数学实验与MATLAB(周晓阳)-赛才数学建模
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令
f ( x) cos( x sin( x))
g ( x) 0.1x cos( x sin( x))
f (x), g (x)是周期函数吗？观察它们的图象。
程序
•clf, x=linspace(0,8*pi,100); •F=inline('sin(x+cos(x+sin(x)))'); •y1=sin(x+cos(x+sin(x))); y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x))); •plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-') legend('sin(x+cos(x+sin(x))','0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))' ,2)
删除上面矩阵A的第1、3行。 程序：
A([1,3],:)=[ ]
结果
生成特殊矩阵
全1阵
ones(n), ones(m,n), ones(size(A)) zeros(n) ，zeros(m,n), zeros(size(A)) 常常用于对某个矩阵或向量赋0初值 eye(n)，eye(m,n) rand(m,n)， rand(n)=rand(n,n)用于随机模 拟，常和rand('seed',k)配合使用。
Matlab基本指令
向量的创建和运算
1. 直接输入向量
》x1=[1 2 4],x2=[1,2,1],x3=x1’ 运行结果
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1 2 4 2 2 4 1
2.冒号创建向量
x1=3.4:6.7, x2=3.4:2:6.7 x3=2.6:-0.8:0 运算结果
x1 = 3.4000 4.4000 5.4000 6.4000 x2 = 3.4000 5.4000 x3 = 2.6000 1.8000 1.0000 0.2000
分块矩阵（矩阵的标识）
1.矩阵元素的标识 ： A(i,j)表示矩阵A 的第 i 行 j 列的元素； 2.向量标识方式 A(vr,vc)： vr=[i1,i2,…,ik]、vc=[j1,j2,…,ju]分别是含 有矩阵A的行号和列号的单调向量。 A(vr,vc) 是 取 出 矩 阵 A 的 第 i1,i2,…,ik 行 与 j1,j2,…,ju列交叉处的元素所构成新矩阵。
向量的运算
设x=[x1 x2 x3]; y=[y1 y2 y3];为两个三 维向量，a,b为标量。 向量的数乘：a*x=[a*x1 a*x2 a*x3] 向量的平移： x+b=[x1+b x2+b x3+b] 向量和： x+y=[x1+y1 x2+y2 x3+y3] 向量差： x-y=[x1-y1 x2-y2 x3-y3] 数的乘幂： 如 a^2
为监控生产，管理者对它们之间的关系 十分关心。 为把握这些量的关系，他列出下面的表
原料产品关系表
原 料 产 品 硬 塑 料 泡 沫 塑 料 尼 龙 线 劳 动 力
防 护 帽 4 1 1 3
垫 肩 2 3 3 2
臀 垫 2 2 3 2
订单
订 单 1 订 单 2 防 护 帽 垫 肩 臀 垫 35 10 20 20 15 12 订 单 3 60 50 45 订 单 4 45 40 20
全零阵：
单位阵：
随机阵：
生成特殊矩阵
将rand指令运行多次，观察结果。 程序：
y1=rand(1,5), y2=rand(1,5), rand('seed',3), x1=rand(1,5), rand('seed',3), x2=rand(1,5)
结果
常用矩阵函数
det(A) ： 方阵的行列式； rank(A)： 矩阵的秩； eig(A)： 方阵的特征值和特征向量； trace(A)： 矩阵的迹； rref(A)： 初等变换阶梯化矩阵A svd(A)： 矩阵奇异值分解。 cond(A)： 矩阵的条件数；
矩阵的运算(左除和右除)
左除“ \ ”：
求矩阵方程AX=B的解；（ A 、B的行要保持一致） 解为 X=A\B； 当A为方阵且可逆时有X=A\B=inv(A)*B；
右除“ / ”：
求矩阵方程XA=B的解 （A 、B的列要保持一致） 解为 X=B/A ， 当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A)
直接输入法创建简单矩阵。
A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
B=[-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6]
观察运行结果
创建矩阵（符号矩阵的创建）
用指令“syms”说明符号变量。
syms a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 A1=[a11 a12 a13 a14 ;a21 a22 a23 a24; a31 a32 a33 a34], B1=[b11 b12 b13 b14 ;b21 b22 b23 b24; b31 b32 b33 b34]
