竞赛讲座14 (3)

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信息技术竞赛讲座

第一课时：网络作用教学内容：1、网络概念2、网络作用教学目标：通过学习，使学生了解网络概念和作用。

教学过程：一、什么是因特网1、网络概念：网络就是用电缆或者光缆及其网络连接设备把多台计算机连接起来，再配置适当软件和硬件，能够在计算机之间互相交换信息和数据系统。

2、网络分类：网络按其覆盖地域范围大小大致可分为：局域网、广域网。

3、什么是因特网？因特网是英文Internet中文译名，也叫国际互联网，它是计算机网络互相连接成信息传输网络，互联网把人类带到了一个全新信息时代！二、因特网应用。

1、因特网功能可以简单归纳为两点：通信与资源共享。

2、举例：音乐、体育、文学、交朋友等都可以在网上进行。

三、因特网安全问题。

1、计算机病毒（1）什么是计算机病毒？首先它是一个程序。

“计算机病毒”为什么叫做病毒。

首先，与医学上“病毒”不同，它不是天然存在，是某些人利用计算机软、硬件所固有脆弱性，编制具有特殊功能程序。

其能通过某种途径潜伏在计算机存储介质(或程序)里,当达到某种条件时即被激活,它用修改其他程序方法将自己精确拷贝或者可能演化形式放入其他程序中,从而感染它们，对计算机资源进行破坏这样一组程序或指令集合。

（2）计算机病毒给我们带来危害。

（3）常见杀毒软件：KV系列、瑞星系列、金山毒霸系列等等。

四、学生作业：完成思考与练习。

第二课时:认识因特网教学内容：因特网功能教学目标：使学生了解因特网功能及实现这一功能方法和应用.教学过程：教师边讲解边演示一、WWW环球信息网WWW环球信息网概念及作用。

WWW是一个以Internet为基础计算机网络，它允许用户在一台计算机通过Internet存取另一台计算机上信息。

人们要以用浏览器来浏览网页，获得信息。

二、电子邮件服务E－mail人们只要申请到一个“电子邮箱”就会拥有一个电子邮箱地址。

然后就可以收发电子邮件了。

三、文件下载我们将因特网上一些文件保存到自己永无休止机中，通常称这样操作为“下载”。

竞赛讲座-晶体

8-1 简要说明加入熔点高的KCl反而使电解温度大大下降的原因；
8-2 有人认为，LiCl和KCl可形成固溶体（并画出了“固溶体的晶胞”）。但实验表明，液相LiCl和KCl能以任意比例混溶而它们的固相完全不混溶（即不能生成固溶体！）。请解释在固相中完全不混溶的主要原因。
8-3 写出计算LiCl和KCl两种晶体密度之比的表达式(须包含离子半径的符号)；
晶胞的选取：晶胞具有平移性，晶胞的组成应附合化学式。
但离子在晶体中的位置并不是绝对的，例如氯化铯晶体可取氯离子为项角（0，0，0），铯离子为体心（1/2，1/2，1/2）的晶胞，也可取铯离子为顶角（0，0，0），氯离子为体心（1/2，1/2，1/2）。
例(2003全国第6题)2003年3月日本筑波材料科学国家实验室一个研究小组发现首例带结晶水的晶体在5K下呈现超导性。据报道，该晶体的化学式为Na0.35CoO2·1.3H2O，具有……－ CoO2－H2O－Na－H2O－CoO2－H2O－Na－H2O－……层状结构；在以“CoO2”为最简式表示的二维结构中，钴原子和氧原子呈周期性排列，钴原子被4个氧原子包围，Co－O 键等长。
原子晶体
金刚石和石英（SiO2）是最典型的原子晶体，其中的共价键形成三维骨架网络结构（后者可以看成是前者的C-C键改为Si-Si键而又在其间插入一个氧原子，构成以氧桥连接的硅氧四面体共价键骨架。
金属晶体
为使电子的能级可以尽可能多的重叠，形成“少电子多中心”键，金属在形成晶体时倾向于组成极为紧密的结构。
结构类型阳离子配位数配位多面体阴离子配位数配位多面体
CsCl
8
NaCl
6
ZnS
4
CaF2
8

1(高中竞赛讲座)数学方法选讲(1)

高中数学竞赛讲座11数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。

条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。

谁放入了最后一枚硬币谁获胜。

问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。

这时，图中共有1997条互不重叠的线段。

问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。

现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。

问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。

然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。

那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。

极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。

初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题

初一数学竞赛讲座（三)数字、数位及数谜问题一、一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯---其中，a i (i=1，2，…，n ）表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0。

对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -2、正整数指数幂的末两位数字(1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。

(2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数,则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。

3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题,这类问题称为数迷问题。

这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑"、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。

二、二、例题精讲例1、有一个四位数,已知其十位数字减去2等于个位数字,其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数.分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。

解：设所求的四位数为a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d ，依题意得:（a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d)+（ d ⨯103+c ⨯102+b ⨯10+a)=9988∴ （a+d ） ⨯103+(b+c) ⨯102+(b+c) ⨯10+ (a+d ）=9988比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18又∵c —2=d,d+2=b ，∴b-c=0从而解得：a=1,b=9，c=9，d=7故所求的四位数为1997评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题.例2 一个正整数N 的各位数字不全相等,如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数",试求所有的三位“新生数”。

