2013年广东省高考数学(文)B卷word精效版(无答案)

合集下载

【推荐】2013年广东省高考数学试卷(文科)

2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= ．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a= ．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD 中，，BC=3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求． 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ﹣BCF ，其中BC=．（1）证明：DE ∥平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=时，求三棱锥F ﹣DEG 的体积V F ﹣DEG ．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程2+2=0的解集，则S={|2+2=0}={0，﹣2}，T为方程2﹣2=0的解集，则T={|2﹣2=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要+1＞0且﹣1≠0，进而可求得的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得＞﹣1且≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（+yi）=i﹣y=3+4i，，y∈R，∴=4，﹣y=3，即=4，y=﹣3．∴|+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=+1，设l方程为y=﹣+b，即+y+b=0．根据直线l与圆2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=+1，可得直线l的斜率为=﹣1∴设直线l方程为y=﹣+b，即+y﹣b=0∵直线l与圆2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= 15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a 1+|a 2|+a 3+|a 4|的值．【解答】解：∵数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n =a 1•q n ﹣1=（﹣2）n ﹣1，∴a 1=1，a 2=﹣2，a 3=4，a 4=﹣8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a ）处的切线平行于轴， ∴2a ﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A （1，4）目标函数=+y 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，=1+4=5．最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即2+y2﹣2=0．化圆的方程为标准式，得（﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC 边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n ≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为2=4y ．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：② 联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P （0，y 0）为直线l ：﹣y ﹣2=0上的点，所以0﹣y 0﹣2=0，即y 0=0﹣2，所以直线AB 的方程为0﹣2y ﹣2y 0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．【分析】（1）当=1时，求出f ′（）=32﹣2+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当＜0时，对∀∈[，﹣]，f （）﹣f （）及f （）﹣f （﹣）．【解答】解：f ′（）=32﹣2+1 （1）当=1时f ′（）=32﹣2+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（）＞0，f （）在R 上单调递增．（2）当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（）≥0，f （）在[，﹣]上单调递增，从而当=时，f （）取得最小值m=f （）=，当=﹣时，f （）取得最大值M=f （﹣）=﹣3﹣3﹣=﹣23﹣．（ii ）当，即时，令f ′（）=32﹣2+1=0解得：，注意到＜2＜1＜0，∴m=min{f （），f （1）}，M=ma{f （﹣），f （2）}，∵，∴f（）的最小值m=f（）=，∵，∴f（）的最大值M=f（﹣）=﹣23﹣．综上所述，当＜0时，f（）的最小值m=f（）=，最大值M=f（﹣）=﹣23﹣解法2：（2）当＜0时，对∀∈[，﹣]，都有f（）﹣f（）=3﹣2+﹣3+3﹣=（2+1）（﹣）≥0，故f（）≥f（）．f（）﹣f（﹣）=3﹣2++3+3+=（+）（2﹣2+22+1）=（+）[（﹣）2+2+1]≤0，故f（）≤f（﹣），而f（）=＜0，f（﹣）=﹣23﹣＞0．=f（）=．所以，f（）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

2013广东省高考数学试卷(文科)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（文科）本试卷共6页，21题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式为Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、设集合{}R x x x x S ∈=+=，022，{}R x x x x T ∈=-=，022，则=T S ( )A 、｛0｝B 、｛0，2｝C 、｛－2，0｝D 、｛－2，0，2｝ 2、函数1)1lg()(-+=x x x f 的定义域（）A 、(－1，＋∞)B 、[－1，＋∞)C 、(－1，1)∪(1，＋∞)D 、[－1，1)∪(1，＋∞) 3、若i yi x i 43)(+=+，R y x ∈，，则复数yi x +的模是（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、已知51)25sin(=+απ，那么=αcos （） A 、52- B 、51- C 、51 D 、525、执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（） A 、1 B 、2 C 、4 D 、76、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A 、61B 、31C 、32D 、1第5题图第6题图 7、垂直于直线1+=x y 且与圆122=+y x 相切于第一象限的直线方程是（） A 、02=-+y x B 、01=++y x C 、01=-+y x D 、02=++y x 8、设l 为直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A 、若l ∥α，l ∥β，则α∥β B 、若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C 、若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D 、若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点F （1，0），离心率等于21，则C 的方程是（） A 、14322=+y x B 、13422=+y x C 、12422=+y x D 、13422=+y x 10、设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc。