h=plot(x,y), set(h,‘属性’,属性值,‘属性’,属性值,…) 也可用plot(x,y,'属性','属性值')设置图形 对象的属性。
绘制平面曲线（属性变量和属性值）
线宽：LineWidth
点的大小：
MarkerSize
线型：LineStyle
颜色：color
表 2 -1 颜 色 的 标 识 符 标识符 颜色 y 黄 r 红 c 青 m 紫 g 绿 b 蓝 w 白 k 黑
2. plot(x,y1), hold on, plot(x,y2), hold off 3. plot(x,y1,x,y2,…) 4.plotyy
两个坐标系，用于绘制不同尺度的函数。
绘制平面曲线（线型、点形和颜色的控制）
plot(x,y,‘颜色＋线型＋点形’) plot(x,y,‘颜色＋线型＋点形’,x,y,‘颜 色＋线型＋点形’,… ) 句柄图形和set命令改变属性值，可套 用：
元素群运算(四则运算）
x.*y=[x1*y1 x2*y2 x3*y3] (元素群乘积) x./y=[x1/y1 x2/y2 x3/y3] (元素群右除， 右边的y做分母) x.\y=[y1/x1 y2/x2 y3/x3] (元素群左除， 左边的x做分母) x.^5=[x1^5 x2^5 x3^5] (元素群乘幂) 2.^x=[2^x1 2^x2 2^x3] (元素群乘 幂) x.^y=[x1^y1 x2^y2 x3^y3] (元素群乘 幂)
数据的简单分析
观察：生成一个3×6的随机数矩阵，并 将其各列排序、求各列的最大值与各列 元素之和。 程序
rand('seed',1);A=rand(3,6), Asort=sort(A), Amax=max(A), Asum=sum(A)
结果
实验二
函数可视化与Matlab作图
函数的可视化
管理者接到四份订单如上表所示。
问应该如何计算每份订单所需的原材料， 以便组织生产？
原料 防护帽 产品 4 硬塑料 1 泡沫塑料 1 尼龙线 3 劳动力 订单 1 35 10 20
垫肩 2 3 3 2 订单 2 20 15 12 订单 3 60 50 45
臀垫 2 2 3 2 订单 4 45 40 20
数据的简单分析
1.当数据为行向量或列向量时，函数对 整个向量进行计算. 2.当数据为矩阵时，命令对列进行计算， 即把每一列数据当成同一变量的不同观 察值。
max(求最大)、min(求最小)、mean(求平 均 值 ) 、 sum( 求 和 ) 、 std( 求 标 准 差 ) 、 cumsum(求累积和)、median(求中值)、 diff(差分)、sort(升序排列)、sortrows(行 升序排列)等等。
绘制平面曲线(plot指令)
plot(x,y)：
以x为横坐标、y为纵坐标绘制二维图形 x,y是同维数的向量； 相当于x=[1,2,…,length(y)]时情形。
plot(y)：
绘制平面曲线（绘制多个图形)
1. plot(x,[y1;y2;…]),
x是横坐标向量，[y1;y2;…]是由若干函数 的纵坐标拼成的矩阵
运行
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
C=A1+B1 D=A1-B1 syms c, cA=c*A1 A2=A1(:,1:3), B1
G=A2*B1
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
A, A_trans=A’ H=[1 2 3 ; 2 1 0 ; 1 2 3 ], K=[1 2 3 ; 2 1 0 ; 2 3 1] h_det=det(H), k_det=det(K), H_inv=inv(H),K_inv=K^-1
3.生成线性等分向量
指令x=linspace(a,b,n) 在[a,b]区间产 生 n 个等分点(包括端点) x=linspace(0,1,5) 结果 x= 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000
工作空间
在Matlab窗口创建向量后并运行后，向 量就存在于工作空间，可以被调用。
防护帽 垫肩 臀垫
4 1 A 1 3 2 3 3 2 2 2 3 2
,
35 B 10 20
20 15 12
60 50 45
45 40 20
将 表 格 写 成 矩 阵 形 式
计 算
输入下面Matlab指令 A=[4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2], B=[35 20 60 45;10 15 50 40;20 12 45 20] C=A*B 请自行计算观看结果
矩阵的运算(左除和右除)
求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
解：有(A-2I)B＝A 程序 ：
A=[3 0 1; 1 1 0;0 1 4]; B=inv(A-2*eye(3))*A, B=(A-2*eye(3))\A