物理竞赛讲稿3

E x = ∫ dE
x
E y = ∫ dE
y
2. 电场具有某种对称性时, 用Gauss 定律求场强电场具有某种对称性时定律求场强求场强. v v 1 ∫S E ⋅ dS = ∑ q内
ε0
关键: 关键选取Gauss 面. 3.先求任一点电势再利用场强与电势的微分关系先求任一点电势,再利用场强与电势的微分关系先求任一点电势再利用场强与电势的微分关系, 求场强. 求场强 ∂U ∂U EX = − EY = − ∂x ∂y
dq dq 4πε 0 R 2
轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，因半圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，则有， E = ∫ dE y j dE x = 0 L ∫
E1 = − ∫
E1 = − ∫
π
λ λ sin θdθ = − 4πε 0 R 2π ε 0 R 0
λdl sin θ ⋅ 2 ⋅ L 4πε R 0
∫ )d U (
Q
3.电场力作功和电势能的计算电场力作功和电势能的计算 Aab = q 0 (U a − U b )
dW = Udq
W = ∫ U dq
线电荷密度为λ的无限长均匀例1 线电荷密度为的无限长均匀带电荷直线弯成如图所示形状，带电荷直线弯成如图所示形状，圆弧半径为R，圆弧半径为，求O点的场强。点的场强。一半径为R的半圆细环上解：(1) 一半径为的半圆细环上均匀分布电荷λ(线电荷密度线电荷密度)，均匀分布电荷线电荷密度，求环心处的电场强度。环心处的电场强度。在弧线上取线元dl，其电荷在弧线上取线元，其电荷dq 它在点O的电场强度它在点O的电场强度 dE1 =

《高等数学竞赛讲座》课件

V. 总结
总结竞赛内容和要点: 总结竞赛中涉及的各个数学领域的知识点和解题技巧。
鼓励学生参加竞赛的积极性和热情: 引导学生重视高等数学竞赛，激发他们的兴趣和热情。
提高学生数学素养和竞赛水平的建议和指导: 给出一些建议和指导，Байду номын сангаас助学生提高数学素养和竞赛水平。
III. 解题技巧
常用方法和技巧: 学习解题技巧，如逆向思维、数学归纳法和构造法等，以提高解题效率。
常见易错点: 分析竞赛中出现的典型错误，帮助同学们避免常见的陷阱。
优秀解题方法分享: 分享一些优秀同学的解题思路和方法，启发大家寻找更多解题思路。
IV. 答疑解惑
对于难题的解释和讲解: 解释高难度题目的解题思路和方法，帮助同学们理解和掌握。对于同学提出的问题进行回答和解决: 回答同学们在竞赛准备中遇到的疑惑和困惑，帮助他们解决问题。
例题1：极限计算: 分析极限的定义、运用不同的极限性质，解答复杂的极限计算题目。例题2：方程求解: 利用数学方法解决各类方程，包括多项式方程、三角方程和指数方程。例题3：向量运算: 讨论向量的性质和运算法则，解决与向量相关的几何和代数问题。例题4：微分方程: 掌握微分方程的基本概念和解题方法，分析各种类型的微分方程。例题5：不等式证明: 运用数学推理和逻辑推断，证明各类数学不等式。
《高等数学竞赛讲座》 PPT课件
I. 竞赛内容
概述: 高等数学竞赛是一个充满挑战和乐趣的比赛，涉及各个数学领域的题目。
题型:题目覆盖了极限计算、方程求解、向量运算、微分方程以及不等式证明等多个方面。评分方法:通过对答案的正确性、解题过程的完整性以及解题思路的独特性进行评分。
II. 案例分析

(新)门球运动竞赛规则讲座培训课件

பைடு நூலகம்
确认后只需击打自球，无论他球是否移
动均为有效撞击。未经裁判员确认，他
球须有动感才为有效撞击。
界限明确，减少争议。教练员要提醒
运动员，减少不必要的损失。
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二、重复撞击
重复撞击是指在续击中，自球再次撞击被闪击过的他球。（记球）
1.重复撞击犯规后，自球拿出界外，被移动的他球放回发生重复撞击时的原位。
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门球竞赛规则讲座培训
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一场地和器材
一、门球场地
1.场地介绍：门球场地为长方形，分为比赛区（通称场内）和限制区，地面要求平整。（见图）主要了解线的概念：比赛区和限制区由带状比赛线（通称边线）和带状限制线的外沿圈定。比赛线以线的外沿为准。球门线以球门两柱的后沿线为准。
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二、有效移动
有效移动是指击球员合法击球（或闪击）使球产生的移动。
●当自球成功通过一门时，碰撞一门后的球造成的移动为有效移动。
●有效移动的球触及球门或中柱，造成与该球门或中柱接触的球发生的间接移动为有效移动。
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●若出现与有效移动无关的犯规行为，该球的移动仍然有效。
（1）由有效移动球引发的，该贴柱球为有效移动；
（新）门球运动竞赛规则讲座培训课件
（2）界外球进场或未过一门的球引发的，该贴柱球为无效移动；
（3）由人体或球槌引发的，该贴柱球为无效移动（须恢复原位），不为犯规，但计算10秒。
2、球槌击打到土地或草坪（未击打到球），引发球的间接移动，视为无效移动，不为犯规。

初中物理竞赛专题讲座教学内容

初中物理知识竞赛辅导专题讲座第一讲力学(一)（教师使用）一、知识提要二、例题与练习[例1]小明和爸爸到市场上选购了一批（成卷的）电线，为方便搬运，不愿将每卷电线都散开，又担心电线的实际长度与商品说明书上的标称长度不符。

小明看到柜台上有电子秤和米尺，便向营业员要来了一段做样品的同品牌的电线，帮助爸爸顺利地测出了每卷电线的实际长度。

你知道小明是怎样做的吗？分析与解：（1）用米尺测量样品电线的长度L0；（2）用电子秤测量样品电线的质量m；（3）用电子秤测量一卷电线的质量M；（4）算出一卷电线的实际长度：0L mM L =[练习1]现有一个内径为2cm 的圆环和一支直径为0.6cm 的圆柱形铅笔，仅用上述器材，你如何较精确地测出某足够长且厚薄均匀纸带的厚度？方法：；纸带厚度表达式为：。

