专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)
专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二 求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
二元一次不等式及简单的线性规划问题
线性目标函数 关于x，y的_一__次__解析式
可行解 满足线性约束条件的解_(x_，__y_)_
可行域 所有可行解组成的_集__合_
最优解 使目标函数取得_最__大__值_或最__小__值__的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的_最_大__ 值__或最__小__值__问题
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部分所示，平移直线y＝－2x，当直
线平移到过点A时，目标函数取得最
大值，由
2x－y＝0， x＋y＝3，
可得A(1,2)，
此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4．
答案：4
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二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 结 束
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一
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2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为
直线的斜截式：y＝－
a b
x＋
z b
，通过求直线的截距
z b
的最
值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2．
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[小题体验]
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是
()
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－3)
答案：C
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1
高三一轮复习数学学案二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、考纲要求及重难点： 1、 考纲要求：（1） 会从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）。
（2） 了解二元一次不等式（组）的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式（组）。
（3） 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
2、 重难点：（1） 以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义（如斜率、距离、面积）。
（2） 多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解。
二、课前自测：1、下列各点中，不在10x y +-≤表示的平面区域内的点是（ ） A 、(0,0) B 、(1,1)- C 、(1,3)- D 、(2,3)-2、直线2x+y-10=0与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个3.（2013山东）在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-4.实数x ，y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A 、6B 、-6C 、-2D 、45.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成。
请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是 。
三、知识梳理：1、二元一次不等式表示的平面区域 已知直线l ：0Ax By C ++=（1）开半平面与闭半平面直线l 把坐标平面分成 部分，每个部分叫开半平面， 与 的并集叫做闭半平面。
（2）不等式表示的区域以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象。
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(含解析)
归纳与技巧：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识归纳1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．线性规划中的基本概念基础题必做1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0解析：选B 将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.2．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是( )A.12 B.14 C ．1D.18解析：选A 作出可行域为如图所示的三角形，∴S △＝12×1×1＝12.3． 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：选A根据⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．解析：由可行域知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，0≤y ≤1，2x －y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，0≤y ≤1，2x －y ＋2≥05．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的约束条件是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *解题方法归纳1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入[例1] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．[答案] B解题方法归纳二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域． 注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法1．(1) 若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(2) 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a 所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC ，且A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )，若a ≤0，则有△ABC 的面积S △ABC ≤4，故a ＞0，BC 的长为2a ＋4，由面积公式可得△ABC 的面积S △ABC ＝12(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1.答案：(1)C (2)1求目标函数的最值典题导入[例2] (1) 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．(2) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为________．[自主解答] (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y ＝12x －z2过点B (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点A (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax ＋y ＝0，可知当平移到与直线2x －2y ＋1＝0重合，即a ＝－1时，目标函数z ＝ax ＋y 的最小值有无数多个．[答案] (1)[－3,3] (2)－1若本例(2)条件变为目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)仅在点⎝⎛⎭⎫12，1处取得最小值，其它条件不变，求a 的取值范围．解：由本例图知，当直线ax ＋y ＝0的斜率k ＝－a ＞1， 即a ＜－1时，满足条件， 所求a 的取值范围为(－∞，－1)．解题方法归纳1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．以题试法2．(1)设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________；z 的最小值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA ＋OM|的最小值是________．解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.(2)依题意得，OA ＋OM ＝(x ＋1，y )，|OA ＋OM |＝(x ＋1)2＋y 2可视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA ＋OM |的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：(1)2 －2 (2)322线性规划的实际应用典题导入[例3] 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元[自主解答] 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．[答案] C解题方法归纳与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3． 铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析：可设需购买A 铁矿石x 万吨，B 铁矿石y 万吨， 则根据题意得到约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：151． 已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.3． 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1C ．[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ⎝⎛⎭⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32.4．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a确定的平面区域中，若z ＝x＋2y 的最大值为3，则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z ＝x ＋2y 在点A (a ，a )处取得最值，故a ＋2a ＝3，解得a ＝1.5． 已知点Q (5,4)，动点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，则|PQ |的最小值为( )A ．5 B.43 C ．2D ．7解析：选A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，过Q 点且与直线AB 垂直的直线为y －4＝x －5，即x －y －1＝0，其与直线x ＋y －2＝0的交点为⎝⎛⎭⎫32，12，而B (1,1)，A (0,2)，因为32＞1，所以点Q 在直线x ＋y －2＝0上的射影不在线段AB 上，则|PQ |的最小值即为点Q 到点B 的距离，故|PQ |min ＝(5－1)2＋(4－1)2＝5.6． 已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z为OA 在OP上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3,3]C ．