Χ-射线晶体结构的几种分析方法概论
X射线衍射晶体结构分析
X射线衍射晶体结构分析摘要：本实验我们将了解到X射线的产生、特点与应用；理解X射线管产生连续X射线谱和特征X射线谱的基本原理；用三种方不同法研究X射线在NaCl单晶上的衍射，并通过测量X射线特征谱线的衍射角测定X射线的波长和晶体的晶格常数。
关键词：X射线、晶体结构、布拉格公式、衍射、波长引言：1895年德国科学家伦琴（W.C.Röntgen）在用克鲁克斯管研究阴极射线时，发现了一种人眼不能看到，但可以使铂氰化钡屏发出荧光的射线，称为X射线。
X射线具有很强的穿透物质的本领。
X射线在电场磁场中不偏转，说明X射线是不带电的粒子流。
1912年劳厄（M. V on Laue）等人发现了X射线在晶体中的衍射现象，才证实了X射线本质上是一种波长很短的电磁辐射，其波长约为10nm到10–2nm之间。
X射线是一种波长很短的电磁波，能穿透一定厚度的物质，并能使荧光物质发光、照相乳胶感光、气体电离。
由于X射线波长与晶体中原子间的距离为同一数量级，至今它仍然是研究晶体结构的有力工具。
目前X射线学已渗透到物理学，化学，地学，生物学，天文学，材料科学以及工程科学等许多学科多，并得到广泛的应用。
设计方案：1.实验原理：1、X射线的产生和X射线的光谱：实验中通常使用X光管来产生X射线。
在抽成真空的X光管内，当由热阴极发出的电子经高压电场加速后，高速运动的电子轰击由金属做成的阳极靶时，靶就发射X射线。
发射出的X射线分为两类：（1）如果被靶阻挡的电子的能量不越过一定限度时，发射的是连续光谱的辐射。
这种辐射叫做轫致辐射；（2）当电子的能量超过一定的限度时，可以发射一种不连续的、只有几条特殊的谱线组成的线状光谱，这种发射线状光谱的辐射叫做特征辐射。
连续光谱的性质和靶材料无关，而特征光谱和靶材料有关，不同的材料有不同的特征光。
（1）连续光谱连续光谱又称为“白色”X射线，包含了从短波限λm开始的全部波长，其强度随波长变化连续地改变。
9.X射线衍射法测定晶体结构详解
9.X射线衍射法测定晶体结构详解X射线衍射法测定晶体结构一、实验目的1．了解X射线衍射的基本原理及仪器装置；2．理解粉末衍射的XRD分析测试方法，并应用XRD 数据进行物相分析。
二、实验原理X射线衍射分析（X-ray diffraction，简称XRD），是利用晶体形成的X射线衍射，对物质进行内部原子在空间分布状况的结构分析方法。
将具有一定波长的X射线照射到结晶性物质上时，X射线因在结晶内遇到规则排列的原子或离子而发生散射，散射的X射线在某些方向上相位得到加强，从而显示与结晶结构相对应的特有的衍射现象。
X 射线衍射方法具有不损伤样品、无污染、快捷、测量精度高、能得到有关晶体完整性的大量信息等。
晶体对X射线的衍射，归根结底是晶体中原子的电子对X射线的相干散射。
当X射线电磁波作用于电子后，电子在其电场力作用下，将随着X射线的电场一起震动，成为一个发射电磁波的波源，其震动频率与X射线频率相同。
一个单原子能使一束X射线向空间所有方向散射。
但数目很大的原子在三维空间里呈点阵形式排列成晶体时，由于散射波之间的互相干涉，所以只有在某些方向上才产生衍射。
衍射方向取决于晶体内部结构周期重复的方式和晶体安置的方位。
测定晶体的衍射方向，可以求得晶胞的大小和形状。
联系衍射方向和晶胞大小形状间关系的方程有两个：Laue（劳）方程和Bragg（布拉格）方程。
前者以直线点阵为出发点，后者以平面点阵为出发点，这两个方程是等效的，可以互推。
晶体的X射线衍射图像实质上是晶体微观结构的一种精细复杂的变换，每种晶体的结构与其X射线衍射图之间都有着一一对应的关系，其特征X 射线衍射图谱不会因为它种物质混聚在一起而产生变化，这就是X射线衍射物相分析方法的依据。
制备各种标准单相物质的衍射花样并使之规范化，将待分析物质的衍射花样与之对照，从而确定物质的组成相，就成为物相定性分析的基本方法。
三、仪器设备本实验使用的仪器是Rigaku Ultima X射线衍射仪。
X射线与晶体结构
ei cos i sin
FHKL
2
n
2
fi cos2 (Hxj Ky j Lz j )
j1
n
2
fi sin 2 (Hxj Ky j Lz j )
j1
结构因子｜FHKL｜2
结构因子－它表示某晶胞内原子散射波的振幅相当于一 个原子散射波振幅的若干倍。