2013年广东高考文科数学试卷(含参考答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合22S=|x|x +20,|,|x|x -20,|x x R T x x R =∈==∈，则S T ⋂=A. |0|B. |02|，C. |2,0|-D. |2,0,2|- 2.函数lg(1)1x y x +=-的定义域是 A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. [)1,1(1,)-+∞ 3.若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是 A.2 B.3 C.4） D.54.已知51sin()25πα+=，那么cos α= 2.5A - 1.5B - 1.5C 2.5D5.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输入s 的值是.1A .2B .3C .7D6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是1.6A 1.3B 2.3C .1A 7.垂直于直线1y x =+且于圆的直线方程是.0A x y += .10B x y ++= .10C x y +-= .0D x y +=8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是.,,A l l αβαβ 若则 .,,B l l αβαβ⊥⊥ 若则.,,C l l αβαβ⊥ 若则 .,,D l l αβαβ⊥⊥ 若则9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A += 22.14x B =22.142x y C += 22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题： ①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+. 上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2013年高考试题及答案广东卷文数

2013年高考试题及答案广东卷文数D8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是A 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A +=22.143x B +=22.142x y C +=22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+. ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11~13题）11．设数列| na |是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________。

12．若曲线2ln y ax x =-在点（1，a ）处的切线平行于x 轴，则a =________。

13．已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程=2cos ρθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________。

2013年广东高考数学文科试题及答案

2013年广东高考数学文科试题及答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：选A 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：C3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】：选D . 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：选C.5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．【解析】选B.7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A．0x y += B ．10x y ++=图 1图 2俯视图侧视图正视图C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】选B9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】选D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=【解析】1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】最优解为()1,4，故填 5 ；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．【解析】先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ，DE ==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．图 3(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==.18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．图 4(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为．设P 为直线上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意d 1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9221．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。

