高中数学北师大版选修1-1第一章《逻辑联结词“且”“或”“非”》同步练习2
数学北师大版选修1-1 第一章4.3 逻辑联结词“非” 作业2
[A.基础达标]1．“若x 2－7x ＋12≠0||，则x ≠3且x ≠4”的否定为( )A ．若x 2－7x ＋12＝0||，则x ＝3或x ＝4B ．若x 2－7x ＋12＝0||，则x ＝3且x ＝4C ．若x 2－7x ＋12≠0||，则x ＝3或x ＝4D ．若x 2－7x ＋12≠0||，则x ＝3且x ＝4解析：选C.不否定条件“x 2－7x ＋12≠0”||，只否定结论“x ≠3且x ≠4”||，此结论的否定为：“x ＝3或x ＝4”||，故选C.2．若命题“p 且q ”为假||，且非p 为假||，则( )A ．“p 或q ”为假B ．q 为假C ．p 为假D ．q 为真解析：选B.因为非p 为假||，所以p 为真||，又“p 且q ”为假||，所以q 必为假||，故选B.3．设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同；命题q ：方程x 2＋3x －1＝0的两根之和为3||，判断命题“非p ”、“非q ”、“p 且q ”、“p 或q ”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由于Δ＞0||，且两根⎩⎨⎧x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝－3||，p 为真命题||，q 为假||，所以非p 为假命题||，非q 为真命题；p 且q 为假命题||，p 或q 为真命题||，故选C.4．给定两个命题p ||，q ||，若綈p 是q 的必要不充分条件||，则p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为綈p 是q 的必要不充分条件||，所以q ⇒綈p 但綈p q ||，所以p ⇒綈q 但綈q p ||，故p 是綈q 的充分不必要条件．5．命题p ：“若a <b ||，则2a <2b ”的否命题及命题p 的否定为( )A ．否命题：若a ≥b ||，则2a ≥2b ||，否定：若a <b ||，则2a ≥2bB ．否命题：若a <b ||，则2a ≥2b ||，否定：若a ≥b ||，则2a ≥2bC ．否命题：若2a <2b ||，则a <b ||，否定：若2a <2b ||，则a ≥bD ．否命题：若a >b ||，则2a >2b ||，否定：若a <b ||，则2a >2b解析：选A.否命题是对原命题的条件和结论均否定；写否命题时大前提不变．故选A.6．命题p ：x ＝2且y ＝3||，则綈p 为________．解析：綈p ：x ≠2或y ≠3.答案：x ≠2或y ≠37．已知全集为R ||，命题p ：0∈N ||，q ：{0}⊆∁RQ ||，则下述判断：①“p 且q ”为真；②“p 或q ”为真；③綈p 为真；④綈q 为假．其中正确的序号为________． 解析：易知p 为真命题||，q 为假命题；故“p 且q ”为假||，“p 或q ”为真||，綈p 为假||，綈q 为真．答案：②8．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②非q 为假；③p 且q 为假；④p 或q 为真．解析：因为p 为假命题||，q 也为假命题||，故p 且q 为假命题．答案：③9．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题||，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数||，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞||，－1)||，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3||，＋∞)．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假||，q 假||，所以“p 或q ”为假||，“p 且q ”为假||，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞||，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3||，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞||，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3||，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞||，－1)．因为p 假||，q 假||，所以p 或q 假||，p 且q 假||，非p 为真．10．已知命题p ：|m ＋1|≤2成立；命题q ：方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根．若綈p 为假命题||，p 且q 为假命题||，求实数m 的取值范围．解：|m ＋1|≤2⇒－2≤m ＋1≤2⇒－3≤m ≤1||，即命题p ：－3≤m ≤1.方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根⇒Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m ≥1或m ≤－1||，即q ：m ≥1或m ≤－1.因为綈p 为假命题||，“p 且q ”为假命题||，则p 为真命题||，所以q 为假命题||，綈q 为真命题||，綈q ：－1<m <1.由⎩⎨⎧－3≤m ≤1－1<m <1⇒－1<m <1||， 即m 的取值范围是(－1||，1)．[B.能力提升]1．在一次跳伞训练中||，甲、乙两位学员各跳一次||，设命题p 是“甲降落在指定范围”||，q 是“乙降落在指定范围”||，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )或(綈q )B ．p 或(綈q )C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或q解析：选A.綈p 是“甲没降落在指定范围”；綈q 是“乙没降落在指定范围”．命题“至少有一位学员没降落在指定范围”包括：“甲降落在指定范围||，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围||，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围||，乙没降落在指定范围”||，故该命题可表示为(綈p )或(綈q )．2．已知命题p 1：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12－x 在R 上为减函数||，p 2：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫12－x 在R上为增函数||，则在命题q 1：p 1或p 2||，q 2：p 1且p 2||，q 3：p 2或非p 1||，q 4：p 1且非p 2中||，真命题是( )A ．q 1||，q 3B ．q 2||，q 3C ．q 1||，q 4D ．q 2||，q 4解析：选C.因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2x 是R 上的减函数||，所以命题p 1是真命题；因为x ＝1和x ＝－1时||，都有y ＝12＋2＝52||，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋2x 不是R 上的增函数||，故p 2是假命题||，所以p 1或p 2是真命题||，p 1且p 2是假命题||，p 2或非p 1是假命题||，p 1且非p 2是真命题||，所以真命题是q 1||，q 4||，故选C.3．设p ：|4x －3|≤1||，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0||，若綈p 是綈q 的必要不充分条件||，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知得若p 成立||，则12≤x ≤1||，若q 成立||，则a ≤x ≤a ＋1.又綈p 是綈q 的必要不充分条件||，即q 是p 的必要不充分条件||，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，1≤a ＋1.所以0≤a ≤12. 答案：[0||，12] 4．已知p ：x ＞1或x ＜－15||，q ：1x 2＋4x －5＞0||，则非p 是非q 的________条件． 