《一元二次方程》教材分析

第二十二章《一元二次方程》教材分析

北京八中刘颖

一. 本章的主要内容:

1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 运用一元二次方程分析和实际问题.

2. 本章重点：一元二次方程的解法,

难点：一元二次方程的应用.

二. 中考考试要求: （2012年）

三. 课程学习目标

1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念.

2. 根据化归的思想, 抓住“降次”这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分

解法等一元二次方程的基本解法．有条件时可选学“一元二次方程的根与系数的关系”, 拓展对一元二次方程的认识.

3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力.

四. 本章知识结构框图

五. 课时安排

本章教学时间约需13课时, 具体分配如下（仅供参考）:

22.1一元二次方程………………（2课时）

22.2降次——解一元二次方程…（7课时）

22.3实际问题与一元二次方程…（2课时）

数学活动与小结…………………（2课时）

六. 内容安排

22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础.

22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是“降次”. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20

++=(0

ax bx c

a≠), 就得到一元二次方程的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容“一元二次方程的根与系数的关系”. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备.

22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可

以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程．

本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活. 这样安排主要目的是:

1. 反映客观世界与数学的密切联系;

2. 加强对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力的培养.

目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为必学内容, 考虑到部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识, 以及这个内容是比较重要的数学知识, 教科书在22.2.4中安排了有关内容供选学, 希望能提供一些问题给部分学生去探究.

在本章小结中, 教科书再次强调一元二次方程与实际问题之间的联系, 突出解一元二次方程的基本思路以及具体方法, 这是本章的重点内容.

一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最后一种方程, 从某种意义上说, 学习本章也具有对方程的学习进行总结的作用．

七. 教学中应注意一些的问题

（一）一元二次方程的有关概念

1. 了解一元二次方程的概念

（1）一元二次方程是整式方程;

（2）它含有一个未知数（“一元”）, 未知项的最高次次数是2（“二次”）;

（3）它的一般形式是: )0(02≠=++a c bx ax .

2. 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围

只有当二次项系数0a ≠时, 整式方程20ax bx c ++=才是一元二次方程. 例1. ① 关于x 的方程()04412=-++mx x m 是一个一元二次方程, 则m 的取值范围是_________,一次项系数是_____________, 常数项是______________

② 关于x 的一元二次方程()()()a x a x x 51233=+-+-, 化成一般形式是

_____________

3. 一元二次方程的解(根)的定义与检验一元二次方程的解(根)

（1）一元二次方程作为整式方程, 在有解的情况下, 一定有两个实数解;

（2）区分“无解”与“无实数解”.

例2. 已知: a > b , 且有01532=-+a a , 01532=-+b b

① a , b 是否方程01532=-+x x 的根; ② 求a , b 的值

例3. 关于x 的方程(1–a )x 2+2x +2=0有实根, 求a 的取值范围.

（二）能选择适当的方法解一元二次方程

在学习本章之前, 学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组的解法, 并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程的解法. 一元二次方程的解法与前面的方程的解法相比, 特点在于未知数的次数是2（二次）, 于是重点和难点在于如何将一元二次方程转化为已经会解的一次方程.

1. 明确解一元二次方程是以降次为目的, 应以直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法为手段, 从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解, 其中配方法更是尤为重要;

2. 理解配方法, 能熟练地选用包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法在内的适当的方法解一元二次方程;

3. 理解各种解法的依据;

4. 各种解法应强调的问题

（1）直接开平方

对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程（即一边是含有未知数的一次式的平方, 而另一边是一个非负数）, 可用直接开平方法求解.

形如n x =2的方程的解法: 当0>n 时, n x ±=;