计算结构因子，要知道（1）原子的种类（用以求出原子 结构因子），（2）晶胞中各原子的数目（3）晶胞中各原子 的坐标。
2 degrees
35000 30000 25000 20000
111；220；311；400；331； 422；333(511)；440；531；
┅┅
15000
10000
5000
0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
2
Intensity
CPS
§ 密排六方结构:
每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为(000)和(⅓ ⅔ ½)。
正交晶系 立方晶系 六方晶系
四方晶系
单斜晶系 三斜晶系
简单立方 体心立方 面心立方
d100 a
1 d200 2 a
d200
1 2
a
1 d110 2 2a
d111
1 3
3a
1 d110 2 2a
1 d222 6 3a
d220
1 4
2a
d111
1 3
3a
正空间与倒易空间
（hk0）面族在正空间与倒易空间中的表示：
小结：
1. 为什么选用X射线来对晶体进行结构分析？ 2. Laue衍射？Laue方程 3. Bragg方程？ 4. Laue方程同Bragg方程之间的关系是什么？ 5. 倒易点阵与Ewald球 6. Bragg如何利用X射线衍射来进行晶体结构分析？
X射线晶体学的基本原理
名滑移面，如图中，是
1
2' 3
平行于a 轴，所以称为
a
a 滑移面
螺旋轴（screw axis)即平移和旋转轴的偶合
晶体学中很常见的对称元素，记作nm，n表示螺
旋轴的阶次，m表示沿轴平移的分量c
21
31
c 1/2c
1/3c c
21轴，180度，平移1/2c 31轴，120度，平移1/3c
滑移面和螺旋轴
1）使用最少量的对称操作来描述对称性。其它 对称的包含在其中
2）主轴写在前，其余的轴写在后。如：42 3）当一镜面平行某一旋转轴，则先写轴后写面。
如：4m
4）当一镜面垂直某一旋转轴，则记作“轴/m”
5）当两镜面分别垂直和平行某一旋转轴，则记
作“轴/mm”,即
轴 m
·m
6）反轴也采用相同的表达方式
从宏观来看，晶体外形只对应点对称操作，可 把所有可能的点对称性组合成32个独立的晶体点 群(point groups，也叫crystal classes)
常用MoKα射线，包括Kα1和Kα2两种射线（强 度2:1），波长71.073pm
Irel
K1
L L
K2 K 0,4 0,6 0,8 1,0 / Å
K
K
K
L
K
M
N
CuKα射线的波长为154.18pm
2．衍射几何
衍射方向和强度，即衍射花样决定于晶体的 内部结构及其周期性。描述衍射方向可用Laue 和Bragg方程
特征对称元素 无 一个C2或M 三个C2或M 一个C4 一个C6 一个C3 四个C3
特征轴 ＼ b ＼ c c c ＼
(4) 十四种Bravais晶格
X射线单晶结构分析讲座
3.晶体结构测定方法
主要公式：
H1 = H2 + H3
tan jH1 =
(S2关系 )
S |EH2| |EH3| sin(jH2 + jH3)
S |EH2| |EH3| cos(jH2 + jH3)
P = ½ + ½ tanh[(N)–½ EH1EH2EH3] E 为归一化结构因子 Eo2 = Fo2/F2
X射线单晶结构分析
1. 前言 2. 晶体对称性 3. 晶体结构测定方法 4. 结构分析应用程序简介
1. 前言
1895年伦琴发现X射线。 1912年劳厄用CuSO4.5H2O发现晶体对 X射线的衍射；提出劳厄方程 1913年布拉格父子测定第一个晶体结 构NaCl；提出布拉格方程。 首例有机化合物的晶体结构是六次甲基四胺。 VB12，血红蛋白，膜蛋白的晶体结构。 1972年中国人测定胰岛素的结构
1. 前言
一、概述
什么是X射线结构分析： 研究原子（或电子密度）在三维空间的分布
衍射像 电磁波 F F1
放大的物像
光学显微镜： 光学玻璃透镜完成F1变换 电子显微镜： 磁透镜完成F1变换 X射线： 没有一种物质能作X光的透镜， 只能用计算机完成F1变换
1. 前言
晶体结构分析的重要性
X射线 结构分析 晶体
. .