[－3，3]D ．[－3， 3 ]解析：选B 约束条件所表示的平面区域如图．OA 在OP 上的投影为|OA|·cos θ＝23cos θ(θ为OA 与OP的夹角)，∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°， ∴30°≤θ≤150°， ∴23cos θ∈[－3,3]．7． 若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3. 答案：－38． 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．解析：作出如图所示的可行域．x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A (－3，－4)处取最大值(－3)2＋(－4)2＝25.答案：259． 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x ＝2，y ＝0时，目标函数z ＝y －x 取得最小值－2.答案：－210．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元． 12．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围为[2,29]．1． 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，2x －y ≥0，(a ＞0)x ≤a表示的平面区域的面积为5，直线mx －y ＋m ＝0过该平面区域，则m 的最大值是________．解析：平面区域如图所示，A (a,2a )，B ⎝⎛⎭⎫a ，－a 2.∴S △OAB ＝12×5a 2×a ＝54a 2＝5，∴a ＝2，即A (2,4)，B (2，－1)．又mx －y ＋m ＝0过定点(－1,0)，即y ＝mx ＋m ，斜率m 的最大值为过A 点时的值为42－(－1)＝43.答案：432． 已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．－3解析：选B |2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x 2≤(y ＋1)2，即|x |≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．则当目标函数过C (2,1)时取得最大值， 所以z max ＝2×2＋1＝5.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．1． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0表示的平面区域如图所示，作辅助线l 0：x ＋2y ＝0，并平移到过点A (－1，－2)时，z ＝x ＋2y 达到最小，最小值为－5.2． 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析：选C 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7.设每天的利润为z 元， 则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)． 所以当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900元．。
7二元一次不等式与简单的线性规划问题
一、一周知识概述本周学习内容是用二元一次不等式表示区域和简单的线性规划问题．（1）了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；探求解决线性规划实际问题的基本方法和步骤，培养学生的创新精神和应用能力．二、重难点知识的归纳与剖析1、二元一次不等式ax＋by＋c>0和ax＋by＋c＜0表示的平面区域．（1）二元一次不等式ax＋by＋c>0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c=0某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线ax＋by＋c=0同一侧的所有点（x,y），把它的坐标（x,y）代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），以的正负情况便可判断ax＋by＋c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．2、简单的线性规划（1）求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（2）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性的约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解.（3）寻找整点最优解的方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合准确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解.三、典型例题讲解例1、画出不等式2x＋y-6＜0表示的平面区域分析：先画出直线，将原点代入看是否符合不等式，如符合，则在含原点的部分，否则，在不含原点的部分．解：先画直线2x＋y-6=0（画线虚线）,取原点（0，0），代入2x＋y-6，∵2x＋y-6＜0，∴原点在不等式2x＋y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x＋y-6＜0表示的平面区域如图阴影部分．例2、画出不等式组：表示的平面区域.分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．本题的问题关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域，为此必须分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取各平面区域的公共部分.解答：不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合.不等式2y≥x即x－2y≤0表示直线x－2y=0上及左上方点的集合.不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6=0上及右上方点的集合.不等式3y<x＋9即x－3y＋9>0表示直线x－3y＋9=0右下方点的集合.综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分.小结：（1）解决类似本题的问题时，先应对每一个不等式所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一不等式所表示的平面区域产生失误，其次应注意所表示的平面区域是否包括了边界．（2）画二元一次不等式表示的平面区域常用的方法是：直线定界、原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分.例3、求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积.分析：解答本题的关键是正确作出不等式所表示的平面区域，可先通过讨论去掉绝对值符号，再作图.解答：原不等式等价于作出其所表示的平面区域，如下图所示，它是边长为的正方形，面积等于8.点评：正确画出不等式表示的区域，观察图形的特殊性，是解决本题的关键所在．例4、解线性规划问题：求z=3x＋y的最大值，使式中的x,y满足约束条件.分析：按照解线性规划问题的步骤解题．第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域中找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．解答：作出可行域，如图五边形OABCD所表示的平面区域．作出直线l0:3x＋y=0将它平移至点B，显然B的坐标是可行域中的最优解，它使z=3x＋y达到最大值．解方程组得B点的坐标为（9，2）.∴z max=3×9＋2=29．点评：若目标函数设为z=x＋3y，约束条件不变，则z的最大值在点C（3,6）处取得.事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数z=ax＋by(a≠0,b≠0)，所确定的直线l0：ax＋by=0的斜率有关．就这个例子而言，当l0的斜率为负数时，即时，若（直线2x＋3y=24的斜率）时，线段BC上所有点都使z取最大值（如本例）；当时，点C处使z取最大值（比如z=x＋3y），若，请同学思考．例5、某家具厂有方木90m3，五合板600m2，准确加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少元？如果只安排生产书橱，可获利多少元？怎样安排生产可使所得利润最大？分析：（1）问什么，设什么，建立目标函数.（2）根据已知条件列出不等式组，找出可行域.解析：（1）设只生产书桌x张，可获利润z元.则所以当x=300时，z max=80·300=24000（元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.（2）设只生产书橱y张，可获利润z元.所以当x=450时，z max=120·450=54000（元）.如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.（3）设生产书桌x张、书橱y个，利润总额为z元.则z=80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l：80x＋120y=0，即直线2x＋3y=0.把直线l向右上方平移到l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=80x＋120y=0取得最大值.由解得点M的坐标为（100，400）.所以当x=100，y=400时，z max=80·100＋120·400=56000（元）因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.小结：线性规划问题在解决实际问题时，要注意条件.一、选择题1、(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域为（）A．B．C．D．2、设a>0，点集S的点（x,y）满足下列条件：①≤x≤2a ②≤y≤2a③x＋y≥a ④x＋a≥y⑤y＋a≥x则S的边界是一个有几条边的多边形？（）A．4 B．5C．6 D．73、点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y＋a=0的两侧，则（）A．a<－7或a>24 B．－7<a<24C．a=－7或a=24 D．以上都不对4、如图所示阴影部分的区域可用二元一次不等式组来表示的是（）A．B．C．D．5、已知函数z=y－x，则z在的约束条件下的最大值是（）A．－5 B．－1C．5 D．86、给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax＋y（a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．7、满足线性约束条件的可行域中，共有多少个整点可行解?（）A．4 B．3C．2 D．不同于以上答案8、购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要2张，如果小明带有10元钱，他有多少种买法（）A．13 B．12C．11 D．不同于以上答案B 卷二、填空题9、在△ABC中，A（3，－1），B（－1，1），C（1，3），则△ABC区域所表示的二元一次不等式组为___________.10、不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积为________.[答案]三、解答题11、若变量x、y满足约束条件求目标函数S=3x＋3y的最大值.[答案]12、已知满足不等式组，求使取最大值的整数．[答案]13、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。
《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教学课件
形，则实数 k 的值为( A．－1 1 C. 2
解析：由图象知 k>0. 当 y＝0 时，xB＝ ，xC＝2，
k
1
所以 <2，
k
1
1 即 k> . 2
y＝－x＋2， 由 y＝kx－1，
2k－1 得 yA＝ ， 1＋k