分析与解：对一些形状不规则或者太小、太细、太薄的物体，直接测量有困难，只好寻求一些特殊的测量方法。

“累积法” 比效适合采用对“细、薄”的物体直径或厚度的测量运用方面。

将纸带紧密地环绕在铅笔上，直至恰好能套进圆环内，记下纸带环绕的圈数n 。

纸带厚度的表达式：（2－0.6）/2ncm ，或0.7/ncm[例2]现有一个盛有大半瓶饮料的平底可乐瓶(如图)给你一把刻度尺，一根细线，试测出这个可乐瓶的容积。

写出操作步骤及计算容积的数学表达式。

分析与解：（1）用刻度尺测液面的高h 1；（2）用线绕主体部分一周，用刻度尺量出线长L ，得瓶子主体部分的横截面积π=π=4L R S 22；（3）算出装有饮料部分的体积π==4h L Sh V 1211；（4）将瓶盖旋紧后使瓶子倒置，重新测量上面空余部分的高h 2，对应的体积222h 4L V π=；（5）可乐瓶容积的表达式：()21221h h 4L V V V +π=+=。

[练习2]请你阅读下面的短文：绕几圈之后增大摩擦力的方法通常有两种，即增大压力、使接触面粗糙。

那么，还有没有别的方法了呢？小明对自己提出了这样的问题。

高中数学竞赛平面几何讲座非常详细

第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答：当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB ＋AQAC＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BCAM BD ·. (2) 由DCAQ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB图6AN CDEB M AGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG.O图10(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A BGCD FE图1ABCDPO 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有A图3BPQDHC A EDCB图4图53＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'C'cb a'c'b'A BCDabb c图9又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)F DAB EC图10图11第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

小学数学竞赛集训讲座

小学数学竞赛集训讲座一（一般复合应用题）姓名：成绩：1、王伯伯家买了4筐苹果，李叔叔家买了5筐苹果，和小芳家三家平均分。

小芳的爸爸拿出54元钱给王伯伯和李叔叔。

他们两人各应收回多少钱？2、山泉农场要完成1500公亩的播种任务，原计划用4部播种机，每天每部播种25公亩。

为了加快速度，增加了2部同样的播种机，这样，能够比原计划提前几天完成任务？3、某厂要加工一批机器零件，原打算30人每天工作9小时，40天完成。

后来因为工作需要，抽走了5人，还要提前4天完成任务。

他们每天要工作几小时？4、金山小学乘7辆同样的汽车外出参观，前5辆车每辆都有14人没有座位，后2辆车一共空一个座位。

如果再增加2辆汽车，却要空出31个座位。

这次外出参观的师生共有多少人？5、张老师买了2千克苹果和3千克梨共用2.5元。

王老师买苹果的千克数是张老师的2倍，买梨的千克数是张老师的3倍，比张老师多用3.4元。

1千克苹果和1千克梨的价钱各是多少元？6、有甲、乙、丙、丁四个数，这四个数的和是162。

如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。

求甲、乙、丙、丁四个数原来各是多少？7、100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选（得票数并列第一选举无效）。

唱票过程中累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。

问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票才能保证一定当选？8、有一筐苹果和一筐梨，如果每天吃掉一个苹果两个梨，梨吃完时还剩三个苹果；如果每天吃掉两个苹果三个梨，苹果吃完时还剩五个梨。

你知道苹果有多少个？梨有多少个？9、甲、乙两个杯子里各有512克水，小明第一次将甲杯中的水的一半倒入乙杯中，第二次将乙杯中水的三分之一倒入甲杯中，第三次将甲杯中水的四分之一倒入乙杯中……如此进行下去，当他倒完第15次后，这时甲杯中有多少克水？10、小花狗非常顽皮，看见楼梯就上。

竞赛讲座14

竞赛讲座14-染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m 列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC 是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B 和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.。

小学六年级数学竞赛讲座第14讲数论总复习

x +x=180，解得 x=135. 3
4．两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，写出这两个数。解：设这两个数分别是 a=mp、b=np，其中 m，n 互质，由题意 m+n=16，mnp=1925，
1925=52×7×11，其中 5+11=16，可取 m=5、n=11、p=35，于是 a=5×35=175，b=11×35=385。
所以这些数字都不会是偶数，只能从 1、3、5、7、9 中选取，且各不相同，其中取 3 个数字，任何 3 个数字的和都不能被 9 整除，所以排除 9，如果选取 3，则只有 1、3、5 三个数的和能被 3 整除，或 3、5、7 三个数的和能被 3 整除，有 135 和 315 能被 1、3、5 整除；或 735 能被 3、5、7 整除；如果不取 3，只剩下 1、5、7，其中 175 能被 1、7、5 整除；所以三位数是 135、315、175、735.
例 6．有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数，那么这个四位数是。解：在这个四位数的因数中有 63m−1，同时满足 3m−2 是偶数，所以 m=2，
即一定含有 65=7776 这个因数，而它是一个四位数，就是 7776。
例 7．如果 2×38 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为
此时 B 的最小值是 4，有 3 个因数，A=96=25×3，有 12 个因数。
A+B=96+4=100.
模块三、综合问题：
例 5．设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，请写出这样的六位数。
解：设 abcde =x，则

高中数学竞赛讲座[共十五讲]

高中数学竞赛讲座【共十五份】目录不等式 (1)整数的整除性 (4)抽屉原则 (12)竞赛专题讲座－类比、归纳、猜想 (19)竞赛讲座－覆盖 (21)平面几何四个重要定理 (37)平面几何证明 (47)平面三角 (53)奇数和偶数 (60)染色问题与染色方法 (68)三角运算及三角不等关系 (75)三角不等关系 (78)同余式与不定方程 (80)本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ (90)不等式不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。

（1）差值比较法原理 A－ B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（a m＋b m）（a n＋b n）＜2（a m+n+b m+n）。