观察结果：
分块矩阵（矩阵的标识）
取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素 构成新矩阵A1 程序
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1], vr=[1, 3];vc=[1, 3]; A1=A(vr, vc)
观察结果
分块矩阵（矩阵的标识）
将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B中， 观察运行后的结果。 程序
数学实验与Matlab
制作人 周 晓 阳
华中科技大学数学系 zxyhust@netease.com http://math.hust.edu.cn/~zhou/index.html
实
验
一
矩阵运算与Matlab命令
日常矩阵及其运算
矩阵应用实例: 榄球防护用品的生产管理
应用问题
一个工厂生产三种橄榄球用品 ： 防护 帽、 垫肩、臀垫。 需要不同数量的：硬塑料 、 泡沫塑料 尼龙线 、 劳动力。
表 2 -2 （ b ） 点 型 和 线 型 的 标 识 符
标识符 线型和点型 实线 -破折线 : 虚线 -. 点划线 . 点 o 圆圈 x ×号 + ＋号 * *号 square 方形单词
绘制平面曲线（例）
观察：
改变绘图的线型和颜色。 用grid on 指令为图形窗口加上 网格线，并改变网格的线 型和字体的大小。 h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi])); set(h,'LineWidth',5,'color','red'); grid on set(gca,'GridLineStyle','-','fontsize',16)
A11=A(1:2,1:2),A12=A(1:2,3:5), A21=A(3:4,1:2),A22=A(3:4,3:5) B=[A11 A12;A21 A22]
结果
分块矩阵（矩阵的wk.baidu.com改和提取）
修改矩阵A，将它的第1行变为0。 程序：
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1] A(1,:)=[0 0 0 0 0]; A
元素群运算（函数计算）
Matlab有许多内部函数，可直接作用于 向量产生一个同维的函数向量。 x=linspace(0,4*pi,100);（产生100 维向量x） y=sin(x); (y也自动为100维向量) y1=sin(x).^2; y2=exp(-x).*sin(x); 观察结果
创建矩阵（数值矩阵的创建）
f ( x) cos( x sin( x))
g ( x) 0.1x cos( x sin( x))
f (x), g (x)是周期函数吗？观察它们的图象。
程序
•clf, x=linspace(0,8*pi,100); •F=inline('sin(x+cos(x+sin(x)))'); •y1=sin(x+cos(x+sin(x))); y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x))); •plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-') legend('sin(x+cos(x+sin(x))','0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))' ,2)
删除上面矩阵A的第1、3行。 程序：
A([1,3],:)=[ ]
结果
生成特殊矩阵
全1阵
ones(n), ones(m,n), ones(size(A)) zeros(n) ，zeros(m,n), zeros(size(A)) 常常用于对某个矩阵或向量赋0初值 eye(n)，eye(m,n) rand(m,n)， rand(n)=rand(n,n)用于随机模 拟，常和rand('seed',k)配合使用。
Matlab基本指令
向量的创建和运算
1. 直接输入向量
》x1=[1 2 4],x2=[1,2,1],x3=x1’ 运行结果
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1 2 4 2 2 4 1
2.冒号创建向量
x1=3.4:6.7, x2=3.4:2:6.7 x3=2.6:-0.8:0 运算结果
x1 = 3.4000 4.4000 5.4000 6.4000 x2 = 3.4000 5.4000 x3 = 2.6000 1.8000 1.0000 0.2000
分块矩阵（矩阵的标识）
1.矩阵元素的标识 ： A(i,j)表示矩阵A 的第 i 行 j 列的元素； 2.向量标识方式 A(vr,vc)： vr=[i1,i2,…,ik]、vc=[j1,j2,…,ju]分别是含 有矩阵A的行号和列号的单调向量。 A(vr,vc) 是 取 出 矩 阵 A 的 第 i1,i2,…,ik 行 与 j1,j2,…,ju列交叉处的元素所构成新矩阵。
向量的运算