2k－1 1 1 1 所以 S△ABC＝ 2－ × ＝ ， k 1＋k 4 2
的解(x，y)
使目标函数取得
组成的集合 最大值 或 最小值 可行解
的
线性规划问 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 题 或最小值问题
质疑探究：最优解一定唯一吗？ 提示：不一定．当线性目标函数对应的 直线与可行域多边形的一条边平行时，最优 解可能有多个甚至无数个．
1 ． (2014 东 北 三 省 四 市 三 模 ) 不 等 式 组
所围成的平面区域的面积
B．6 2 D．3
解析：不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC，易求
B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)
1 1 ∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC＝ ×2×4－ ×2×1＝3.故选 D. 2 2
答案：D
3 ． (2014 唐 山 市 高 三 模 拟 ) 已 知 x ， y 满 足 x－y≥－1， x＋y≥1， 3x－y≤3， A． 2 C．－1
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，
边界应画为虚线，特殊点常取原点． (3)求平面区域的面积，要先画出不等式 (组)表示的平 面区域，然后根据平面区域的形状求面积，必要时分割区 域为特殊图形求解．
即时突破 1 (2014 山东省泰安市高三模拟)已知不等式 y≤－x＋2， 组 y≤kx－1， y≥0 1 所表示的平面区域是面积等于 的三角 4 ) 1 B．－ 2 D．1
高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ， 则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3， 所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大， 当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0， 若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *） 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是． 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0， 若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．注意：1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )题组二 教材改编2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)题组三：易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．46．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．三、典型例题题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1：不含参数的平面区域问题典例在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C.12D.14命题点2：含参数的平面区域问题 典例 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43思维升华：(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2题型二：求目标函数的最值问题命题点1：求线性目标函数的最值典例 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9命题点2：求非线性目标函数的最值典例 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12命题点3：求参数值或取值范围典例 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有 ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 题型三：线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？思维升华：解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 四、反馈练习1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋4≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤02．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3， 则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3 3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________． 12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1B ．－52＋17 C.13D ．－75 14．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为______．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考 点 串 串 讲1．二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)．(3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：①用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域。
②Ax＋By ＋C ＞0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的平面区域，不包括边界；Ax ＋By ＋C≥0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0及直线某一侧的平面区域，包括边界．③画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法；特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．④二元一次不等式组所表示的平面区域为各个不等式所表示的平面点集的交集，即公共部分．⑤在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．若P 、Q 在直线l 的同一侧，则Ax1＋By1＋C 与Ax2＋By2＋C 同号；若P 、Q 在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C 与Ax2＋By2＋C 异号．这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”． 2．线性规划(1)线性规划的有关概念①约束条件：由x 、y 的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x ，y 的约束条件．②线性约束条件：关于x 、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x ，y 的线性约束条件．③目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式． ④线性目标函数：目标函数为x 、y 的一次解析式．⑤线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．⑥可行解：满足线性约束条件的解(x ，y)．⑦可行域：所有可行解组成的集合．⑧最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移：将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值． (3)关于线性规划的几点说明：①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多．②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到．(4)求目标函数z ＝ax ＋by 的最值，要把z 与直线y ＝－a b x ＋zb的截距联系起来去理解．(5)线性规划的图解法及其应用．图解法的步骤：①求可行解——即可行域． 将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)．②作出目标函数的等值线．目标函数z ＝ax ＋by(a 、b∈R 且a 、b 为常数)，当z 是一个指定的常数时，就表示一条直线．位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z ，因此称之为等值线．当z 为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z 的变化状态．③求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解． 3．线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务．②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．(2)线性规划中的常见问题：①物资调运问题 ；②产品安排问题；③合理下料问题；④配方问题．(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：①模型建立；②模型求解； ③模型应用． (4)关于线性规划的实际应用的几点说明：①解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．②因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，求不出可能是最优点的坐标. 典 例 对 对 碰题型一 二元一次不等式组表示平面区域例1如图，在△ABC 中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．分析 首先写出△ABC 三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组． 解析 解法一：由两点式得AB 、BC 、CA 直线方程并化简为： AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0， AC ：2x ＋y －5＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.解法二：由AB 的方程及三角形区域在AB 上方， 根据“同号在上”原则，得不等式x ＋2y －1≥0. 由BC 的方程及三角形区域在BC 下方，根据“异号在下”原则，得不等式x －y ＋2≥0. 同理得2x ＋y －5≤0，从而得不等式组．点评 判断二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断.变式迁移1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＞0，x ＋2y ＋1≥0，1＜|x －2|≤3表示的平面区域．解析 不等式x －2y ＋1＞0表示直线x －2y ＋1＝0右下方的点的集合；不等式x ＋2y ＋1≥0表示直线x ＋2y ＋1＝0上及其右上方的点的集合；不等式1＜|x －2|≤3，可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平行线x ＝－1和x ＝1之间或在两平行线x ＝3和x ＝5之间的带状区域，但不包括直线x ＝1和x ＝3上的点．所以，原不等式组表示的区域如图所示． 题型二 线性目标函数的最值问题例2已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋8y ＋15≥0，5x ＋3y －6≤0，2x －5y ＋10≥0，则z ＝x －y 的取值范围是________．