（2）证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。

求证：S0≤S≤S1。

（2）商值比较法原理若>1，且B>0，则A>B。

【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。

2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。

【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

高中奥赛数学竞赛专题讲座-平面几何

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线．几何不等式．几何极值问题．几何中的变换：对称、平移、旋转．圆的幂和根轴．面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．
（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 P、Q、R，
(3)∠BIC=90º+ 1 ∠A，∠CIA=90º + 1 ∠B，∠AIB=90º+ 1 ∠C.
2
2
2
例题：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于 △ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：
线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
分析：设小圆圆心为 O1 ，⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 AO1 ，显然 A O1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形，所以 A O1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O1 的延长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC，故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似
AB BE AB CD AC BE又 Q AB AE
AC CD
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)

竞赛数学讲座PPT课件

或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。
成绩最好的约30名选手（现改为约60名）以及中国
女子数学奥林匹克和中国西部数学奥林匹克的前两
名（现已无参加集训队资格）组成参加当年IMO的
中国国家集训队。3月中旬至4月初，进行参加IMO
的中国代表队的选拔工作。每年7月份参加IMO。
全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基
2.广东省历届国际数学奥林匹克竞赛获奖情况：13人14次，其中华南师范大学附中7人8 次，深圳中学4人，深圳高级中学1人，深圳第三高级中学1人。9人就读北京大学，3人就读清华大学，1人就读中国科技大学。
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13
三、IMO——中国队获奖情况
2013年获奖的饶家鼎，深圳市第三高级中学高二年级学生 (7岁从加拿大回国读书)。 2010年，12岁的高一学生饶家鼎参加全国高中数学联赛，与高三顶尖学生同台竞技，获得全国三等奖。当同龄人还在读初一、初二的时候，他已经被北京大学数学科学学院和清华大学数学科学系提前预录取，并入选 2012年中国数学奥林匹克广东省数学代表队，在2013年以一分之差，遗憾地摘取了国际奥林匹克数学竞赛银牌，而此前他被寄予得满分的厚望。
四个方面。前两道题每题40分，后两道题每题50分。
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26
七、全国高中学联赛题型与考试大纲
考试大纲：一试完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求
和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。二试：超过高考大纲（有具体的规定）
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27
二试
1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角

数学竞赛辅导讲座(新)