设x=[x1 x2 x3]; y=[y1 y2 y3];为两个三 维向量，a,b为标量。 向量的数乘：a*x=[a*x1 a*x2 a*x3] 向量的平移： x+b=[x1+b x2+b x3+b] 向量和： x+y=[x1+y1 x2+y2 x3+y3] 向量差： x-y=[x1-y1 x2-y2 x3-y3] 数的乘幂： 如 a^2
为监控生产，管理者对它们之间的关系 十分关心。 为把握这些量的关系，他列出下面的表
原料产品关系表
原 料 产 品 硬 塑 料 泡 沫 塑 料 尼 龙 线 劳 动 力
防 护 帽 4 1 1 3
垫 肩 2 3 3 2
臀 垫 2 2 3 2
订单
订 单 1 订 单 2 防 护 帽 垫 肩 臀 垫 35 10 20 20 15 12 订 单 3 60 50 45 订 单 4 45 40 20
全零阵：
单位阵：
随机阵：
生成特殊矩阵
将rand指令运行多次，观察结果。 程序：
y1=rand(1,5), y2=rand(1,5), rand('seed',3), x1=rand(1,5), rand('seed',3), x2=rand(1,5)
结果
常用矩阵函数
det(A) ： 方阵的行列式； rank(A)： 矩阵的秩； eig(A)： 方阵的特征值和特征向量； trace(A)： 矩阵的迹； rref(A)： 初等变换阶梯化矩阵A svd(A)： 矩阵奇异值分解。 cond(A)： 矩阵的条件数；
矩阵的运算(左除和右除)
左除“ \ ”：
求矩阵方程AX=B的解；（ A 、B的行要保持一致） 解为 X=A\B； 当A为方阵且可逆时有X=A\B=inv(A)*B；
右除“ / ”：
求矩阵方程XA=B的解 （A 、B的列要保持一致） 解为 X=B/A ， 当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A)
直接输入法创建简单矩阵。
A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
B=[-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6]
观察运行结果
创建矩阵（符号矩阵的创建）
用指令“syms”说明符号变量。
syms a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 A1=[a11 a12 a13 a14 ;a21 a22 a23 a24; a31 a32 a33 a34], B1=[b11 b12 b13 b14 ;b21 b22 b23 b24; b31 b32 b33 b34]
h=plot(x,y), set(h,‘属性’,属性值,‘属性’,属性值,…) 也可用plot(x,y,'属性','属性值')设置图形 对象的属性。
绘制平面曲线（属性变量和属性值）
线宽：LineWidth
点的大小：
MarkerSize
线型：LineStyle
颜色：color
表 2 -1 颜 色 的 标 识 符 标识符 颜色 y 黄 r 红 c 青 m 紫 g 绿 b 蓝 w 白 k 黑
2. plot(x,y1), hold on, plot(x,y2), hold off 3. plot(x,y1,x,y2,…) 4.plotyy
两个坐标系，用于绘制不同尺度的函数。
绘制平面曲线（线型、点形和颜色的控制）
plot(x,y,‘颜色＋线型＋点形’) plot(x,y,‘颜色＋线型＋点形’,x,y,‘颜 色＋线型＋点形’,… ) 句柄图形和set命令改变属性值，可套 用：
元素群运算(四则运算）
x.*y=[x1*y1 x2*y2 x3*y3] (元素群乘积) x./y=[x1/y1 x2/y2 x3/y3] (元素群右除， 右边的y做分母) x.\y=[y1/x1 y2/x2 y3/x3] (元素群左除， 左边的x做分母) x.^5=[x1^5 x2^5 x3^5] (元素群乘幂) 2.^x=[2^x1 2^x2 2^x3] (元素群乘 幂) x.^y=[x1^y1 x2^y2 x3^y3] (元素群乘 幂)
数据的简单分析
观察：生成一个3×6的随机数矩阵，并 将其各列排序、求各列的最大值与各列 元素之和。 程序
rand('seed',1);A=rand(3,6), Asort=sort(A), Amax=max(A), Asum=sum(A)
结果
实验二
函数可视化与Matlab作图
函数的可视化
管理者接到四份订单如上表所示。
问应该如何计算每份订单所需的原材料， 以便组织生产？
原料 防护帽 产品 4 硬塑料 1 泡沫塑料 1 尼龙线 3 劳动力 订单 1 35 10 20
垫肩 2 3 3 2 订单 2 20 15 12 订单 3 60 50 45
臀垫 2 2 3 2 订单 4 45 40 20
数据的简单分析
1.当数据为行向量或列向量时，函数对 整个向量进行计算. 2.当数据为矩阵时，命令对列进行计算， 即把每一列数据当成同一变量的不同观 察值。
max(求最大)、min(求最小)、mean(求平 均 值 ) 、 sum( 求 和 ) 、 std( 求 标 准 差 ) 、 cumsum(求累积和)、median(求中值)、 diff(差分)、sort(升序排列)、sortrows(行 升序排列)等等。
