三角形内角和定理的证明
三角形的内角和证明
三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。
证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。
2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。
3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。
4. 在此过程中,q转过了一个平面角。
我们知道,平面角的大小等于360度。
5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。
6. 因此,A + B + C = 360度。
7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。
结论:任意三角形的内角和都等于180度。
人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。
该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。
这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。
三角形内角和定理的证明
随堂练习
☞
2、已知：如图在△ABC中， 已知：如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： 求证： ∠ADE=500
证明： DE∥BC（已知） 证明：∵ DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C ∴∠AED=∠C D E 两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等） C B ∵∠C=70 已知） ∵∠C=700（已知） （第2题） 题 ∴∠AED=70 等量代换） ∴∠AED=700（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180 ∵∠A+∠AED+∠ADE=1800 三角形的内角和定理） （三角形的内角和定理） 已知） ∠A=600（已知） ∴∠ADE=180 等量代换） ∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换） 即∠ADE=500
1 2
1 2 B D
图5
3
C
C
图6
D
…………
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果? (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理---三角形内角和定理---三角形三个内角的和等于180 三角形三个内角的和等于1800
在证明三角形内角和定理时, 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是 把三个角“ 他过点A 把三个角“凑”到A处,他过点A作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如图),他的想法可以吗? PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? P A Q 1 3 2 证明：过点A作 ∥ ， 证明：过点 作PQ∥BC，则 两直线平行,内错角 ∠1=∠B(两直线平行 内错角 B ∠ 两直线平行 C ∠ 两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等 相等) 相等 ∠2=∠C(两直线平行 内错角相等) ∵∠1+∠ ∠3 ∠3=1800 (平角的定义 平角的定义) 又∵∠ ∠2+∠3 平角的定义 ∠C=1800 (等量代换 等量代换). ∴ ∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠C 等量代换
证明三角形内角和的方法
证明三角形内角和的方法
证明三角形内角和的方法是通过数学推导和几何定理来得出结论。
首先，我们可以使用三角形的内角和定理来证明三角形内角和为180度。
三角形的内角和定理表明，任何一个三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理可以通过如下推导得出：
假设我们有一个三角形ABC，其中AB是底边。
我们可以在点C处作一条平行于边AB的直线，与边AC和边BC相交，如图所示。
```
A
/
/
/____
B C
```
根据平行线性质，我们可以得出∠ACB和∠BAC是一对内错角，它们的和等于180度。
同样地，∠ABC和∠CBA也是一对内错角，它们的和也等于180度。
根据三角形内角和定理，我们可以得出以下等式：
∠BAC + ∠ACB + ∠ABC + ∠CBA = (∠ACB + ∠BAC) + (∠ABC + ∠CBA) = 180度
因此，三角形ABC的三个内角之和等于180度。
除了通过三角形的内角和定理来证明三角形内角和为180度外，还可以使用其他方法来推导这个结论。
例如，可以使用平行线性质、三角形的外角和定理等几何定理来得出相同的结论。
在扩展这个证明时，可以进一步探讨三角形内角和定理的应用和推广。
例如，可以讨论非欧几何中三角形内角和定理的变体，或者证明其他多边形的内角和定理。
此外，还可以讨论三角形内角和定理在解决几何问题中的应用，如计算未知角度、证明三角形相似、判断三角形形状等等。
7.5三角形内角和定理的证明
D
E C
（第3题）
∴ ∠ AED= ∠ C = 700 （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知） ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
• 在任意一个三角形中，无论这个三角形的形状如 何，三角形的内角和总等于180度。
1、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ 2、 △ABC中∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
练一练
3、三角形的三个内角中，只能有__个直角或__个钝角 4、任意一个三角形，至少有__个锐角,至多有__个锐角 5、任意一个三角形，最大的角一定不小于 度； 6、三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
实际问题
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶， C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离 灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时， ∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离 灯塔最近点时呢？ C
数学课件-3三角形内角和定理的证明
认识推理
❖ 所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（ 简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理 ，归纳推理善于发现结论。
❖ 例如:在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角 形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形 ，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，平面内 的一切三角形内角和都是180度。
证法二
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
A
E
1
B
32
C
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成
虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 °1 2 3 4 （等量代换）
D
B
C
试一试
根据下面的图形,写出相应的证明.