数学竞赛辅导系列讲座一 ——数1.计算：1111(12)(123)(12320)2320+++++++++++．2.如果5555555555555554444666666233322n++++++++⨯=+++，那么n=_______． 3.军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．4.已知实数a 满足|2014|a a -=，那么a －20142的值是（）A 、2013B 、2014C 、2015D 、20165.设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（）A 、84B 、68C 、45D 、1156.数272－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________． 7.n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．8.设1a =，则3a 3+12a 2－6a －12=（）A 、24B 、25C 、10D 、129.已知a 、b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．10.设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数有（）个A 、3B 、4C 、5D 、611.设n a 表示数4n 的末位数，则122012a a a +++=________．12.如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（）A 、2 B 、3C 、4D 、513.若1,2,3xy yz zxx y y z z x===+++，则x=______． 14.试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2015|的最小值．15.已知p 、q 均为素数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形16.若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242，则x 12+x 22+x 32+x 42+x 52的末尾数字是（） A 、1B 、3C 、5D 、717.在数1、2、3、…、2014、2015前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18.设a 、b 、c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，x 、y 、z 中至少有一个值（）A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于019.今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20163天是星期_____． 20.已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则=．21.已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论． 22.10099++++．23.设x>0，y>0=的值．24.25.设a 、b 、c26.=且0<x<y ，那么满足上述等式的整数对(x ，y)的个数有多少？27.设1980100S =++++[S]表示不超过S 的最大整数，试求S ．28.已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)． 30.正整数p 、q 都大于1，且2121,p q q p--都是整数，求p+q ． 31.当n 是正整数时，n 4－6n 2+25是质数还是合数？证明你的结论． 32.已知a 是自然数，问a 4－3a 2+9是质数还是合数？证明你的结论．33.试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．34.设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2+b 2=c 2+d 2，证明a+b+c+d 一定是合数．35.你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36.一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”．（1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数．37.将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 38.设x =a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，求333a b ab ++的值．39.设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2+b 2，a 2－b 2中一定有一个被5整除．40.若一个数能够表示成2222x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数” （1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数．41.有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？（2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42.为无理数．43.已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1．44.已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而个位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45.在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数．46.是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次．47.设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积． 48.已知122015,,,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2015个数的顺序，并122015,,,b b b 记为．则数()()()112220152015M a b a b a b =---的值必为．49.（1）证明：由2015个1和0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明：存在最左边2015位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数．数学竞赛辅导系列讲座二 ——式1.已知x _______．2.已知a+b+c=11与1111317a b b c c a ++=+++，则a b cb c c a a b+++++的值是_______． 3.已知实数a ，b ，c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式||||||a b ca b c ++的值是_______．4.已知a ，b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11,1111a b M N a b a b =+=+++++，则M-N=____． 5.a ，b ，c 不全为0，满足a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，称使得a n+b n+c n=0恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2013的正整数中好数的个数为（）A 、2B 、1007C 、2012D 、20136.设()()94122=++++y y x x ，则=+++1422x y y x ______．7.设a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc cax a b c ab bc ca =+++++，则321ax bx cx +++的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、-18.若|x-a|=a-|x|(x ≠0，a ≠x)（）A 、2aB 、2xC 、-2aD 、-2x9.若a ，b 为实数，满足111a b a b -=+，则b aa b-的值为（） A 、－1 B 、0C 、12D 、110.设a ，b ，c 为互不相同的有理数，满足((2b ac +=++，则满足条件的a ，b ，c 共有（）组A 、0B 、1C 、2D 、411.已知x y ==，则3312x xy y ++=___________．12.的结果是（）A 、1B 、 3C 、2D 、413.分式222253051611x xy y x xy y ++++的最小值是（）A 、-5B 、-3C 、5D 、314.非零实数a ，b ，c ，x ，y ，z 满足关系式x y za b c==，则()()()()()()xyz a b b c c a abc x y y z z x ++++++=_____． 15.已知x ，y ，z 为实数，若2222221,2,2x y y z x z +=+=+=，则xy+yz+zx 的最小值为（）A 、52B 、12+ 3C 、－12D 、12－ 3 16.若44222226a b a a b b +=-++，则22a b +=_____． 17.若实数x ，y 满足703392xy x y x y xy+++=⎧⎨+=+⎩，则22x y xy +=_______．18.设x ，y 为实数，代数式2254824x y xy x +-++的最小值为_______．19.已知实数a ，b ，c 满足27,160a b c ab bc b c -+=++++=，则b a 的值等于_____．20.分解下列因式：（1）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （2）42221x x ax a +++- （3）322222422x x z x y xyz xy y z --++- （4）444()x y x y +++ （5）22276212x xy y x y -++-- （6）32211176x x x +++ （7）136912++++x x x x（8）33221a b ab a b -+++21.使27m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为__________． 22.若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=________． 23.已知实数x ，y 满足(2015x y -=，则2232332014x y x y -+--的值为（）A 、－2015B 、2015C 、－1D 、124.设a =5432322a a a a a a a+---+-=________． 25.设a ，b ，c ，d 都是正整数且5432,a b c d ==，19=-a c ．求d －b 的值．26.若2223331,2,3x y z x y z x y z ++=++=++=，求444x y z ++的值．27.若22221,1,0a b c d ac bd +=+=+=，试求ab+cd 的值．28.已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x ，y ，z 的值． 29.已知一组数据4，－2，0，2，x 的极差是10，求x 的值． 30.设1219,,,x x x 都是正整数，且满足121995x x x +++=，求2221219x x x +++的最大值．31.实数a ，b1032b b =-+--，求22a b +的最大值．32.22013．33.当x 变化时，求分式22365112x x x x ++++的最小值．34.已知x y z uy z u z u x u x y x y z===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 35.求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，不被7整除． 36.12,,,n x x x 为实数，()21222212n n x x x x x x n++++++=，求证：12n x x x ===．37.已知a ，b ，c 均为正整数，且满足222a b c +=，又a 为质数，求证：（1）b 与c 这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．38.设a ，b ，c 均是不等于0的实数，且满足22a b bc -=及22b c ca -=，证明：22a c ab -=．39.设实数x ，y 满足(1x y ++=，求x+y 的值．40.已知a ，b ，c 为实数，证明2222(),(),(),()a b c a b c b c a c a b +++-+-+-这四个代数式的值中至少有一个不小于222a b c ++的值，也至少有一个不大于222a b c ++的值． 41.设实数x ，y ，z 同时满足33334,266,398x y x y z y z x z +=++=++=+，试求2222013(1)2014(1)2015(1)x y z -+-+-的值．42.如果实数a ，b 满足条件22221,|12|21a b a b a b a +=-+++=-，a+b 的值是多少？ 43.已知a ，b ，c 为正数，满足下列条件 32a b c ++= …………①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= …………②为三边长的三角形可构成以一个直角三角形． 44．已知cb ac b a ++=++1111．求证：a+b ，b+C ，c+a 中至少有一个为零．45. 互不相等的实数a 、b 、c ，d.且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111, 求x 的值． 46.已知1abc =-,221a bc c+=，求555ab bc ca ++的值.数学竞赛辅导系列讲座三 ——方程1.方程|3x|+|x －2|=4的解的个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、32.以关于x ，y 的方程组32339mx y x my +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数m 的范围是（）A 、m>19B 、m<－2C 、－2<m<19D 、－12<m<93.已知实数a>0，b>0，满足22014,2014a b b +=+=，则a+b 的值是______．4.关于x 的方程22211ax a a x -=+-的解为________． 5.已知p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个根都是整数，则p=_____． 6.方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（）A 、0B 、1C 、3D 、无数多个7.若a ，b 都是整数，方程220080ax bx +-=的两相异根都是质数，则3a+b 的值是（）A 、100B 、400C 、700D 、10008.对于实数x ，符合[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[－7.59]=-8，则关于x 的方程3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的整数解有（）个 A 、4B 、3C 、2D 、19.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足1114,9,16,,,4916bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 (a+c+e)－(b+d+f)的值为________．10.方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（）A 、－14<k<0B 、0<k<14C 、k>－14D 、k<1411.若整数m 使得方程220060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________．12.设x 1，x 2是方程240x x +-=的两根，则3212510x x -+=（）A 、-29B 、-19C 、-15D 、-913.