2013年高考真题文科数学(广东卷)解析版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能力吧，数学出基础题就好一一感恩广东今年数学出题老师一一湛江 -农垦-小徐注（QQ:808068）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.1锥体的体积公式： V 1 Sh .其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.3一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合 S {x|x 2 2x 0,x R} , T {x|x 2 2x 0,x R}，则 S TA . {0}B- {0, 2}C. { 2,0} D . { 2,0, 2} 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A , 5分到手，妙!2 .函数f (x) lg( x ——9的定义域是x 1A . ( 1,) B . [ 1, ) C. ( 1,1) (1, )D . [ 1,1) (1,【解析】：对数真数大于零, 分母不等于零，目测C !3 .若 i(x yi) 3 4i ,x, y R ，则复数xyi 的模是A . 2B . 3C. 4D . 54,y模为5，选D.4 .已知sin(2)—, 那么cos21C 1A .B. C. -555【解析】考查三角5 S "(2)sin(2 +—) si n —2 2cos1—，选 C.55.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是A. 1B. 2C. 4D. 7【解析】选C•本题只需细心按程序框图运行一下即可.正视图侧视图俯视图6.某三棱锥的三视图如图 2所示，则该三棱锥的体积是【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为选B.排除B 、C ;相切于第一象限排除 D ,选A •直接法可设所求的直线方程为:①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ； ②给定向量b 和c ,总存在实数和，使a b③给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 c 和实数④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c ;1 A .61 B.3C. 23D. 12=3，7 .垂直于直线.. 2 2y x 1且与圆x y 1相切于第一象限的直线方程是A . x yB .C . x yD .【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于再利用圆心到直线的距离等于r 1，求得k 2 .&设I 为直线, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 I//, I //，则 // B .若I ,I ，则 //C .若 I , I //，则 //D .若,I// ，则【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为2 2x y .A.————22x yB .— 1 4 3C .D .【解析】基础题，c1,a 2,b3，选 D.10.设a 是已知的平面向量且’a ；0，关.于向量 a 的分解, 有如下四个命，使a b上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是D. 4A. 1B. 2C. 3【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 a 的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一定能满足，③是错的; 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须a ，所以④是假命题•综上，本题选B •平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何•【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABD 选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共 5小题•考生作答4小题•每小题5分，满分20分. （一）必做题（11〜13题）11 •设数列｛a n ｝是首项为1，公比为 2的等比数列, 【解析】这题相当于直接给出答案了 15212.若曲线y ax In x 在点（1,a ）处的切线平行于标系，则曲线C 的参数方程为【解析】本题考了备考弱点x 1 cos1，易的则曲线 C 的参数方程为（为参数）则 a 1 |a 21 a s |a 41x 轴,【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意y2ax1 ',y x 1 2a 1 x13.已知变量x, y 满足约束条件 x 1，则 z 1最大值是【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚•先化成直角坐标方程X 1 2 y 2y sin15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD中，AB 3, BC 3, BE AC，垂足为E，则ED⑵用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在【解析】本题对数值要敏感，由AB 3, BC 3，可知 BAC 60从而AE 计，CAD 30，【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些•三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数 f(x) 2 cos x 一 , x R . 12(1)求f 的值;333⑵若cos -,——,2 ，求f 526 【解析】(1) fcos - —v 2 cos -13 3 12441 Vcos3 3,2sin2cos5 25f=2 cos2 cos cossin sin —1644 45【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了17. （本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取 50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下:分组（重量） [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95）的频率;DEAE 2 AD 2 2AE AD cos3021 2图3［80,85）的有几个?⑶ 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1个的概率.20【解析】（1）苹果的重量在 90,95的频率为20 =0 4 ；505（2） ------------------------- 重量在80,85的有4 =1个；5+15（3）设这4个苹果中80,85分段的为1， 95,100分段的为2、3、4,从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（ 1,3）（ 1 ,4）（ 2, 3）（2,4）（ 3, 4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 80,85 和 95,1003 1 中各有1个的事件为A ,贝U 事件A 包含有（1, 2）（ 1 , 3）（ 1, 4）共3种，所以p （A ） 3 '.6 2【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18. （本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD AE , F是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将 ABF 沿AF 折起，得到如图A BCF ，其中 BC（1）证明：DE //平面BCF ;⑵证明：CF 平面ABF ;⑶当AD —时，求三棱锥F3 DEG 的体积V【解析】（1）在等边三角形ABC 中， AD AEADAE，在折叠后的三棱A BCF 中DB EC 1 1也成立， DE / /BC ., DE 平面 BCF ,5所示的三棱锥G图5BC 平面BCF , DE // 平面BCF ；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC①，BF CF 1.2在三棱锥A BCF中，BC BC2BF2CF2CF BF ②（2）两问是已知S n 求a n , a n 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（易错点在分成n 1，n 2来做后，不会求印，没有证明q 也满足通项公式. 20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c c 0到直线I : X y 2 o 的距离为3 2.设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB ，其中代B 为切点. 2（1）求抛物线C 的方程;（2）当点P X o ,y °为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程;⑶ 当点P 在直线I 上移动时，求|AF | |BF |的最小值.抛物线C 的方程为X 2 4y ； (2)设点 A(X 1, y 1),B(X 2,y 2),C 在点A 处的切线PA 的方程为y 力；（x X 1）,11 1 12 2n 121 2n 1 2n 1【解析】（1）依题意d-&2，解得c 1 （负根舍去）2由X 24y ,即卩 y - x 2,得 y4【解析】本题考查很常规, 2）问，作出第（3）问•本题P(x o , y o ),•••抛物线X 1—X 21 2y12X1.?X * . •••点P(x o , y o )在切线I 1 上，• y oX 1刁《y 「同理，y°qx。

2013年高考试题及答案广东卷文数

掌门1对1教育高考真题2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A.|0|B.|02|，C. |2,0|-D.|2,0,2|-2.函数lg(1)1x y x +=-的定义域是A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(1,1)(1,)-+∞D.[)1,1(1,)-+∞ 3.若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是A.2B.3C.4）D.5 4.已知51sin()25πα+=，那么cos α= 2.5A -1.5B -1.5C 2.5D5.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输入s 的值是.1A .2B C.4.7D6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是1.6A 1.3B 2.3C .1A 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是.0A x y +=.10B x y ++=.10C x y +-=.0D x y ++=8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是 A 若l ∥α，l ∥β，则α∥β B 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A +=22.14x B +=22.142x y C +=22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题： ①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2013年(广东卷)高考数学(文科B)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分·考试用时120分钟·注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上·用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上·将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”·2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上·3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液·不按以上要求作答的答案无效·4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答·漏涂、错涂、多涂的，答案无效·5.考生必须保持答题卡的整洁·考试结束后，将试卷和答题卡一并交回·参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高·一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.设集合22S=|x|x +20,|,|x|x -20,|x x R T x x R =∈==∈，则S T ⋂=A. |0|B. |02|，C. |2,0|-D. |2,0,2|-2.函数lg(1)1x y x +=-的定义域是 A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. [)1,1(1,)-+∞3.若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是 A.2 B.3 C.4） D.54.已知51sin()25πα+=，那么cos α= 2.5A - 1.5B - 1.5C 2.5D5.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输入s 的值是.1A .2B .3C .7D6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是1.6A 1.3B 2.3C .1A 7.垂直于直线1y x =+且于圆的直线方程是.0A x y += .10B x y ++= .10C x y +-= .0D x y +=8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是.,,A l l αβαβ若则 .,,B l l αβαβ⊥⊥若则.,,C l l αβαβ⊥若则 .,,D l l αβαβ⊥⊥若则9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A += 22.14x B =22.142x y C += 22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题： ①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+. 上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分· （一）必做题（11~13题）11．设数列{n a }是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________· 12．若曲线2ln y ax x =-在点（1，a ）处的切线平行于x 轴，则a =________·13．已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________·（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程=2cos ρθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________·15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________·三、解答题：本大题共6小题，满分30分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤· 16、（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x R ∈（1）求()3f π的值；（2）3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求()6f πθ-· 17、（本小题满分12分）（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有1的概率·。