等效点系: 2 1 1
1 1
. .
1
消光规律
no condition
1
1
0 0 0
2. 晶体对称性
¼ No. 14 P21/c ¼ ¼
等效点系: 4 2 2 1 1
. .
–,
½ – ,
+½+ ,
X射线衍射晶体法应用简介
Ie p
R
I0
2θ
*
O
电子对X-射线的散射
Thomson公式：
Ie Re2m 4I20c41c2o22 s 18
(2) 一个原子的衍射:
Ia'R2 (Z (Z)4 e)m I2 0c41c2o 22sZ2Ie
由于各电子散射在同一方向的位相不同,将会发生干涉, 而使其散射强度有所减弱
Ia Ie f 2
h = 0、±1、±2、…
矢量式 a·( S - So ) = h h = 0、±1、±2、…
直线点阵上衍射圆锥的形成
11
推广到三维
a·(S – So) = h
a(cos - cos o) = h
b·(S – So) = k 或 b(cos - cos o) = k
c·(S – So) = l
c(cos - cos o) = l
f 称为原子散射因子(scatering factor),它相当于原子散射 X射线的有效电子数，相当于把f个电子集中于一点时所散射 X射线的应有强度。它反映原子散射的本领大小。 f < Z
19
(3) 一个晶胞电子的衍射:
设：一个晶胞在衍射方向hkl 散射X 射线的本领为Fhkl
Ic Ie|Fhkl|2
(100)滑
移面， c n d
l＝奇数
00l
l不为3的倍数 l不为4的倍数
l不为6的倍数
[001]螺
旋轴， 平移量
c/2 c/3 c/4 c/6
21，42，63 31，32，62，64 41，43 61，65
★根据系统消光，可以测定微观对称元素和点阵型式，是确
向改变)－衍射效应
在以上对X射线的作用中，相干散射效应是X射线在晶体中产 生衍射的基础。在相干散射中，原子核由于质量大，与X光作 用时产生的位移小，所起的散射作用也比较小，因此相干散射 的作用主要是电子散射波长的相互作用。
X射线衍射晶体结构分析-应用
但是事实上这些线条都出现在衍射花样上，因此只有
在f或g位置是可能的。同时f及g位置是相当的，因此只 要考虑一种情况就可以了。
P42/mnm
Z=2 氧O位置
再下一步的工作是要决定参数x的值。由表12-5看出 （200）的反射强度极低，说明x的数值离开 ¼ 不远，因此 可以将x=0.25附近的若干数值代入结构因数式中，然后再计 算各个反射线条的相对强度，与观测的强度相对比，结果发 现以x=0.31时最为符合。 Ti O 2a 4f 0.0 0.302 0.0 0.302 0.0 0.0000
Structure of Caz[Al1-xSix]2N2(N1-xOx):0.02Eu
Cmc21
atom Ca
site 4a 0
x
y 0.3494
z 0.9200
Al/Si
NI NII/O
8b
8b 4a
0.1743
0.2269 0
0.8512
0.8668 0.2350
0.9636
0.3284 0.4082
Z＝4
hkl 111 200 220 311 222 400 331 420 强度（观测） 弱 很强 强 很弱 中 很弱 极弱 中
金红石（二氧化钛，TiO2）
四方晶系 d 3.24 2.49 2.29 2.19 2.05 a=4.58 Å， c=2.98 Å TiO2 Z＝2 I相对 80 60 4 30 12 hkl 110 101 200 111 210 d 1.69 1.62 1.485 1.449 1.355 I相对 100 30 20 20 30 hkl 211 220 002 310 301 d 1.245 1.170 1.147 1.091 1.040 P42/mnm I相对 4 8 4 8 8 hkl 202 321 400 222 312