方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y ）的组数为（）A 、0B 、1C 、2D 、314.方程7[2][3]82x x x +=-的所有实数解为_____________． 15.对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x*(a*x)=－ 14 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？17.不定方程5x －14y=11的最小正整数解是____________． 18.方程22[]30x x --=的解的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、419.已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=，的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是________． 20.已知m ，n是二次方程2201470x x ++=的两根，那么22(20136)(20158)m m n n ++++等于（）A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、200921.若实数x ，y ，z 满足方程组122232xyx y yzy z zxz x⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则（） A 、x+2y+3z=0B 、7x+5y+2z=0C 、9x+6y+3z=0D 、10x+7y+z=022.已知实数a ，b ，c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．23.方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组．25.把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c 有（）A 、不存在B 、有一组C 、有两组D 、多于两组26.已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，则方程2(1)(2)(1)0a x b x c +++++=的根的情况是（） A 、没有实根B 、有两个相等的实根C 、有两个不等实根D 、根的情况不确定27.求方程232730x xy y -+=的正整数解．28.设x ，y ，z 是都不为零的相异实数，且满足等式y z z x x yy z x+++==，试证明：此等式的值不可能是实数．29.解方程：222916(3)x x x +=- 30.满足方程2221x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______． 31.若2222,x y m n x y m n +=++=+，求证：2014201420142014xy m n +=+．32.已知a>0，且b>a+c ，证明方程20ax bx c ++=必有两个不同的实根． 33.解下列方程：（1）4322914920x x x x -+-+=（2）44(2)820x x +--= （3）222(231)(251)9x x x x x -+++=（4）222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++ （5）2240119x x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（6）1321121111x x x++=+++34.设a 为整数，使得关于x 的方程2(5)70ax a x a -+++=至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．35.已知正整数a ，b ，c 满足a<b<c ，且ab+bc+ca=abc ，求所有可能符合条件的a ，b ，c ． 36.当a ，b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根． 37.m 为有理数，试确定方程22443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数．38.当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=中至少有一个方程有实根．39.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 40.如果关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 41.把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组，且10在A 组，如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加12 ，B 组中各数的平均数也增加12 ，问A 组中原有多少个数？42.已知a>2，b>2，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与方程2x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由．43.求满足条件的所有实数k ，使得关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数． 44.设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能同时有两个相等实根．45.设△是整系数二次方程20ax bx c ++=的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由． 46.设a 、b 、c 、d 是正整数，a 、b 是方程()02=+--cd x c d x 的两个根．证明：存在边长是整数且面积为ab 乘积的直角三角形．数学竞赛辅导系列讲座四——不等式1.不等式2|26|x x a +-≥对一切实数x 都成立，则实数a 的最大值为_____．2.x <<x 的个数是（） A 、4B 、5C 、6D 、73.已知－1<2x －1<1，则21x-的取值范围是_______． 4.已知关于x 的不等式(2m －n)x －m －5n>0的解集为x<107 ，那么关于x 的不等式mx>n(m ≠0)的解集为__________． 5.使关于x 的不等式12ax a x --≥成立的x 的最大值是－1，则a 的值是____． 6.关于x 的不等式|2x －1|<6的所有非负整数解的和为_______．7.若正数x ，y ，z 满足不等式组1126352351124z x y z x y z x y x z y ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则x ，y ，z 的大小关系是（）A 、x<y<zB 、y<z<xC 、z<x<yD 、不能确定8.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值为（）A 、－1B 、－5C 、0D 、19.若a ，b ，c ，d 为乘积是1的四个正数，则代数式2222a b c d ab ac ad bc bd cd +++++++++的最小值是（）A 、0B 、4C 、8D 、1010.设实数x 满足3142631323510x x x ----≥-，求2|x －1|+|x+4|的最小值． 11.求证：2211331x x x x -+≤≤++（x 为实数）．12.已知221a b +=，对于满足条件0≤x ≤1的一切实数x ，不等式a(1－x)(1－x －ax)－bx(b －x －bx)≥0．恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值13.设x ，y 为实数，若22222,x xy y x xy y k -+=++=，求k 的取值范围．14.解关于x 的不等式组365(12)8mx mxmx x m x -<-⎧⎨+>-+⎩．15.在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足y ≤|x|的所有整点（x ，y ），并说明理由．16.已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于14 ．17．一玩具厂用于生产的全部劳动力为450个工时原料为400个单位．生产一个小熊要用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要用10个工时，5个单位的原料，售价为45元．在劳动力和原料的限制下合理安排生产小熊小猫的个数．可以使小熊和小猫总售价尽可能高．请你用学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．18.求满足不等式 a 2+b 2+c 2+3﹤ab+3b+2c 的整数解．19.由沿河岸一城市A 运货物到离河岸30km 的地点B,按沿河岸距离计算，B 离A 的距离AC 是40km ．如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸的点D,从B 点筑一条公路到D ，才能使由A 到B 的运费最少？20.甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元．则其中单价为9元的商品有几件？21.货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨．每只箱子的质量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走．问至少需要多少载重为3吨的车子．22．已知二次函数y=2x +(m+1)x+n 过点(3，3)，并且对于一切实数x ，所对应的函数值均不小于x ，求这个函数图像的顶点到原点的距离．23．如图，△ABC 中，∠C 为锐角，AD ，BE 分别是BC 和AC 边上的高线，设CD=2m BC ，CE=2nAC ，当m ，n 为正整数时，试判断△ABC 的形状，并说明理由．24．已知y x x x )2(622222-=+-+-，求yx -1的值．25．已知a ，b 为实数，且满足16a 2+2a+8ab+b 2—1=O ，求3a+b 的最小值．26．设10p p x ，求证：21)1(11522+-+++≤p x x ．27．若二次函数()x f =a x ax --22满足()()()()0312f f f f ，则实数a 的取值范围为． 28．已知+∈R y x ,．求yx yy x x 22+++的最大值．29．能同时表示成连续9个整数之和、连续10个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数为．30．四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且⊿AOB 与⊿COD 的面积分别为1、9．求四边形ABCD 面积的最小值，并判断当取得最小值时四边形的形状．31.已知正数a 、b 、c 、a 1、b 1、c 1,满足条件a+a 1=b+b 1=c+c 1=k ，求证:a b 1+ b c 1+ c a 1﹤k 2．32．设a 、b 、c +∈R ，求证：2222cb a ac c c b b b a a ++≥+++++．33．已知a 、b 是给定的大于2015的实数，对于任意实数x 、y ，都有122))((22222++--+++k k ay bx y x b a >0,其中k 是实数，求k 的取值范围.34．当三个非负实数x 、y 、z 满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时，M=3x-2y+4z 的最小值和最大值分别为 .35．有n 个连续的正整数1、2、…，n ，去掉其中的一个数x 后，剩下的平均数是16 .则满足条件的n 和x 的值分别是 .36．已知实数x 、y 满足5422=--y x x ，记y x t 2-=，则t 的取值范围是 .37．小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元,汽水每瓶7元,开始时他有350瓶饮料,虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2009元,则他至少卖出了瓶汽水. 38.请判断1002是多少位整数(要有详细的过程).数学竞赛辅导系列讲座五 ——函数1.在平面直角坐标系中有点A （－2，2）、B （3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则符合条件的点C 有（）个A 、1B 、2C 、4D 、62.已知一次函数y=kx+b ，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．3.若反比例函数y=kx 的图像与一次函数y=ax+b 的图像交于点A （－2，m ）、B （5，n ），则3a+b=_______．4.已知二次函数2y x x a =-+的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________．5.已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x 的图像上，其横坐标分别为a ，b （a>0，b>0），若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当b a是整数时，满足条件的整数k 的值共有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6.一次函数13y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P （a ，12 ），满足S △ABP =S 正方形ABCD ，则a=________．7.已知y =x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（）A 、 6 -3B 、3C 、 5 - 3D 、 6 - 38.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（）A 、512B 、49C 、1736D 、129.过点P （－1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条10.若关于x 的函数2(3)(41)4y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为_______．11.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过（－1，2）且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2（－2<x 1<－1，0<x 2<1），给出下列结论：①abc>0，②4a －2b+c<0，③2a －b<0，④b 2+8a>4ac ，其中正确的有（）个A 、1B 、2C 、3D 、412.过原点的直线与反比例函数y=- 7x 的图像交于A ，C ，自点A ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为B ，D ，则四边形ABCD 的面积等于______．13.设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同的交点（x 1，0）、（x 2，0），则下列结论中一定成立的是（）A 、221217x x +=B 、22128x x +=C 、221217x x +<D 、22128x x +>14.一次函数y=kx+b 的图像过点P （1，4），且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B ，O 为坐标原点，△ABO 的面积最小时，k ，b 的值分别是（）A 、－4，8B 、－4，4C 、－2，4D 、－2，－215.已知函数2()f x ax c =-（a ，c 为实数），若－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________．16.如果函数y=b 的图像与函数23|1|43y x x x =----的图像恰有三个交点，则b 的可能值为_________．17.若函数245(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值关于t 的表达式y max =______． 18.已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像可能是（）ABCD19.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=（k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上，PE ⊥x 轴于点E ，交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B，则四边形PAOB 的面积为（） A 、k 1+k 2 B 、k 1-k 2 C 、k 1k 2D 、k 1k 220．