2013年高考真题—文科数学(广东卷)精校精析

2013年高考真题精校精析2013·广东卷(文科数学)1．设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈}，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈}，则S ∩T ＝( ) A ．{0} B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}1．A [解析] S ＝{－2，0}，T ＝{0，2}，S ∩T ＝{0}，故选A. 2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)2．C [解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0得x ∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．D [解析] 根据复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，|x ＋y i|＝（－3）2＋42＝5.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15C.15D.254．C [解析] sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15，选C. 5．执行如图1－1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )图1－1A ．1B ．2C ．4D ．75．C [解析] 1≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2；2≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3；s ＝2＋2＝4，i ＝4；4>3，故输出s ＝4，选C.6．某三棱锥的三视图如图1－2( )A.16B.13C.23D ．1 6．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13，选B.7．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋2＝07．A [解析] 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝m2，解得m ＝±2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.8．、设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 9．D [解析] 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题知c ＝1，c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，选D.10．设是已知的平面向量且≠0，关于向量的分解，有如下四个命题： ①给定向量，总存在向量，使＝＋；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使＝λ＋μ；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使＝λ＋μ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使＝λ＋μ上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．B [解析] ①作OA →＝，OB →＝，如图(1)，连接AB ，只要＝BA →即可，故①对；②是对的，因为和不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；③是错的，如图(2)，作OA →＝，OB →＝，OC →＝μ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝，OB →＝λ，OC →＝μ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和共线的两个点)，但不一定有＝λ＋μ综上，选B.11．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________． 11．15 [解析] 方法一：易求得a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 方法二：相当于求首项为1，公比为2的等比数列的前4项和，S 4＝1－241－2＝15.12．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________12.12 [解析] 易知点(1，a )在曲线y ＝ax 2－ln x 上，y ′＝2ax －1x ，∴ |y ′x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．13．5 [解析] 根据图知，线性目标函数z ＝x ＋y 在点C 处取得最大值，易求点C (1，4)，故z max＝5.14． (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．14.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) [解析] 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)．15． (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________．图1－315.212 [解析] AB ＝3，BC ＝3⇒AC ＝3＋9＝2 3，∵AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝32.又∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝33，∴∠ACB ＝π6，故∠EAD ＝π6.在△AED 中，由余弦定理得ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3cos π6＝214，故ED ＝212.16．，已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈ (1)求f ⎝⎛⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 16．解：17．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有1个的概率． 17．解： 18．，，如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：19．，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.19．解：20．，，已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 20．解：21．设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈)． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 21．解：。

2013年广东省高考数学试卷(文科)

2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE ∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n=a n+2，+1∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f （x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以，f（x）min=f（k）=k．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．第21页（共21页）。

【推荐】2013年广东省高考数学试卷(文科)