解析：由1x 2＋4x －5＞0得||，x 2＋4x －5＞0||，所以x ＜－5或x ＞1||， 由于{x |x ＞1或x ＜－15}{x |x ＞1或x ＜－5}||， 所以p 是q 的必要不充分条件||，即p q ||，所以非q 非p ||，即非p 是非q 的充分不必要条件．答案：充分不必要5．已知p ：|4－x |≤6||，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)||，若非p 是q 的充分不必要条件||，求实数a 的取值范围．解：綈p 即|4－x |>6||，解得x >10或x <－2||，记A ＝{x |x >10或x <－2}||，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0||，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ||，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }||，綈p ⇒q ||，即A 是B 的真子集||，所以⎩⎨⎧1－a ≥－2，1＋a ≤10，1＋a >1－a ，解得0<a ≤3||，即实数a 的取值范围是(0||，3]．6．(选做题)设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数||，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0||，a ]上的值域为[－1||，3]．若“p 且q ”为假命题||，“p 或q ”为真命题||，求a 的取值范围．解：当p 为真时||，由0<a －32<1得32<a <52. 当q 为真时||，因为f (x )＝(x －2)2－1在[0||，a ]上的值域为[－1||，3]||，所以2≤a ≤4.又因为“p 且q ”为假命题||，“p 或q ”为真命题||，所以p ||，q 一真一假．若p 真q 假||，则32<a <2；若p 假q 真||，则52≤a ≤4. 综上可得||，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪32<a <2或52≤a ≤4.。
2017-2018学年高中数学北师大选修1-1讲义：第一章 4
§4逻辑联结词“且”“或”“非”[对应学生用书P11]如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合．用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．问题1：什么情况下，p且q为真命题？提示：当p真，且q真时．问题2：什么情况下，p或q为假命题？提示：当p假，且q假时．问题3：什么情况下，綈p为真命题？提示：当p为假时．含有逻辑联结词的命题的真假判断1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；3．新命题綈p与命题p的真假相反．[对应学生用书P12][例1](1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．[思路点拨]先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．[精解详析](1)p或q：6是自然数或是偶数．p且q：6是自然数且是偶数．綈p：6不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．p且q：3是9的约数且是18的约数．綈p：3不是9的约数．[一点通]用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.答案：C2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；“p且q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)x ＝1不是不等式x 2－5x ＋6>0的解．解：(1)是“p 且q ”形式的命题．其中p ：菱形的对角线互相垂直．q ：菱形的对角线互相平分．(2)是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数． (3)是“綈p ”形式的命题，其中p ：x ＝1是不等式x 2－5x ＋6>0的解.[例2] (1)p ：3是13的约数，q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解； (2)p ：x 2＋1≥1，q ：3＞4；(3)p ：四边形的一组对边平行，q ：四边形的一组对边相等； (4)p ：1∈{1,2}，q ：{1} {1,2}．[思路点拨] 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p ，q 的真假判断命题的真假．[精解详析] (1)因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (2)因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假； (3)因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (4)因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假． [一点通]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤： (1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”的真假性与命题p ，q 的真假性的关系作出判断．5．若綈p 或q 是假命题，则( ) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是假命题 C ．p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：由于綈p 或q 是假命题，则綈p 与q 均是假命题，所以p 是真命题，綈q 是真命题，所以p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，故选A.答案：A6．设命题p ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝tan x 的图像关于直线x ＝3π2对称，则( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为真D ．p 或q 为假解析：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期T ＝2π2＝π，所以p 为假命题；函数y ＝tan x 的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q 为假命题，所以綈q 为真，p 且q 为假，p 或q 为假，故选D.答案：D[例3] ＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．[思路点拨] “p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 中必一真一假；可分p 真q 假，p 假q 真两种情况处理．[精解详析] 由题意知，p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，则p 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，∴m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则q 为真时，Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 即1<m <3.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一点通]根据p ，q 的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p 假”时，一般不从綈p 为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p 真”时参数的集合的补集．7．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：该命题p 的否定是綈p ：“任意x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＞0”，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1＞0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g (x )的图像开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a ＞1，即a ＜1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．