如图已知点A 、B 分别在反比例函数)0(x x n y =、)0( x xm y =的图像上，OB OA ⊥，则tanB= ．21.在平面直角坐标系中，已知点A （1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P点坐标．22.设抛物线25(21)24y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点．（1）求a 的值；（2）求186323a a -+．23.已知直线y=b （b 为实数）与函数2|43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围．24.已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的图像交于点M （2，3），N （－4，m ）（1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的解析式；（2）求△OMN 的面积．25.如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．C D E FA B26.求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数21()f x x ax b n=++对任意整数x ，f(x)都是整数． 27.如图，已知点M （0，1），N （0，－1），P 是抛物线214y x =上的一个动点（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的位置关系；（2PNM=∠QNM28.已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图像与x 轴的交点分别为A ，B ，与y 轴的交点为C ，设△ABC 的外接圆的圆心为P ．（1）证明⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且S △ABC =2，求b 和c 的值．29.已知抛物线2y x px q =++上有一点M （x 0，y 0）位于x 轴的下方．（1）求证：已知抛物线与x 轴必有两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1<x 2；（2）求证x 1< x 0<x 2；（3）若点M 为（1，－2）时，求整数x 1，x 2的值．30. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．(1)已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y ；③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由．(2)抛物线1C :2)1(812-+=x y ，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转︒180得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．(3)点A 为抛物线1C :2)1(812-+=x y 的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC Δ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．31．已知二次函数2222(0)y x mx m m =--≠的图像与x 轴交于点A ，B ，它的顶点在以AB 为直径的圆上．（1）证明：A ，B 是x 轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，求弦CD 的长．32．如图，双曲线xy 2=(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△C B A '，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .33．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .（1）写出点B 的坐标；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为．34．我们知道，对于二次函数y=a （x+m ）2+k 的图像，可由函数y=ax 2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax 2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a （x+m ）2+k 为“基本函数”y=ax 2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离22k m +称为朋友距离．第32题图B'yx O CBAOBC D由此，我们所学的函数：二次函数y=ax 2，函数y=kx 和反比例函数xky =都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x 的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=103122=+.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x 先向，再向下平移7单位，相应的朋友距离为．（2）探究二：已知函数y=x 2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．（3）探究三：为函数143++=x x y 和它的基本函数xy 1=，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．35．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是（）36.已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A （0，1），B （0，3），第三个顶点C 在x 轴的负半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，D （3，－2），P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标；（3）设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．ABCDMN P37．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是（） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④38．已知抛物线y=2x 2—4mx+21与x 轴有2个不同的交点A ，B ，抛物线的顶点为C ， (1)当△ABC 为等边三角形时，试确定点C 的位置； (2)如何平移符合条件(1)的抛物线，使AC=23AB ； (3)设点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F ，G 分别是DC ，EC 的中点，问四边形DFGE 的面积S 的大小与m 的取值是否有关?若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由．39．已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立．（1）试确定抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的开口方向以及与x 轴的交点个数．（2）求乘积ab 的最小值．（3）当ab 取最小值时，求抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的解析式．40．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(2(c ﹥b ﹥a),其图象过点(1,0),并且与直线a y -=有公共点．证明：ab≤0﹤1． 41．方程 ()42330ax a x a --+=有一个根小于－2,另外三个根都大于－1,求a 的取值范围.数学竞赛辅导系列讲座六——三角形1.设△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且2228440a c b ab bc ++--=，则△ABC 一定是（）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形2.△ABC 的边a ，b ，c 满足条件211b a c=+，则b 边所对的∠B 的大小是（） A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、锐角、直角、钝角都有可能3.在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、多于34.7条长度均为整数的线段127,,,a a a ，满足127a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a 1=1，a 7=21，则a 6=（）A 、18B 、13C 、8D 、55.1239A A A A 是一个正九边形，1213,A A a A A b ==，则15A A 等于（）ABC 、12(a+b)D 、a+b6.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC<AC ，且241AB AC BC =⨯，则∠A=（） A 、15°B 、18°C 、20°D 、25°7.如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°，则这样的点P 有（）A 、3个B 、2个C 、1个D 、不存在8.在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点123100,,,,P P P P ，记()100,,3,2,12K =⨯+=i PC BP AP m i i i i ，则12100m m m +++=（）A 、100B 、200C 、300D 、4009.如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC ，△CDE （∠ACE<120°），P ，M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△PCM 是（）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、非等腰三角形 10.在△ABC 中，∠C=3∠A ，a=27，c=48，则b 等于（）A 、33B 、35C 、37D 、不确定BDE11.在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，D ，E 在边BC 上，满足BD=1，CE=8，则∠DAE 的度数为_______．12.在Rt △ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在CA 、CB 上，满足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE 的长度为______．13.如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在BC ，CA 上，使CD=AE ，AD 与BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，则QPQB=______．14.设P 是边长为12的正△ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足为别为D 、E 、F ，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF 的面积是________． 15.如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ，则∠B=________．16.如图，在三角形ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD=3，CD=2，则S △ABC =________． 17.在△ABC 中，AB=7，AC=11，M 是BC 边的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长是______．18.在△ABC 中，∠CAB=70°，∠CAB 和∠ACB 的平分线交于点I ，若AC+AI=BC ，则∠ACB= _____°．19.在钝角△ABC 中，∠A<∠B<∠C ，∠A 、∠C 的外角平分线交对边延长线与D 、E ，且AD=AC=CE ，则∠BAC 的大小是__________．20、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点D 、E 使得∠BDC=50°，∠BEC =40°，则∠ADE=______．21.已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF ．22.如图，以△ABC 的AB 、AC 为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE 且使∠1=∠2，M 是BC 的中点，求证：MD=ME ．D EC23.已知在△ABC 中，∠A>90°，AD ⊥BC ，求证AC+AB<AD+BC ．24.在等腰三角形ABC 一腰AB 上取一点D ，在另一腰AC 的延长线上去CE=BD ，连DE ，求证：DE>BC ．25.锐角△ABC 中，BC<AB ，AH 是BC 边上的高，BM 是AC 边上的中线，AH=BM ，求证：∠MBC =30°．26.如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形，求证：△AMN 的周长等于2．27.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=0.5，DE+BC=1，求证：∠ABC=30°．28.如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=900—12 ∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E29.如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB=∠CDF ．30.如果P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2 3 ，PC=4，求正△ABC 的边长． 31.如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP=BP=CP=6，设PD=x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+zx=28，求xyz 的大小．32.如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB AD <，点E F 、分别是AB 和CD 的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B 落在线段EF 上的点G 处，折痕AK 交EF 于H ，则下列说法正确的个数有 ①30DAG ∠=︒；②△GHK 是正三角形；③2GH EH =；④3FG EH =．（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33.如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为(2212a ab b -+)m ，正五边形的边长为(25)b m -，则这段铁丝的总长是_______________m ．34．如图，直线l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C ，得到△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC=6，BC=8，点O 在线段AC 上，且OA=2OC ，将△ABC 绕点O 旋转得到△A /B /C /，当点A /落在这三条直线上时，线段AA /的长是_______________．35．如果长为l 的一根绳子恰好可围成两个全等三角形，那么其中一个三角形的最长边x的取值范围是（） A ．8l ≤x ＜4l B ．6l ≤x ＜4l C ．8l ≤x ＜3l D ．6l ≤x ＜2l 36．已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，则∠ACB ＝度．EDPCAEFHK GF DAB C。