2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= ．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a= ． 13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为． 15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD 中，，BC=3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求． 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ﹣BCF ，其中BC=．（1）证明：DE ∥平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=时，求三棱锥F ﹣DEG 的体积V F ﹣DEG ．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值． 21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程2+2=0的解集，则S={|2+2=0}={0，﹣2}，T为方程2﹣2=0的解集，则T={|2﹣2=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要+1＞0且﹣1≠0，进而可求得的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得＞﹣1且≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（+yi）=i﹣y=3+4i，，y∈R，∴=4，﹣y=3，即=4，y=﹣3．∴|+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=+1，设l方程为y=﹣+b，即+y+b=0．根据直线l与圆2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=+1，可得直线l的斜率为=﹣1∴设直线l方程为y=﹣+b，即+y﹣b=0∵直线l与圆2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= 15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a 1+|a 2|+a 3+|a 4|的值．【解答】解：∵数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n =a 1•q n ﹣1=（﹣2）n ﹣1，∴a 1=1，a 2=﹣2，a 3=4，a 4=﹣8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a ）处的切线平行于轴， ∴2a ﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A （1，4）目标函数=+y 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，=1+4=5．最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即2+y2﹣2=0．化圆的方程为标准式，得（﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC 边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n ≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为2=4y ．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：② 联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P （0，y 0）为直线l ：﹣y ﹣2=0上的点，所以0﹣y 0﹣2=0，即y 0=0﹣2，所以直线AB 的方程为0﹣2y ﹣2y 0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．【分析】（1）当=1时，求出f ′（）=32﹣2+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当＜0时，对∀∈[，﹣]，f （）﹣f （）及f （）﹣f （﹣）．【解答】解：f ′（）=32﹣2+1 （1）当=1时f ′（）=32﹣2+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（）＞0，f （）在R 上单调递增．（2）当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（）≥0，f （）在[，﹣]上单调递增，从而当=时，f （）取得最小值m=f （）=，当=﹣时，f （）取得最大值M=f （﹣）=﹣3﹣3﹣=﹣23﹣．（ii ）当，即时，令f ′（）=32﹣2+1=0解得：，注意到＜2＜1＜0，∴m=min{f （），f （1）}，M=ma{f （﹣），f （2）}，∵，∴f（）的最小值m=f（）=，∵，∴f（）的最大值M=f（﹣）=﹣23﹣．综上所述，当＜0时，f（）的最小值m=f（）=，最大值M=f（﹣）=﹣23﹣解法2：（2）当＜0时，对∀∈[，﹣]，都有f（）﹣f（）=3﹣2+﹣3+3﹣=（2+1）（﹣）≥0，故f（）≥f（）．f（）﹣f（﹣）=3﹣2++3+3+=（+）（2﹣2+22+1）=（+）[（﹣）2+2+1]≤0，故f（）≤f（﹣），而f（）=＜0，f（﹣）=﹣23﹣＞0．=f（）=．所以，f（）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

2013年广东高考文科数学(全解析)逐题详解

正视图侧视图俯视图第6题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学钱耀周参考公式:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}2|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()lg 11x f x x +=-的定义域是( )A . ()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【解析】C ；依题意1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且1x ≠,故选C ．3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )A . 2B ．3C ．4D ．5【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-C ．15D ．25【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,故选C ．5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )A . 1B ．2C ．4D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )A .16 B ．13C ．23D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为12,高为2,所以1112323V =⨯⨯=,故选B . 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A . 0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于12,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y +=【解析】D ；依题意1c =,12e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a的分解,有如下四个命题:① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+；② 给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a b c λμ=+ ；④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+ . 上述命题中的向量b ,c 和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A . 1B ．2C ．3D ．4 【解析】C ；考查平面向量基本定理,成立的有①②③,故选B ．说明:对于④,比如给定a和1λμ==,就不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c =+.二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分 (一)必做题(11～13题)11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________．【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______. 【解析】12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12a =. 13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值是____.【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________. 【解析】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()2211x y -+=,圆心为()1,0,A EDCB 第15题图半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_________.；依题意AC =在Rt ABC ∆中,由射影定理可得,2AB AE AC =⋅,所以AE =也可以由30ABC ∠=︒得到),在ADE ∆中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AEAD AE =+-⋅︒3219234224=+-⨯⨯=,所以2ED =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, cos sin 66124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341555⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.17．（本小题满分13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为202505=； (Ⅱ) 抽样比为415155=+,所以重量在[)80,85的有1515⨯=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为3162=. 18．（本小题满分13分）F ABC F DEG 图1图2如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中BC =.(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC ；由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ⊂平面DGE ,所以//DE 平面BCF .方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC , 因为DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,所以//DE 平面BCF .(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==,2BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,依题意可得1123DG GE AD ===,236GF AF AG =-=-=,所以1123636DGF S ∆=⨯⨯=,所以三棱锥F DEG -的体积113363324V =⨯=. 20．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()214411n n S a n -=---(2n ≥).两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2212n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2222624a a a +=+,解得23a =,由2a 11a =,于是212a a -=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以()1223111111111111112335212122212n n a a a a a a n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+因为()224310∆=--⨯⨯<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.(Ⅱ) ()2321f x x kx '=-+,判别式()()22243143k k ∆=--⨯⨯=-当0∆≤,即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0∆>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2321f x x kx '=-+的对称轴为2k x =,且恒过()0,1,画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.因为()()()()32222222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()()()23232111111210f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦, 所以()32M f k k k =-=--.综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.。