解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋8y ＋15＝0，5x ＋3y －6＝0，得B(3，－3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋8y ＋15＝0，2x －5y ＋10＝0，得A(－5,0)．当z 为常数时，－z 表示直线z ＝x －y 在y 轴上的截距，如图所示；当点(x ，y)位于A 点时，－z 取最大值， ∴zmin＝－5－0＝－5；当点(x ，y)位于B 点时，－z 取最小值； ∴zmax＝3－(－3)＝6.综上所述，目标函数z 的取值范围是[－5,6]． 答案 [－5,6]点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后)通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个.变式迁移2设z ＝2y －2x ＋4，式中x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤2，2y －x≥1.求z 的最大值和最小值．解析 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤2，2y －x≥1.的可行域(如图所示)．作直线l ：2y －2x ＝t ， 当l 经过点A(0,2)时，zmax ＝2×2－2×0＋4＝8；当l 经过点B(1,1)时，zmin ＝2×1－2×1＋4＝4.题型三 平面区域的面积问题例3在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y)|x ＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y)|(x ，y)∈A}的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析 令⎩⎪⎨⎪⎧u ＝x ＋y ，v ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧u≤1，u ＋v≥0，u －v≥0，通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积S ＝12×2×1＝1.故选B.答案 B点评 求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题．若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加．在划分时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度.变式迁移3求不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域的面积．解析 |x|＋|y|≤2可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y≤2.或⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≤0，x －y≤2.或⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0，y≥0，－x ＋y≤2.或⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≤0，－x －y≤2.其平面区域如图所示．∴面积S ＝12×4×4＝8.题型四 利用可行域求非线性函数的最值例4．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y －7≥0，x －2y ＋2≥0，3x －y －4≤0，试求z ＝x2＋y2＋2x ＋4y 的取值范围．解析 如图所示作出约束条件所表示的平面区域△ABC， 易求A(2,2)、B(1，32)、C(32，12)，因为x2＋y2＋2x ＋4y ＝x ＋12＋y ＋22－5，又因为方程Z ＝(x ＋1)2＋(y ＋2)2表示的曲线为以点D(－1，－2)为圆心，半径为Z 的圆，所以观察图，知当圆过A 点时，Z 取得最大值5.过D 作DE⊥BC 于E ，易知kDE ＝12，从而知直线DE 的方程为x －2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，4x ＋2y －7＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－12，即点E 的坐标为(2，－12)，显然E 在线段BC 的延长线上，从而知当圆过点C 时，Z 取得最小值522，故z ＝x2＋y2＋2x ＋4y 的取值范围为[302，25]． 点评 利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的.变式迁移4已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0且z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2在什么时候z 取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？解析 作出可行域如图解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝03x －y －5＝0得A(2,1) 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －2y ＋5＝0得B(3,4)z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的几何意义为可行域内的点(x ，y)为点(－1，－1)的距离的平方显然当圆过A 点时半径最小，最小值为13，圆过B 点时半径最大，最大值为41.题型五 可行域与斜率的最值问题例5若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y≤2，则yx的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y≤2，表示的平面区域为如图所示的△ABC 及其内部(不包括边AC)，yx表示点(x ，y)与原点O 连线的斜率，当点(x ，y)在B 处时，y x 有最小值21＝2.当点(x ，y)由B 在区域内向左移动时yx越来越大，故yx的取值范围是[2，＋∞)．答案 D 变式迁移5已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥x，4x ＋3y≤12，则y －2x ＋1的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 作出可行域如图所示，设点M(x ，y)在可行域内，定点P 的坐标为(－1,2)，则目标函数y －2x ＋1的值为直线PM 的斜率，因为PO 、PA 的斜率分别为－2、2，由图可得y －2x ＋1的取值范围是[－2,2]．题型六 线性规划的实际应用例6某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦，劳力10个；甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？分析 将已知数据列成表，如下表所示.解析 设每天生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 万元，那么⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤300，4x ＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥15，y≥15.作出以上不等式的可行域，如图．目标函数为z ＝7x ＋12y.作出在一组平行直线7x ＋12y ＝t 中(t 为参数)经过可行域内的点且和原点距离最远的直线．此直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A(20,24)．即生产甲、乙两种产品分别为20t,24t 时，利润总额最大． zmax ＝7×20＋12×24＝428(万元). 变式迁移6某工厂家具车间生产A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1h 和2h ，漆工油一张A 、B 型桌子分别需要3h 和1h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h 和9h ，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获得利润200元和300元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解析 设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，3x ＋y≤9，x≥0，y≥0，目标函数为：z ＝2x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，把直线l ：2x ＋3y ＝0向右上方平移到l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝2x ＋3y 取得大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋y ＝9，得M 的坐标为(2,3)．∴每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润．【教师备课资源】题型七 线性规划中的整数解问题例7某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车与4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：A 型卡车为8次而B 型卡车为6次．每辆卡车每天往返的成本费用情况是：A 型卡车160元，B 型卡车252元，试问：A 型卡车与B 型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低．分析 本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力．解题时一定注意最优解是整数解．解析 设每天出动的A 型卡车数为x ，则0≤x≤7，每天出动的B 型卡车数为y ，则0≤y≤4，因为每天出车的驾驶员最多9名，则x ＋y≤9， 每天要完成搬运任务，则48x ＋60y≥360， 每天公司所花成本费用为z ＝160x ＋252y.本题即求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤7，0≤y≤4，x ＋y≤9，48x ＋60y≥360.且使z ＝160x ＋252y 取得最小值的非负整数x 与y 的值． 不等式组表示的平面区域，即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD 区域(含边界线段)，它的顶点是A(52，4)，B(7，25)，C(7,2)，D(5,4)．结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)、P2(4,3)、P3(4,4)、P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1)，C(7,2)共10个点．作直线l ：160x ＋252y ＝0.将l 向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)处，得到的z 的值最小．zmin ＝160×5＋252×2＝1304.答：当公司每天出动A 型卡车5辆，B 型卡车2辆时，工司的成本费用最低. 变式迁移7已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤82x ＋y≤8x∈N*，y∈N*目标函数为z ＝3x ＋y ，求得x ＝4，y ＝0时，zmax ＝12.但题中要求x 、y∈N*，请调整一下最优解与目标函数的最大值．解析 ∵0∉N*，∴x＝4，y ＝0不在可行域内，不是最优解． ∵在可行域内z ＝12时仅有x ＝4，y ＝0， ∴z 最大取不到12，∵x、y∈N*，z ＝3x ＋y∈N*，∴考虑z ＝3x ＋y ＝11时取最大，而此时可行域内有x ＝3，y ＝2使z ＝11， ∴最优解为x ＝3，y ＝2，zmax ＝11. 题型八 线性规划与其它知识的综合例8设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y≤－nx ＋3n ，所表示的平面区域为Dn ，设Dn 内的整点个数为an(n∈N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n 项和为Sn ，且Tn ＝Sn3·2n－1，若对于一切正整数n ，总有Tn≤m，求实数m 的取值范围．