Χ-射线晶体结构的几种分析方法
指标化：
9
0.87563
8
16
400 330.0
10
0.97826
9
18
411 330.5
11
0.98335
9
18
411 330.3
因 h2+k2+l2 不可能有7，故乘以2，都得到合理的整理，根
据此整数即得衍射指标如表所示。因能用立方晶系的关系式指
标化全部数据，所以晶体应属于立方晶系。而所得指标h+k+l全
某种晶体的全部衍射圆锥在胶片上记录下的环纹
由粉末图计算衍射角
利用衍射线的指标化求h、k、l，根据布拉格方程
2d hkl
sin hkl
n
nh=h,nk=k,nl l
②立方晶系粉末（衍射）线的指标化： 对立方晶系，布拉格方程为：
2
a
h2 k2 l2 sinhkl n
11
Cu Ka2
0.98335
[解]：由上题知，对立方晶系： Sin2θ=（λ2/4a2）（h2+k2+l2）
用第1号衍射线的Sin2θ值遍除，即可得到h2+k2+l2的比值。
再根据此比值加以调整，使之成为合理的整数，即可求出衍射
指标hkl。从而进一步求得所需数值如下表
序号
Sin2θ 用1号遍除 因出现7，以2倍之 hkl a/pm
X射线衍射晶体结构分析-理论 刘泉林 2015 12 上海
晶体结构 Crystal structure
X-射线衍射
衍射图谱 Diffraction Spectrum
衍射测量参数：偏转角度 2， 强度 I
X射线粉末衍射分析：问题和困难
物质材料 单晶
物相 晶胞
多晶 原子
衍射波的叠加
ห้องสมุดไป่ตู้
电子
衍射图谱
2
探测强度
10 = 5+5 4+6 12-2
探测器
晶体结构分析理论
晶胞结构
金红石，TiO2， 空间群P42/mnm a=4.593, c=2.959Å 单位晶胞内有4个O ， 2个Ti ，Z=2。 O 2a Ti 4f (0,0,0) (0.302,0.302,0)
4+ 2-
Ti O
晶体学与衍射技术 Crystallography and Diffraction
tan 1
f f
j j
j
sin 2 (hx j ky j lz j ) cos 2 (hx j ky j lz j )
j
相角由原子坐标参数确定
相角问题
Steve Jobs: “Think Different !”
引自 arxiv:1402.7350
影响图像清晰度的因素
* I c Ec Ec
1 2 1 2 1 sin N1a s sin N 2b s sin N 3c s 2 2 2 F 2 ( s ) Ee2 2 1 2 1 2 1 sin a s sin b s sin c s 2 2 2
F (hkl ) Fhkl exp{ihkl }
简单实例分析
问题？
1.KCl衍射峰偏向低角度
X-ray晶体结构分析原理
峰与波谷叠加，相互完全抵消。
§2-4. 衍射方向与晶胞参数
晶体衍射方向——是指晶体在入射x-射线照射下产
生的衍射线偏离入射线的角度。 衍射方向决定于：晶体内部结构周期重复的方式
和晶体安置的方位。
测定晶体的衍射方向，可以求得晶胞的大小和形状。
衍射方向 联系 晶胞大小、形状 —— 的两个方程：
Laue: 以直线点阵为出发点 二者等效 Bragg : 以平面点阵为出发点
Cu 的工作电压为 30~40kV）作用下撞到X-ray源的
阳极靶上，大部分动能转化为热（需冷却水），小
部分却会产生连续X-ray。
2. X-ray 的波长范围 范围：约1—10000pm(0.01—100Å)之间的电磁波。 用于测定晶体结构的 X-ray：
波长为：50—250pm(0.5—2.5 Å)，此波长范围与 晶体点阵面间距大致相当。
相干散射
与入射线的位相、波长
相同，而方向可以改变.