2013年高考数学文(新课标1卷)WORD版无答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年广东省高考数学试题(文+理)含详细答案(Word版本已校对)

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）参考公式：台体的体积公式h S S S S V )(312121++=，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（） A ．{0} B ．{0，2} C ．{-2,0} D ．{-2,0,2}2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（）A ． 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（） A ．（2,4）B ．（2,-4）C ． (4,-2)D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（） A ．23B ．2C ．25D ．35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）A ．4B ．314 C ．316 D ．66．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ B ．若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m // C ．若βα⊂⊂⊥n m n m ,,，则βα⊥ D ．若βα//,//,n n m m ⊥，则βα⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是（）A ．15422=-yxB ．15422=-yxC ．15222=-yxD ．15222=-yx8．设整数n ≥4，集合X={1，2，3…，n }．令集合S ={（x ,y ,z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ,y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}，若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在s 中，则下列选项正确的是（） A ．（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B ．（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C ．（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈S D ．（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9．不等式x 2+x -2<0的解集为．10．若曲线y =kx +ln x 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k = ． 11．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为． 12．在等差数列{ a n }中，已知a 3+ a 8=10，则3a 5+ a 7=_______．13．给定区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集T ={(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z}是z =x +y在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定____条不同的直线．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x sin 2cos 2（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_________________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 到D 是BC =CD ，过C 作⊙O 的切线交AD 于E ．若AB =6，ED =2，则BC =______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π．（1）求)6(π-f 的值；（2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)32(πθ+f ．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图418．（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱椎BCDE A -'，其中3='O A ．（1）证明：O A '⊥平面BCDE ；（2）求二面角B CD A --'的平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知*211,32312,1N n n n a nS a n n ∈---==+．（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：对一切正整数n ，有471111321<++++na a a a ．20．（本小题满分14分）已知抛物线c 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线L ：x -y -2=0的距离为223．设P 为直线L 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线L 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线L 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．21．（本小题满分14分）设函数)()1()(2R k kx e x x f x∈--=．（1）当k =1时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当k ∈]121，（时，求函数)(x f 在[0,k ]上的最大值M ．2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题 1-5．DCCAB 6-8．DBB 二、填空题9．(-2,1) 10．-1 11．7 12．20 13．6 14．2)4(sin =+πθρ 15．32三、解答题 16．（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf（2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴,0sin <θ54sin1sin 2-=--=θθ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯=-=θθθθθ∴)4sin2sin 4cos2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ．17．（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18．（1）折叠前连接OD ，OE ，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，O 为BC 的中 ∴3==BO CO ，AC =BC =23，又2==BE CD ，∴ 22==AE AD ，545cos 23292cos 2222=︒⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=C CD CO COCDDO同理225ODOE==将△ADE 沿DE 折起，则22''==E A D A ，又已知3='O A ． ∴222222'',''E A EOOA D A DOO A =+=+∴DO A '∆是D A '为斜边的直角三角形，DO ⊥A ′OEO A '∆是E A '为斜边的直角三角形，EO ⊥A ′O又BCDE DO 面⊂，BCDE EO 面⊂，且DO ∩EO =O ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）在平面ABED 内过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =CO sin C =22AO =223，由A ′O ⊥面BCDE 知, OH O A CD O A ⊥⊥',',HA CD OH A CD ''⊥∴⊥∴平面∴∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，230)3()223('2222=+=+'='∆OHOA H A OH A Rt 中在故cos ∠A ′HO=5153023=='HA OH ．19．（1）令*21,32312N n n n a nS n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a nS n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n naa n a n n n ∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n a n a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==a a a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴nn a n =．∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵ n=1时，;47111<=a;4745211112221<=+=+=a a ，n 时 )1111(21)1)(1(1111222+--=+-=-<≥n n n n n n，n 时∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n综上所述，na a a a 1111321++++47<（n *N ∈）都成立。