解析 (1)由x ＞0，－nx ＋3n≥y＞0，得0＜x ＜3，∴x＝1或x ＝2. ∴Dn 内的整点在直线x ＝1或x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y1、y2， 则y1＝－n ＋3n ＝2n ，y2＝－2n ＋3n ＝n ， ∴an＝3n(n∈N*)．(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝3n n ＋12，∴Tn＝n n ＋12n，∴Tn＋1－Tn ＝n ＋1n ＋22n ＋1－n n ＋12n＝n ＋12－n 2n ＋1，∴当n≥3时，Tn ＞Tn ＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝32，∴T2，T3是数列{Tn}的最大项，故m≥T2＝32.点评 本题把二元一次不等式组所表示的平面区域和数列综合在一起，所考查的线性规划知识很浅显，也很简单，核心部分则是考查数列的有关知识.变式迁移8已知实系数一元二次方程x2＋(1＋a)x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则ba 的取值范围是( )A ．(－1，－12)B ．(－1，－12]C ．(－2，－12]D ．(－2，－12)答案 D解析 本题看似与线性规划无关，但利用二次函数讨论一元二次方程的根的取值情况后，即可得到关于a 、b 的约束条件，目标函数ba即为过原点的直线的斜率．记f(x)＝x2＋(1＋a)x ＋a ＋b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝a ＋b ＋1＞0，f 1＝2a ＋b ＋3＜0，如图所示，可行域是以P(－2,1)为顶点的角的内部．记原点为O(0,0)，则动直线OM(M为可行域内的点)的斜率b a 的取值范围是(－2，－12)，故选D.正 误 题 题 辨例。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
是
（C）
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m
的取值范围是 A.m<-5或m>10
（C ）
B.m=-5或m=10
C.-5<m<10
D.-5≤m≤10
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6
3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}， 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是
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10
y x=3 x-y+5=0
5
( 5 , 5 ) 22
(3,8)
x y5 0
x
y
0
x 3
-5
O
3
x
(3,-3)
(1)x[5,3],y[3,8]. 2
(2)平面区域内的整点共有
x+y=0 2+4+6+8+10+12=42个.
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知能迁移1 如图△ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域 所表示的二元一次不等式组.
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[06广东高考]
x 0,
在约束条件
y y
0, x
s
下，当 3≤s≤5 时，
y 2 x 4
目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是 D
(A) [6,15]
(B) [7,15] y
(C) [6,8]
(D) [7,8]
4
C(0,s) B(4-s,2s-4)
y+ x= s
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(1)
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（1）一、基础知识批注——理解深一点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域 直线同侧同号，两侧异号. 2．(1)约束条件：由变量x ，y 组成的一次不等式．(2)线性约束条件：由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组．(3)目标函数：欲求最大值或最小值的函数．线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式．(4)可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合．(5)(6)二、常用结论汇总——规律多一点1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(二)选一选：1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.343．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 (三)填一填：4．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．5．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0，则x －2y 的最大值为________．考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例] (1)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 (2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．[解题技法]：1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．[题组训练]：1．若M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1 B.32 C.34D.74 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞。
二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
实际问题转化为数学问题
识别问题中的决策变量
在简单线性规划问题中，首先需要识别出问题的决策变量，这些变量通常是问题中需要优化的量，如成本、时间、资源等。
明确问题的目标
确定问题的优化目标，即是求最大值还是最小值，以及对应的数学表达式。
列出约束条件
根据问题的实际情况，列出所有对决策变量的约束条件，这些条件通常以不等式或等式形式给出。
深入研究二元一次不等式(组)的性质和解法
将线性规划方法应用于更多领域，如经济、管理、工程等，解决实际问题。
拓展简单线性规划问题的应用领域
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汇报日期
01
二元一次不等式(组)的基本概念和解法
包括不等式(组)的定义、性质、解法等。
02
简单线性规划问题的建模与求解
包括线性规划问题的定义、建模方法、求解算法等。
学生自我评价报告分享
通过作业、测试和课堂表现等多种方式，展示了学生对本课程内容的掌握情况。
学习成果展示
部分学生分享了他们在学习过程中的有效方法和经验，如定期复习、多做练习、寻求帮助等。
选择一个初始基，并求出对应的基本可行解。
1.确定初始基本可行解
单纯形法计算步骤演示
单纯形法应用举例
1. 生产问题
某工厂生产A、B两种产品，每种产品都需要消耗一定的资源。通过单纯形法可以求解在资源有限的情况下，如何安排生产使得利润最大。
2. 运输问题
有若干个供应点和需求点，每个供应点有一定数量的货物，每个需求点有一定数量的需求。通过单纯形法可以求解如何安排运输方案使得总运费最小。
若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者最优值相等。
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题要点梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．23.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 强化训练1．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为 A.12 B ．1 C.32D ．2 2．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125 D ．2 4．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．5．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．7．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________． 8．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．. 9．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．10．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．11．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？。
专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
专题七 不等式第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题2019年1.（2019浙江3）若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．122.（2019北京理5）若x ,y 满足1x y ≤-，且1y ≥- 则3x y +的最大值为（A ）－7 （B ）1 （C ）5 （D ）73.（2019天津理2）设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.62010-2018年一、选择题1．(2018天津)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥ 则目标函数35z x y =+的最大值为A ． 6B ．19C ．21D ．452．（2017新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩≤≥≥，则2z x y =+的最小值是A ．B ．C ．D ．3．（2017天津）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．3 4．（2017山东）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．65．（2017北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤ 则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．96．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ． [0，4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞7．(2016年山东)若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．128．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =A ．B ．4C ．D ．69．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为A ．4-B ．6C ．10D ．1710．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11．（2015天津）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为A ．3B ．4C ．18D ．4012．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 13．