绘制平面曲线(plot指令)
plot(x,y)：
以x为横坐标、y为纵坐标绘制二维图形 x,y是同维数的向量； 相当于x=[1,2,…,length(y)]时情形。
plot(y)：
绘制平面曲线（绘制多个图形)
1. plot(x,[y1;y2;…]),
x是横坐标向量，[y1;y2;…]是由若干函数 的纵坐标拼成的矩阵
运行
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
C=A1+B1 D=A1-B1 syms c, cA=c*A1 A2=A1(:,1:3), B1
G=A2*B1
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
A, A_trans=A’ H=[1 2 3 ; 2 1 0 ; 1 2 3 ], K=[1 2 3 ; 2 1 0 ; 2 3 1] h_det=det(H), k_det=det(K), H_inv=inv(H),K_inv=K^-1
3.生成线性等分向量
指令x=linspace(a,b,n) 在[a,b]区间产 生 n 个等分点(包括端点) x=linspace(0,1,5) 结果 x= 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000
工作空间
在Matlab窗口创建向量后并运行后，向 量就存在于工作空间，可以被调用。
防护帽 垫肩 臀垫
4 1 A 1 3 2 3 3 2 2 2 3 2
,
35 B 10 20
20 15 12
60 50 45
45 40 20
将 表 格 写 成 矩 阵 形 式
计 算
输入下面Matlab指令 A=[4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2], B=[35 20 60 45;10 15 50 40;20 12 45 20] C=A*B 请自行计算观看结果
矩阵的运算(左除和右除)
求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
解：有(A-2I)B＝A 程序 ：
A=[3 0 1; 1 1 0;0 1 4]; B=inv(A-2*eye(3))*A, B=(A-2*eye(3))\A
观察结果：
分块矩阵（矩阵的标识）
取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素 构成新矩阵A1 程序
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1], vr=[1, 3];vc=[1, 3]; A1=A(vr, vc)
观察结果
分块矩阵（矩阵的标识）
将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B中， 观察运行后的结果。 程序
数学实验与Matlab
制作人 周 晓 阳
华中科技大学数学系 zxyhust@netease.com http://math.hust.edu.cn/~zhou/index.html
实
验
一
矩阵运算与Matlab命令
日常矩阵及其运算
矩阵应用实例: 榄球防护用品的生产管理
应用问题
一个工厂生产三种橄榄球用品 ： 防护 帽、 垫肩、臀垫。 需要不同数量的：硬塑料 、 泡沫塑料 尼龙线 、 劳动力。
表 2 -2 （ b ） 点 型 和 线 型 的 标 识 符
标识符 线型和点型 实线 -破折线 : 虚线 -. 点划线 . 点 o 圆圈 x ×号 + ＋号 * *号 square 方形单词
绘制平面曲线（例）
观察：
改变绘图的线型和颜色。 用grid on 指令为图形窗口加上 网格线，并改变网格的线 型和字体的大小。 h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi])); set(h,'LineWidth',5,'color','red'); grid on set(gca,'GridLineStyle','-','fontsize',16)
A11=A(1:2,1:2),A12=A(1:2,3:5), A21=A(3:4,1:2),A22=A(3:4,3:5) B=[A11 A12;A21 A22]
结果
分块矩阵（矩阵的wk.baidu.com改和提取）
修改矩阵A，将它的第1行变为0。 程序：
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1] A(1,:)=[0 0 0 0 0]; A
元素群运算（函数计算）
Matlab有许多内部函数，可直接作用于 向量产生一个同维的函数向量。 x=linspace(0,4*pi,100);（产生100 维向量x） y=sin(x); (y也自动为100维向量) y1=sin(x).^2; y2=exp(-x).*sin(x); 观察结果
创建矩阵（数值矩阵的创建）