以上现象叫散射，所引起的波与波之间的 加强 或削弱作用叫波的相干
原子核质量较大，在x-ray作用下产生位移极小， 散射效应也很小，故相干散射主要是x-ray作用于 电子而发生的
二、产生衍射的条件及原理
1、X—射线与晶体光栅
从X-射线是波长在1一10Å之间的一种电磁辐
家手中解放出来，而为广大有机化学家和无机
化学家所掌握。
§2-2 X-ray 的产生及其性质
1. X-ray 的产生
在适当高真空的条件下(10-5~10-7mmHg)，高速 电子流受金属靶(对阴极)的拦截即可得到X-射 线。此中包括三个条件：
(a) 产生自由电子(如通过烧灯丝，热发射自由电子)。
(b) 通过高压电 (一般高压范围为101~102千伏)使自
X-ray晶体结构分析原理
2P1/2
2S1/2 等
因波长接近，强度小，所以 可近似用Kβ表示。
各线强度比例：
I(Cu Kα2) ：I (Cu Kα1)=0.497 I(Cu Kβ) ：I (Cu Kα1)=0.200
当分辨率低时， Kα1和Kα2分不开，可用 加权平均波长表示： λ (Cu Kα) = 1×154.056pm+0.497 ×154.439pm
射，这个波长范围正好与晶体中的原子间距(1 Å)数量级相同，因此，可以用晶体来作为X— 射线的天然的衍射光栅，从对衍射现象的分析， 我们可以得到有关晶体结构的信息。
2、X-射线在晶体中的衍射方向
直线点阵的衍射原理示意图
次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射
如前图:X—射线从垂直于 直线点阵的方向射入，每个 原子的核外电子产生的相干波彼此发生干涉。
晶体衍射是相干散射。
相干散射效应是X-ray在晶体中产生衍射的基础
机理如下：
X-ray（平面电磁波） 作用 晶体
晶体中
原子周围的电子作周期性振动
次生波源
（球面波，方向部分改变，频率、位相不变）
X晶体： 1. 大部分透过 2. 非散射能量 转换:
热能 光电效应 3. 散射: 不相干散射
相干散射
散射效应(B)
反射（极小，可忽略）
热能 A
光电效应
光电子 次生X荧光射线
频率变低，即由原生X 射线的光子轰击出原子 内层电子，再由其它内 层电子补位而产生X荧 光光子。
不相干散射 （反冲电子及波长和方 向均改变的次生散射）
B 相干散射
次生X-ray波长，位相 与原生X-ray相同，但 方向部分发生改变。
X-ray 中子流 电子流
晶体学基础与X射线衍射分析
晶体学基础与X射线单晶衍射分析一、晶体及其对称性晶体是由原子（离子，分子）在空间周期地排列构成地固体物质，为了更好的描述晶体这种周期排列的性质，可以把晶体中按周期重复的区域里的结构抽象成一个点，这样周期排列的点就构成了一个点阵，晶体的结构就可以表示成：晶体结构＝点阵＋结构基元的形式。
用三个不相平行的单位矢量a，b，c可以点阵在空间排列的坐标，这三个矢量的长度a，b，c及其相互之间的夹角γ，β，α称为点阵参数或晶胞参数。
点阵在空间的排列是高度有序的，这决定了其可以做某些对称操作。
固定一个点不动的对称操作（包括旋转，镜像，中心反映）可以有32种，对应32个点群。
实际晶体中除了点操作外，还可以存在螺旋轴，滑移面，若把这些操作和点操作进行组合，可以产生230种对称操作，对应230个空间群，所有晶体的对称操作只可能是这230个空间群中的一个。
了解晶体所属的空间群对测定晶体结构，判断晶体性质是极为重要的。
二、倒易点阵和衍射方向由于晶体具有周期性的排列结构，X射线照射到晶体上会产生衍射，为了更方便的解释晶体的衍射现象，引入了倒易点阵的概念。