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．－2D ．－314．（2014新课标Ⅰ）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是A ．2p ，3pB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3p15．（2014安徽）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不．唯一．．，则实数a 的值为（ ） A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 16．（2014福建）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．4917．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为A ．2B ．-2C ．12D ．12- 18．（2013新课标Ⅱ）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是A ．7-B ．6-C ．5-D ．3-19．（2013陕西）若点(,)x y 位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为A ．－6B ．－2C ．0D ．220．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是A ．48B ．30C ．24D ．1621．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．－122．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D ．6-23．（2012山东）设变量y x ,满足约束条件222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩，则目标函数y x z -=3的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23C ．[]6,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6 24．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．1-B ．1C ．32D ．225．（2012天津）设变量,x y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 A ．−5 B ．−4 C ．−2 D ．326．（2012辽宁）设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55A ．3B ．4C ．D ．28．（2011安徽）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－129．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1++∞） C ．（1,3 ） D ．（3，+∞）30．（2010新课标）已知ABCD 的三个顶点为A (－1，2)，B (3，4)，C (4，－2)，点(x ，y )在ABCD 的内部，则z =2x －5y 的取值范围是A ．（－14，16）B ．（－14，20）C ．（－12，18）D ．（－12，20）31．（2010山东）设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为A ．3,11-B ．3,11--C ．11,3-D ．11,3二、填空题32．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．33．(2018全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件220100--⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤x y x y y ，则32z x y =+的最大值为__．34．(2018全国卷Ⅱ)若,x y 满足约束条件25023050+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤，x y x y x 则=+z x y 的最大值为___．35．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．36．（2017新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，则32z x y =-的最小值为 ．37．（2017新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为__．38．(2016年全国I)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.39．(2016全国III)若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为 ．40．(2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ．41．（2015新课标Ⅰ）若,x y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则y x 的最大值为 ． 42．（2015新课标Ⅱ）若,x y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为__．43．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．44．（2014浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．45．（2014湖南）若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k = ．46．(2013新课标Ⅰ)设,x y 满足约束条件13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为___．47．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2242240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--<⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ .48．（2013湖南）若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x +y 的最大值为________．49．（2012新课标）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，则y x z 2-=得取值范围 为 ．50．（2011湖南）设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．51．（2011陕西）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．52．（2011新课标）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值 是_________．53．(2010安徽)设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为 __ _．54．（2010陕西）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c如下表：CO的排放量不超过2（万吨）则购买铁某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2矿石的最少费用为（万元）．三、解答题。
专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答案
专题七 不等式第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答案部分1．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．C 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线35y x =-．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由15x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ，所以max 325321a =⨯+⨯=，故选C ．3．D 【解析】可行域如图阴影部分，由图可知，目标函数z x y =+过(3,0)点z 取最大值3．选D ． 4．A 【解析】如图为可行域结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A ．5．B 【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A 处取得最小值033z =-=- . 在点()2,0B 处取得最大值202z =-=，选B ．x6．D 【解析】不等式组可行域如图阴影部分，当2z x y =+过(1,2)A -时取得最大值3，选D ．7．D 【解析】如图阴影为可行域，可知在(2,1)A时，min 4z =，无最大值．x所以2z x y =+的取值范围是[4,)+∞．选D ． 8．D 【解析】不等式组可行域如图阴影部分，x目标函数2z x y =+过点(3,3)C 时，取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D. 9．C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=．故选C ．10．B 【解析】画出不等式组的平面区域如图所示，由23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(1,2)A ，由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 得(2,1)B ，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即||AB ==B ．11．A 【解析】画出可行域(图略)，可知在点(0,1)处z 取得最小值min 2011z =⨯-=-． 12．D 【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+．由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值， 所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．13．C 【解析】画出可行域（图略），可知目标函数在点(2,3)处有最大值9．14．B 【解析】由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：20x y +-=与直线BC :20x y m -+=互相垂直，所以ΔABC 是直角三角形；易知(2,0)A ，(1,1)B m m -+，C (2422,33m m -+)； 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得m =3-，或m =1；检验知当m =3-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m =1；故选B ．15．B 【解析】作出可行域（图略）可知，目标函数过点(4,1)-时取最大值．16．A 【解析】作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点(1,1)A 处，z 取得最大值，故max 2111z =-⨯+=-．17．C 【解析】 将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121mB m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ．18．A 【解析】根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示当动点在线段AC 上时xy 取得最大，此时2x ＋y ＝10．21125(2))2222x y xy x y +=⋅≤=（．当且仅当52x =，5y =时取等号，对应点落在线段AC 上．故最大值为252．