，则应有 ()() b

a A f x g x dx =- ò 。

类似地，若平面图形由曲线， () x y j = ， () x y y = ， y c = ， y d = 围成，则其面积为

()() d

c A y y dy j y =- ò 例 1 求由曲线 2 y x = ， y x = 所围成的面积。

解：作图 3 如右，易求出两曲线交点坐标为 O （0，0）及 P （1，1），由上述公式知，

所求面积为 1 2 0 1 () 3

A x x dx =-= ò 。 例 2 求由抛物线 2 2 y x = 和曲线 4 y x =- 所围成的面积。

解： 2 2 y x = 与 4 y x =- 的交点坐标为 P （2，-2）及 Q （8，4）。取 y 为积分变量，则

所求面积为 2

4

2 [4]18 2 y A y dy - =+-= ò 。若取x 为积分变量，则 28

02 [2(2)][2(4)]18 A x x dx x x dx =--+--= òò 计算较繁。这说明，应适当选择积分变量，使计算简单。

例 3 求椭圆 22

22 1 x y a b

+= 所围成的图形的面积 解：因为椭圆关于坐标轴都对称（图 5），所以所求面积等于图中阴影部分面积的 4倍，

即有 0 a

A ydx = ò ，利用椭圆的参数方程 cos sin x a t y b t = ì í = î ，代入上式中相当于作变量代换。 此时 sin dx a tdt =- ，当 0 x = 时， 2 t p =

；当x a = 时， 0 t = ，所以 0 2

sin (sin )

A b t a t dt ab p p =-= ò 一般地，当曲边梯形面积为 () b a A f x dx = ò 时，若 () y f x = 的参数方程为 ()() x t y t j y = ì í = î

，且 (),() a b j a j b == ，则 ()() A t t dt b

a y j ¢ = ò 。 2．极坐标系中平面图形的面积

设曲线由极坐标方程 () r r q = 表示，求由此曲线 () r r q = 及两射线q a = ，q b = 所围图 形的面积（图 6），其中 () r q 在[,] a b 上连续，且 ()0 r q ³ 。

用元素法，在[,] a b 中任取一个小角区间[,] d q q q + 。与这个小区间d q 对应的那部分 面积记为dA （图中阴影部分）。dA 近似地用半径 () r r q = ，中心角为d q 的扇形面积代替， 即 2 1 () 2

dA r d q q = 从而有 2 1 () 2 A dA r d b b a a

q q == òò 。 例 4 求心形线 (1cos ) r a q =+ 所围成的面积。

解：如图 7 所示，此图形关于极轴对称，用 A 1 表示极轴上方那部分面积（图中阴影部 分），则所求面积为