2013年广东省高考数学试卷(文科)

2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A． B． C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a2|+a3+|a4|= ．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．19．（14分）设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A． B． C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB ⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C 错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{an }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{an }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴an=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V．F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵an ＞0，∴an+1=an+2，∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{an }是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{an }的通项公式an=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an =Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，将它表示成关于y的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x﹣y﹣2=0，即y=x﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以，f（x）=f（k）=k．min【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

2013广东高考文科数学试题及答案

2013广东高考文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = （）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（）A. 2B. 3C. 4D. 5 4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（） A. 25-B. 15-C. 15D. 255. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（）A. 1B. 2C. 4D. 7图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）A.16 B. 13 C. 23D. 1 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A. 20x y +-=B. 10x y ++=C. 10x y +-=D. 20x y ++= 8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥ 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（） A. 22134x y += B. 22143x y += C. 22142x y += D. 22143x y += 10. 设a r 是已知的平面向量且0a ≠r r ，关于向量a r的分解，有如下四个命题：① 给定向量b r ，总存在向量c r ，使a b c =+r r r；② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r；③ 给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r 和单位向量c r ，使a b c λμ=+r r r.上述命题中的向量b r ，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________； 15.几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =___________；三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2cos ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [)80,85[)85,90[)90,95[)95,100频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G . 将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =. （1）证明：DE BCF //平面；（2）证明：CF ABF ⊥平面；（3）当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图4 图519.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1）证明：2145a a =+；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 21.设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .2013年广东高考文科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项DBABCCDCAB二、填空题 11. 15 12. 12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 15. 212三、解答题16. 解：(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，24sin 1cos 5θθ=--=-，1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为20=0.450；（2）重量在[80,85)的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[)95,100分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[)95,100中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 18. 解：（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，22BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭19. 解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，21045n a a a >∴=+（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 20. 解：（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9221. 解：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx = ，且过()01，（i ）当()()24124330k k k ∆=-=+-≤，即30k -≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()'23210f x x kx =-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。

2013年广东省高考真题 (语文,无答案)word版

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）语文整理录入：青峰弦月一、本大题4小题，每小题3分，共12分。

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A．崇．高／作祟．殷．红／赝．品调．适／调．和B．傍．晚／滂．沱赈．灾／诤．言湖泊．／停泊．C．韬．略／滔．天砧．板／嗔．怪如法炮．制／炮．火连天D．瞥．见／蹩．脚悚．然／耸．立方兴未艾．／自怨自艾．2．下面语段中画线的词语，使用不恰当的一项是在许多人眼里，美术馆一直是阳春白雪的代名词，是少数有艺术造诣的人出入的地方，里面陈列的通常是看不太懂的作品。

但如果你到台湾的美术馆去转转，你一定不会失望。

台湾的美术馆数量众多，有大有小，风格迥异。

其中规模最大的两处是新北市的朱铭美术馆和台中市的“台湾美术馆”。

臵身其中，你会发现那里艺术不再是高高在上的物品，而是像站立在你身边懂你的知心朋友。

A．阳春白雪 B．通常 C．迥异 D．高高在上3．下列句子，没有语病的一项是A．为满足与日俱增的客流运输需求，缓解地铁线路载客，近日，广州地铁三号线再增加一列新车上线运营。

B．有关部门负责人强调，利用互联网造谣、传谣是违法行为，我国多部法律对惩治这类行为已有明确规定。

c．神木县属陕北黄土丘陵区向内蒙古高原的过渡地带，境内煤矿资源主要分布在北部的风沙草滩区，生态环境非常脆弱，一旦破坏，短期内难以一时恢复。

D．最近纽约市颁布了一项禁令关于禁止超市、流动贩卖车、电影院、熟食店等销售大剂量含糖饮料，以控制日益严重的肥胖现象。

4．在文中横线处填入下列语句，衔接最恰当的一项是生产能力的增强，加上与生俱来的动物性，使人类对生物形成了过分的优越感，产生了过度的欲望，。

，更使一些人误以为可以无视生物的生存权，。

但对自然界造成危害的不是生产能力和科学技术，，。

，可以使资源得到充分利用，从而使人类能够在尽可能少地影响自然的情况下生存，并且能不断改善自己的物质生活，还可更有效地保护物种和自然环境。

2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）．解答：解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ．（ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0，故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0，故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0．所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。