故选A ．19．C 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数2z x y =+经过可行域内的点A （2，-1）时，取得最小值0，故20x y +≥，因此12,p p 是真命题，选C ．20．D【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，ax y z -=取得最大值表示直线ax y z -=向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：1a =-或2a =．21．C 【解析】平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心(,)C a b ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为1y =（-2≤x ≤6），由图形得，当点C 在点(6,1)N 处时，22a b +取得最大值226137+=，故选C ．22．D 【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <-时．z y x =-取得最小值2；当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意，当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-2k，0），C(0，2)所围成的三角形区域，当直线z y x =-经过点B （-2k ，0）时，有最小值，即2()4k --=-，所以得12k =-．故选D ．23．B 【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233zy x =-．作出可行域如图，平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线23z x y=-得32346z =⨯-⨯=-，选B ．24．A 【解析】2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0)，(-2,2)，(2,2)．且当取点(-2,2)时，2x – y =－6取最小值．所以选A ．25．C 【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8-，则24a b -=，选C ．26．B 【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈．27．C 【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-．28．A 【解析】作出可行域，直线03=-y x ，将直线平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即362z -剟,应选A ．29．B 【解析】由题意，230y xx y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y =2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，如图所示．则m m 23≥-可得m ≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B ．30．B 【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223zx y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B ．31．D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D ．32．B 【解析】画出区域D 如图所示，而z =·y +，所以y z =+，令0l：y =，平移直线0l 过点2)时，z取得最大值，故max 24z =．33．B 【解析】如图先画出不等式||||1x y +≤表示的平面区域，易知当0x =，1y =时，2x y +取得最大值2，当0,1x y ==-时，2x y +取得最小值－2，选B．34．A 【解析】 画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值，由21211m m m+<++解得11m <<． 35．B 【解析】当直线z=2x -5y 过点B 时,min 14z =-,当直线z=2x -5y 过点D(0,-4)时，max 20z =，所以z =2x -5y 的取值范围为（－14，20），点D 的坐标亦可利用AB DC =求得．36．A 【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=34x y -平移到点（5，3）时，目标函数z=34x y -取得最大值3； 当直线z=34x y -平移到点（3，5）时，目标函数z=34x y -取得最小值-11，故选A ． 37．6【解析】作出可行域为如图所示的∆ABC 所表示的阴影区域，作出直线320+=x y ，并平移该直线，当直线过点(2,0)A 时，目标函数32z x y =+取得最大值：且max 32206=⨯+⨯=z ．38．9【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线0x y +=，平移该直线，当直线过点(5,4)B 时，z 取得最大值，max 549z =+=．=039．3【解析】易知13z x y =+在可行域的顶点取得最大值，由230240x y x y ++=⎧⎨-+=⎩， 解得21x y =-⎧⎨=⎩，代入13z x y =+，可得53z =-；由23020x y x ++=⎧⎨-=⎩，解得27x y =⎧⎨=-⎩，代入13z x y =+，可得13z =-；由20240x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，代入13z x y =+，可得3z =；可知，z 的最大值为3．40．3【解析】作出不等式组21y xx y ⎧⎨+⎩≤≤，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，yxOy=12x y=x+1y=2xA令2z y x =-，作出直线20y x -=，平移该直线，当直线过点(1,2)A 时，2y x -取得最小值，最小值为2213⨯-=．41．−2；8【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4,2)-为顶点的三角形及其内部区域（图略）．由线性规划的知识可知，目标函数3z x y =+在点(2,2) 处取得最大值，在点(4,2)-处取得最小值，则最小值min 462z =-=-，最大值max 268z =+=．42．4[,13]5【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线220x y +-=， 所以22min 4()5x y +=，又当(,)x y 取点(2,3)时，22x y +取得最大值13， 故22x y +的取值范围是4[,13]5．43．216000【解析】由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润2100900z x y =+，线性约束条件为 1.50.51500.390536000,0x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩………厖，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x N ∈，y N ∈，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以max 210060900100216000z =⨯+⨯=（元）．44．10-【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当235z x y =+-经过点(1,1)A --时，z 取得最小值，min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-．45．7 【解析】 由目标函数23z x y =+的可行域为ΔABC 边界及其内部（如图所示）．令0z =，即230x y +=，平移直线230x y +=至目标函数的可行域内，可知当23x y z +=过点(2,1)A 时，z 取得最大值，即max 22317z =⨯+⨯=．46．4 【解析】 作出可行域（图略），作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线:3z x y =+过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩，解得A （1,1），∴3z x y =+的最大值为4．47．4【解析】如图阴影部分，可知12(22)42ABC S ∆=⨯⨯+=48．3[1,]2【解析】由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为3(1,0),(1,),(2,1)2，都代入14ax y +≤≤，可得312a ≤≤．49．－2【解析】画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线20x y +=，可知在点(,)k k 处2z x y =+取得最小值，故26z k k =+=-． 解得2k =-．50．3【解析】做出可行域可知，当3,3x y ==的时候z 有最大值351．2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示y kx z =-+．当k >0时，直线0l ：y kx=-平移到A 点时目标函数取最大值，即当4k +4=12 所以k =2 ，当k <0时，直线：y kx =-平移到A 或B 点是目标函数取最大值，可知k 取值是大于零，所以不满足，所以k =2，所以填2．52．6【解析】画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线0x y +=，x y +在点(4，2)处取得最大值，此时()max 426x y +=+=．53．[3,3]-【解析】约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-．54．3【解析】画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值为4，解得3m = 55．1【解析】目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 的值最小，此时2111z =⨯-=．56．－6【解析】根据32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩得可行域，根据2z x y =+得22x zy =-+，平移2xy =-，易知在点(4,5)-处z 取得最小值－6． 57．4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)2，易见目标函数在(1,4)取最大值8，所以844ab ab =+⇒=，所以4a b +≥=，在2a b ==时是等号成立．所以a b +的最小值为4．.58．15【解析】设购买铁矿石A 和B 各x ，y 万吨，则购买铁矿石的费用y x z 63+=，x ，y 满足约束条件0.50.7 1.90.520,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥≥，表示平面区域（图略）则当直线y x z 63+=过点B （1,2）时，购买铁矿石的最少费用z =15．59．【解析】（Ⅰ）由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≤≥≥即7660,6,20,0,0,x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：xx（图1） （图2）（Ⅱ）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大． 解方程组7660,20,x y x y +=⎧⎨-=⎩得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．60．【解析】（Ⅰ）由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分．(1)（Ⅱ）设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z .答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.(2)61．【解析】设为该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+，且满足以下条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,54106426664812y x y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,275371623y x y x y x y x ，做出可行域（图略）作直线:2.540l x y +=，平移直线l 至0l ，当0l 经过C 点时，可使z 达到最小值． 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3472753y x y x y x 即(4,3)C ， 此时 2.544322z =⨯+⨯=，答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元．。