[对应课时跟踪训练(四)]1．已知命题p ，q ，若命题綈p 是假命题，命题p ∨q 是真命题，则( ) A ．p 是真命题，q 是真命题 B ．p 是假命题，q 是真命题C ．p 是真命题，q 可能是真命题也可能是假命题D ．p 是假命题，q 可能是真命题也可能是假命题解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，由于命题p 或q 一真则真，所以q 可能是真命题也可能是假命题，故选C.答案：C2．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∈/∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题 D ．非q 为假命题解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.答案：D3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.答案：C5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q 是“第二次击中飞机”．试用p ，q 以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s ：两次都击中飞机； (2)命题r ：两次都没击中飞机； (3)命题t ：恰有一次击中了飞机； (4)命题u ：至少有一次击中了飞机．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假． p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0， ∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[对应学生用书P14]一、命题1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．2．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件与必要条件1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定． 若“p ⇒q ”，且“p ⇐/ q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/ q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．2．利用集合关系判断充分必要条件：若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则x ∈A 与x ∈B 互为充要条件；若A ⃘B 且B ⃘A ，则x ∈A 是x ∈B 的既不充分也不必要条件． 三、全称量词与存在量词1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x 验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x ，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．四、逻辑联结词1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p 或q ”“p 且q ”“非p ”． 2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，其余为假；“p 且q ”中有假为假，其余为真． 3．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中是假命题的是( ) A ．等边三角形的三个内角均为60° B ．若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数 C ．集合A ＝{0,1}的真子集有3个D ．若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根解析：对于A ，由平面几何知识可知A 是真命题；对于B ，取x ＝3，y ＝－3可知x ＋y ＝0是有理数，显然x ，y 都是无理数，故B 是假命题；对于C ，集合A ＝{0,1}的所有真子集是∅，{0}，{1}，共有3个，故C 是真命题；对于D ，由b ≤－1知Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ＞0，所以D 是真命题，故选B.答案：B2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．命题p ：对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2≤sin x 成立，则命题p 的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 B ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2≥sin x 成立 C ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 D ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2＞sin x 成立解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.答案：C4．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.答案：C5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．答案：B6．给出下列四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么()A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.答案：A7．已知条件p：1x＋2＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的() A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：不等式1x＋2＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p⇒/ q，q⇒綈p，故选C.答案：C8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C9．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，綈p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，sin x ＋cos x ＝2， ∴q 真，綈q 假．答案：D10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B ．命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定是“存在x ∈N ，x 3＞x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定为“存在x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确； 又∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π， ∴|a |＝1⇒/ a ＝1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为_______________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等12．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的________条件． 解析：因为角A 可能为锐角或为钝角，因此由“sin A ＝45”不一定得到“cos A ＝35”，但“cos A ＝35”一定能得到“sin A ＝45”，故“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的必要不充分条件． 答案：必要不充分13．已知命题p ：任意x ∈R ，ax 2－2x －3＜0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：綈p ：存在x ∈R ，ax 2－2x －3≥0.