倒易点阵是从是从晶体点阵中抽象出来的一套点阵。
它与晶体点阵的关系可以用下面的公式描述：其中a*,b*,c*是倒易点阵的单位矢量，倒易点阵上的点h，k，l的向量H可以表示为：H＝ha∗+kb∗+lc∗向量H的与晶体点阵中的平面（h，k，l）垂直，其长度与点阵中d hkl成反比，即：H＝1/dℎkl.晶体产生衍射的基本条件满足布拉格方程：也即：sinθhkl ＝1d ℎkl 2λ=H ℎkl 2λ 从这里可以看出，只有倒易点阵H hkl 对应的方向才是晶体衍射极大值出射的方向。
三、晶体基本信息的测定晶体的基本信息也就是晶体的晶胞参数和所属的空间群，其中晶胞参数可以在数据处理时利用布拉格方程来计算，为减小误差可以选用高角度的衍射点来求算。
由于在没有反常散射的情况下，晶体的衍射强度满足Friedel 定律，衍射点在H hkl 和H hkl̅̅̅̅̅的强度是相等的，也就是衍射点的分布都是中心对称的。
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求：①氯化钠晶体属何点阵型式 ②第五对粉末线的衍射指标是什么？ ③求氯化钠晶体的晶胞参数 ④计算氯化钠晶体的密度（一个晶胞中有4个
氯化钠分子） ⑤解释表中衍射强度强弱的原因。
在直径为57.3mm的相机中，用Cu Ka (λ=154.18pm)射线 拍金属铜的粉末图。从图上量得8对粉末线的2L值为44.0，51.4， 75.4，90.4，95.6，117.4，137.0，145.6mm。试计算下表各栏 数值，求出晶胞参数，确定晶体点阵型式。
1.单晶结构的分析：（劳埃法和回转法→基于劳埃方程） 单晶：能被同一点阵所贯穿的晶体。 ① 劳埃法：（单晶体+白色Χ-射线） 可确定晶体所属的晶系和点群，即可探明晶体的宏观对称性。 ② 回转法：（单晶体+单色Χ-射线） 回转法使单晶体绕某一晶轴转动，即三个入射角有两个变动。
解：a
h
h
cosh
a
R2
2
51.4 25.7 0.188 1.34×3=4 200 0.04700
3
75.4 37.7 0.347 2.67×3=8 220 0.04675
4
90.4 45.2 0.503 3.59×3=11 311 0.04573
序号 2L/mm θ/度 Sin2θ h2+k2+l2 hkl λ2/4a2
[解]：由L求θ可按下式：
180 2L 180 2 L(mm) L 4 R 4 (57.3mm) / 2
由sin2 求h2 k 2 l2可用第1条线的sin2 值去除各线的sin2 值，
然后乘一个合适的整数使之都接近整数值。
大量粉末的某一种衍射hkl，形成一个衍射圆锥:
大量粉末的各种衍射， 相应地形成各个衍射圆锥
1.照相法
一个衍射圆锥的角度与弧长的关系
部分衍射圆锥示意图
某种晶体的全部衍射圆锥在胶片上记录下的环纹
由粉末图计算衍射角
利用衍射线的指标化求h、k、l，根据布拉格方程
2d hkl
sinhkl
n
nh=h,nk=k,nl l
由Bragg公式2d sin n以及立方晶系的
d a (h2 k 2 l2 )1/ 2
可得： sin2
2
h2 k 2 l2 4a2
按上述公式计算所得结果列表如下:
序号 2L/mm θ/度 Sin2θ h2+k2+l2 hkl λ2/4a2
1
44.0 22.0 0.140 1.00×3=3 111 0.04666
5-7 x-射线晶体结构分析原理
晶体的周期性结构使晶体能对x-射线、中子流、电子 流等产生衍射效应，形成x-射线衍射法、中子衍射法和电 子衍射法，这些衍射法能获得有关晶体结构的可靠而精确 的数据。在衍射法中，最重要的是x-射线衍射法。