A
Q
R
B
P
C(1)SQPNA
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
三角形内角和定理的证明及应用
根据三角形内角和定理，当三角形的内角和等于180度时，可以判断该三角形是一个平面三角形。如果内角和小于180度，则意味着这不是一个三角形，而是一个非平面图形。如果内角和大于180度，则意味着这个图形是一个凹多边形，而不是三角形。
2.求解缺失的内角：
在已知三个内角中，若已知其中两个内角的度数，可以利用三角形内角和定理计算第三个内角的度数。例如，若已知∠A = 60°和∠B = 80°，可以计算出∠C = 40°。
由于∠A和∠B被直线DE分割成两个角，可以得到：
∠A + ∠B + ∠EDC = 180° (3)
同样地，由于∠B和∠C被直线FG分割成两个角，可以得到：
∠B + ∠C + ∠FGA = 180° (4)
将等式（1）和（2）代入等式（3）和（4）中，我们得到：
∠A + ∠B + ∠C + ∠EDC + ∠FGA = 360°
首先，我们可以利用平行线之间的性质对三角形进行分析。假设通过点A和点C分别作与边BC平行的直线DE和FG。如图1所示：
```
A
/ \
/ \
/ \
D-F-----G-----B
```
由于AB和DE是平行线，根据平行线与交叉线的性质，得知∠A和∠EDC是同位角，它们对应于相交线段BC。
3.推导其他几何定理：
三角形内角和定理是许多其他几何定理的基础。例如，通过三角形内角和定理，可以推导出三角形的外角和定理，即三角形的外角和等于360度。这个定理在解决许多涉及三角形外角的问题时非常有用。
总结：
三角形内角和定理是几何学中一项重要的定理，它表明了三角形内角的度数之和等于180度。这个定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，例如判断三角形的类型和计算缺失的内角。同时，通过这个定理还可以推导出其他几何定理。理解并应用三角形内角和定理对于几何学的学习和问题解决具有关键意义。
三角形内角和定理
三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个内角组成。
在数学中，有许多定理和公式适用于三角形的性质和特征。
本文将介绍三角形内角和定理。
一、三角形的内角和三角形的内角和定理是指三角形内的三个角的度数之和等于180度。
即对于任意三角形ABC，有∠A +∠B +∠C = 180°。
二、三角形内角和定理的证明要证明三角形内角和定理，可以采用如下的方法之一：1. 通过平行线证明：设直线L与边AC平行，交边AB于点D。
则∠ACD与∠A之和为180°（同位角和对内错外角和为180°）。
同理，设直线M与边AB平行，交边AC于点E，则∠ABE与∠C之和为180°。
根据两段式证明原理，可以得出∠ACD + ∠C + ∠ABE = 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 通过角平分线证明：设三角形ABC的内角A的角平分线交边BC于点D。
则∠BAD =∠CAD，由此可得∠B + ∠BAD = ∠C + ∠CAD。
又由三角形内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180°，因此可以推出∠A + ∠B + ∠C =∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三、三角形内角和定理的应用三角形内角和定理在解决各种与三角形相关的问题时起到了重要的作用。
下面以一些典型的应用为例进行说明：1. 求解缺失的角度：在已知三角形两个角的度数时，可以利用内角和定理求解第三个角的度数。
例如，若已知∠A = 30°，∠B = 60°，则根据内角和定理可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 90°。
2. 判断三角形类型：根据内角和定理，若三角形的内角和等于180°，则可以判断出该三角形是一个普通三角形。
而当内角和小于180°时，表示该图形是一个退化三角形（如直线），当内角和大于180°时，表示该图形不是一个三角形。
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1A D 2C 6.5三角形内角和定理的证明 撰写人：韩丽苹
自学目标：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。
（2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。
自学过程：一、用撕纸的办法验证三角形内角和定理.
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800
如图，当时，我们是把∠A 移到了∠1的位置。
如果不实际移动∠A ，那么你还有什么方法达到同样的效果？
2.根据前面给出的公理和定理，
你能用自己的语言说说这一结论的
证明思路吗？你能用比较简洁的语
言写出这一证明过程吗？与同伴交流。
二、 证明三角形内角和定理．
已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法一：
证法二：
想一想：还有其它证法吗？
三、三角形内角和定理的应用.
1.（1）△ABC 中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？
（2）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=_______
（3）∠A=50°，∠B=∠C ，则△ABC 中∠B=________
（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．
2.直角三角形的两锐角之和是多少度？正三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。
3.三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
A B C D
E A B C E
D
4.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70，
点D和E分别在AB和AC上，且D E∥BC.
求证：∠ADE=50°
提高练习：1、已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。
(1)求∠B的度数；
(2)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？
2.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，已知∠A=50°，求∠BOC的度数。
3.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落
在点A'处，已知∠1+∠2=100°则∠A的度数为______
4.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，
若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于______°.
四、作业：第241页习题6.6第1，2，3题。