当a ＝0时，存在x ≤－32，使ax 2－2x －3≥0；当a ＞0时，显然存在实数x ，使ax 2－2x －3≥0；当a ＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a ≥0，即有－13≤a ＜0.综上所述：a ≥－13. 答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 14．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 或綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．上述结论中，正确结论的序号是________．解析：∵p 真，q 真，∴p 且q 真，p 或綈q 真，綈p 或q 真，綈p 或綈q 假．答案：①③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述：实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1. 16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的新命题，并判断真假．(1)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同；q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等． 解：(1)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分，綈p ：平行四边形的对角线不一定相等．由于p 假q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．綈p ：方程x 2－16＝0的两根的符号相同．由于p 真q 真，所以“p 或q ”，“p 且q ”为真，“綈p ”为假．17．(本小题满分12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2.方程有两个大于1的实根就是函数f (x )与x 轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－2k －12>1，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (2k －1)2－4k 2≥0，2k ＋1<0，k 2＋2k >0⇔k <－2.所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k <－2.18．(本小题满分14分)给定p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则p ，q 有且仅有一个为真命题，故“綈p 且q ”为真命题，或“p 且綈q ”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4，a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，a >14， 解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是()－∞，0∪⎝⎛⎭⎫14，4.。
高中数学北师大版选修1-1第一章《用联系的思想学习逻辑联结词》word拓展资料素材
用联系的思想学习逻辑联结词逻辑联结词“或、且、非”与集合的关系有着密切的关系，联系集合中的“并、交、补”集的概念对学习逻辑联结词很有帮助。
一、 “或”与“并集”集合}|{B x A x x B A ∈∈=或 中的“或”，它是指“A x ∈”、“B x ∈”其中至少一个是成立的：即A x ∈，且B x ∉；也可以A x ∉ ，且B x ∈；也可以A x ∈，且B x ∈．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”．由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”，在“p 真q 假”、“p 假q 真”、“p 真q 真”时，都真．例1 判断下列例题的真假（1）04≥ （2）54≥解：（1）命题“04≥”是由命题04:,04:>=q p 用“或”联结后构成的新命题，即q p ∨。
因为命题q 是真命题，所以q p ∨是真命题；（2）命题“44≥”是由命题54:,54:>=q p 用“或”联结后构成的新命题，即q p ∨。
因为命题p 是假命题，命题q 也是假命题，所以q p ∨是假命题；二、“且”与“交集”集合}|{B x A x x B A ∈∈=且 中的“且”，它是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思：即x 既属于集合A ，同时又属于集合B ．用“且”联结两个命题p 与q 构成的复合命题“p 且q ”，当且仅当“p 真q 真”时，“p 且q ”真．例２ 写出由下列各组命题构成的 “p 且q ”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直．解 （1）3是9的约数且是18的约数．此为真命题；（2）矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；点评 判断“p 且q ”的真值时，可简称为“有假则假”．三、“非”与“补集”“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p ”，当p 真时，则“非p ”假，当p 假时，则“非p 真．若将命题p 对应集合p ，则命题非p 就对应着集合p 在全集U 中的补集U P ．例3 写出下列各命题的否定，并判断其真假.（1）x y p sin :=是奇函数；（2）3)3(:2=-q 解：（1）x y p sin : =⌝不是奇函数，假命题.（2）3)3(:2=/-⌝q ,即3)3(: 2>-⌝q 或3)3(2<-，假命题.。
北师大版高三数学选修1-1《1.4逻辑联结词“非”》同步测试卷及答案
北师大版高三数学选修1-1《1.4逻辑联结词“非”》同步测试卷及答案逻辑联结词“非”同步练习一、选择题：1．有三个语句：⑴2x <；⑵210x -=；⑶20,()x x R <∈，其中是真命题的为（ ）A ．⑴ ⑵B ．⑴ ⑶C ．⑵D ．⑶2．下列语句中是命题的为 （ ）A ．你到过北京吗？B ．对顶角难道不相等吗？C ．啊！我太高兴啦！D 2是无理数3．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解是1x =或2x =。
其中，复合命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．“220a b +≠”的含义为 （ ）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为5．若命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么（ ）A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题6．命题p ：若A B B =，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A B B ≠。
那么命题p 与命题q 的关系是（ ）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定7．若A ：a ∈R,|a|<1, B ：x 的二次方程x2+(a+1)x+a －2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．设集合A={x|x2+x －6=0},B={x|mx+1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是 （ ）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．12m =-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭ D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 10．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ；12．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的 条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；13．“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 ；14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的______条件；③A ：|x － 2 |<3, B ：x2－ 4x － 15<0, 则A 是B 的_____条件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学选修1-1《逻辑联结词“或”》同步练习及答案