衍射法和光谱法是测定物质结构的最重要的近代物理 方法。
Χ-射线晶体结构的几种分析方法
立方P
立方I h+k+l=偶数
立方F h,k,l全奇或全偶
例：在氯化钠晶体粉末法实验中，采用铜靶线，X-射线的波长为 1.542Å，照相机半径为R=50㎜，对实验所得的照片从中央向外量 取9对粉末线，目测各对线的相对强度见小下表：
线号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
强弱 弱 强 强 弱 强
强
弱
强
强
（l cm） 4.792 5.550 7.959 9.436 10.036 11.598 12.794 13.538 14.712
指标化：
sin2 hkl
2
4a2
h2 k2 l2
sin2 hkl h2 k2 l2
sin2 hkl之比等于 h2 k2 l2 之比
注意：立方体心中h2+k2+l2是约分比，计算a时应注意。
粉末法只适用于立方晶系。
立方晶系粉末图指标化
(示意图, 将衍射图的弧线简化成了直线）
②立方晶系粉末（衍射）线的指标化： 对立方晶系，布拉格方程为：
2
a
h2 k2 l2 sinhkl n
nh=h,nk=k,nl l
sin2 hkl
2
4a2
h2 k2 l2
计算立方晶系各点阵型式的衍射强度，找出消光规律。
列出可能出现的衍射指标，衍射指标的平方和
h2 k2 l2 P I F
H
2 h
Hh
H h指中央层线到h的距离 确定a、b、c后
n=
V
M N0
V N0 由此公式确定晶胞个数
M
例：用劳埃法测知黄铜矿晶体属四方晶系，又用回转法拍摄了两
张回转图，所用入射线的波长为1.542Å。晶体转动轴与圆筒形
胶片的距离为50㎜，绕[100]轴旋转时，测得中央层线与第一层
线的距离为15.38㎜，绕[001]轴旋转时，测得中央层线与第一
h12 k12 l12 : h22 k22 l22 :
对简单立方为 1：2：3：4：5：6：8：9：10： 11：12：13：14：16：17：18：19：20（缺7、15） 对体心立方为2：4：6：8：10：12：14：16：18：20 =1：2：3：4：5：6：7：8：9：10（不缺7、15） 对面心立方为3：4：8：11：12：16：19：20
多晶粉末衍射
粉末图不同于单晶的Laue图, 粉末图不是衍射点，而是 衍射圆锥在感光胶片上形成的同心圆图案
一粒粉末产生的某种衍射hkl，形成一条衍射线
样品中有大量粉末(~1012 粒/mm3)在空间随机取向，许多 粉末的同一族平面点阵有同一级衍射，以相同θ角围绕着入 射线. 这些密集的衍射线围成4θ衍射圆锥.
1
100
2
110 110
3
111
111
4
6
211 211
7
8
220 220 220
9
300
10
310 310
11
311
311
12
222 222 222
13
320
14
321 321
15
16
400 400 400
17
410
18
411 411
19
331
331
20
420 420 420
层线的距离为7.57㎜，试计算在三个晶轴方向的素平移和晶胞
体积。
解：a
h
h
R2
H
2 h
cos h
Hh
a
Hh
h
R2
H
2 h
a
15.38
1.542
502 15.382
0
求得a 5.244 A
0
同理求得c 10.3 A
0
V a2 c 283.2 A
2、粉末法 （多晶或晶体粉末+单色Χ-射线→基于布拉格方程） 多晶体：不能被同一个点阵贯穿的晶体 粉末法结构分析 ①粉末法结构分析原理和粉末图：