小学六年级数学竞赛讲座第13讲数论中的代数思想

第十三讲数论中的代数思想模块一、数论方程（一）：例1．已知248abc abc ⨯=，则三位数abc =。

解：设abc =x ，则2×(4000+x )=10x +8，解得x =abc =999.例2．已知1787abcd abc ab a ---=，则四位数abcd =或。

解：由题意知(1000a +100b +10c +d )−(100a +10b +c )−(10a +b )−a =1787，得889a +89b +9c +d =1787，比较得a =2或a =1，当a =1时，有89b +9c +d =898，b 只能得9，有9c +d =97，此时即使c =9，得d =16，矛盾，舍去；当a =2时，有89b +9c +d =9，b 只能得0，有9c +d =9，得c =0，d =9，所以abcd =2009.或c =1，d =0，此时abcd =2010.模块二、数论方程（二）：例3．已知A <B ，A 、B 的最大公因数为8，最小公倍数为64，即(A ，B )=8，[A ，B ]=64，则A +B =。

解：设A =8m ，B =8n ，m 、n 互质，则8mn =64，解得mn =8，8=1×8=2×4，所以m =1，n =8，得A =8，B =64，所以A +B =8+64=72.例4．已知自然数x ，y 满足：x <y ，x +y =70，[x ，y ]+(x ，y )=98，则x =，y =.解：设x =am ，y =an ，(m 、n 互质)，所以[x ，y ]=amn ，(x ，y )=a ，有amn +a =a (mn +1)=98，98=1×98=2×49=7×14，当a =1时，则m +n =70，mn +1=98，mn =97，只能是m =1，n =97，无整数解；当a =2时，2m +2n =70，所以m +n =35，mn +1=49，mn =48，无整数解；当a =7时，7m +7n =70，m +n =10，mn +1=14，无整数解，当a =14时，14m +14n =70，m +n =5，mn +1=7，mn =6，所以m =2，n =3，得到x =2×14=28，y =3×14=42.模块三、数论方程综合：例5．已知A 4=75600×B ，其中A 、B 为正整数，那么B 的最小值是。