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专题七不等式第二十讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2018天津)设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,x yx yx yy+⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥则目标函数35z x y=+的最大值为A．6 B．19 C．21 D．452．（2017新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩≤≥≥Error! Digit expected.，则2z x y=+的最小值是A．B．C．D．3．（2017天津）设变量,x y满足约束条件20,220,0,3,x yx yxy+⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y=+的最大值为A．23B．1 C．32D．34．（2017山东）已知x，y满足3035030x yx yx-+⎧⎪++⎨⎪+⎩≤≤≥，则2z x y=+的最大值是A．0 B．2 C．5 D．65．（2017北京）若x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤则2x y+的最大值为A．1 B．3 C．5 D．96．（2017浙江）若x，y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y=+的取值范围是A ．[0，6]B ． [0，4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞7．(2016年山东)若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．128．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =A ．2B ．4C ．2D ．69．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为A ．4-B ．6C ．10D ．1710．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为甲 乙 原料限额 A （吨）3 2 12 B （吨） 1 2 8A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11．（2015天津）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为A ．3B ．4C ．18D ．4012．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 13．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．－2D ．－314．（2014新课标Ⅰ）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是A ．2p ，3pB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3p15．（2014安徽）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不．唯一．．，则实数a 的值为（ ） A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 16．（2014福建）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．49 17．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为A ．2B ．-2C ．12D ．12- 18．（2013新课标Ⅱ）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是A ．7-B ．6-C ．5-D ．3-19．（2013陕西）若点(,)x y 位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为A ．－6B ．－2C ．0D ．220．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是A ．48B ．30C ．24D ．1621．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．－122．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D ．6-23．（2012山东）设变量y x ,满足约束条件222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩，则目标函数y x z -=3的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23C ．[]6,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6 24．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．1-B ．1C ．32D ．225．（2012天津）设变量,x y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 A ．−5 B ．−4 C ．−2 D ．326．（2012辽宁）设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．5527．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为2,1)，则z =OM ·OA 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．2 D ．228．（2011安徽）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－129．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，12B ．（12+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）30．（2010新课标）已知ABCD 的三个顶点为A (－1，2)，B (3，4)，C (4，－2)，点(x ，y )在ABCD 的内部，则z =2x －5y 的取值范围是A ．（－14，16）B ．（－14，20）C ．（－12，18）D ．（－12，20）31．（2010山东）设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为A ．3,11-B ．3,11--C ．11,3-D ．11,3二、填空题32．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．33．(2018全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件220100--⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤x y x y y ，则32z x y =+的最大值为__．34．(2018全国卷Ⅱ)若,x y 满足约束条件25023050+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤，x y x y x 则=+z x y 的最大值为___．35．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．36．（2017新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，则32z x y =-的最小值为 ． 37．（2017新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为__．38．(2016年全国I)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.39．(2016全国III)若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为 ． 40．(2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ．41．（2015新课标Ⅰ）若,x y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则的最大值为 ． 42．（2015新课标Ⅱ）若,x y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为__．43．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．44．（2014浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．45．（2014湖南）若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k = ．46．(2013新课标Ⅰ)设,x y 满足约束条件13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为___． 47．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2242240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--<⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ .48．（2013湖南）若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x +y 的最大值为________．49．（2012新课标）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，则y x z 2-=得取值范围 为 ．50．（2011湖南）设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．51．（2011陕西）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．52．（2011新课标）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值 是_________． 53．(2010安徽)设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为 __ _．54．（2010陕西）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：b (万吨)c （百万元） A50％ 1 3 B 70％ 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 （万元）．三、解答题55．（2010广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C ．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C ．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?。