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1逻辑联结词“或”同步练习一、选择题1．下列语句不是命题的有（）①x2－3＝0 ②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5 ④5x－3＞6．A．①③④ B．①②③ C．①②④D．②③④2．下列命题为简单命题的是（）A．5和10是20的约数B．正方形的对角线垂直平分C．6是无理数 D．方程x2＋x＋2＝0没有实数根3．已知下列三个命题：①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（）A．①和② B。
①和③ C。
②和③ D。
只有①4．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（）A．p真q假 B。
p假q真C．p真q真 D。
p假q假5．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件6．语句3x的否定是（）>≤x或5A．53≤≥xx且3<>xx且 D.5≥x3<x或 C．5x或 B.53≤>x7．设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜}3，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知全集U=R，A⊆U，B⊆U，如果命题P：B2，则命题非P是A⋃∈（）A ．A∉2 B.)(2A C U ∈ C ．)()(2B C A C U U ⋂∈D.)()(2B C A C U U ⋃∈9．设∆ABC 的三边分别为a,b,c ，在命题“若a 2+b 22c≠,则∆ABC 不是直角三角形”及其逆命题中有 （ ）A ．原命题真 B.逆命题真 C.两命题都真 D.两命题都假10．若命题p ：{2}∈{2，3}，q ：{2}⊆{2，3}．则对复合命题的下述判断：①p或q 为真；②p 且q 为假；③非p 为真；④非q 为真；正确的是 ( )A ．①② B.①②④ C.②③④ D.①②③ 11．对命题p ：A ∩∅＝∅，命题q ：A ∪∅＝A ，下列说法正确的是（ ）A ．p 且q 为假B ．p 或q 为假C ．非p 为真D ．非p 为假 12．下面命题中是真命题的为 （ ） （1）“x+y=5”是“x 2-y 2-3x+7y=10”的充分条件；（2）“a-b<0”是“a 2-b 2<0”的充分条件；（3）“a-b<0”是“a 2-b 2<0”的必要条件；（4）“两个三角形全等”是“两边和夹角对应相等”的充要条件A ．①② B.①③ C.②③ D.①④ 二、填空题1．命题“不等式x 2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是 2．命题“a,b 都是奇数，则a+b 是偶数”的逆否命题是。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 常用逻辑
[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题.知识点三非一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而“p与q”均为假命题时，命题“p或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除. 解 (1)是“p 且q ”形式.其中p ：李明是男生；q ：李明是高一学生. (2)是“非p ”形式.其中p ：方程2x 2＋1＝0有实根.(3)是“p 或q ”形式.其中p ：12能被3整除；q ：12能被4整除. 题型二 綈p 命题例2 写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零. (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p 且q ”的否定是“(綈p )或(綈q )”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假，反之，由p 或q ，p 且q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.分类讨论思想的应用例4 已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.分析 首先求出p ，q 为真时a 的取值范围，然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图像开口向上，且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2. 又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a ＞1，即a ＜1. 又因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 一真一假.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，所以1≤a ＜2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，所以a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是1≤a ＜2或a ≤－2.解后反思 由p ，q 的真假，可以判断“p 或q ”“p 且q ”的真假；反之，由“p 或q ”“p 且q ”的真假，也能推断p ，q 的真假，如“p 且q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假B.p 且q 为真C.p 或q 为假D.p 假q 真 答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数.则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(綈p 1)或p 2和q 4：p 1且(綈p 2)中，为真命题的是( ) A.q 1，q 3 B.q 2，q 3 C.q 1，q 4 D.q 2，q 4答案 C解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，∴q3：(綈p1)或p2为假命题，q4：p1且(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q假，∴“p或q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真.4.注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.。
[最新]高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习 北师大版选修1-1试题及答案解析
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高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析] p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案] x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[答案] m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立， 故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析] ∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析] q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析] p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值范围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值范围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析] ax ＋ax ＋1>0恒成立， 当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．。
高中数学第一章常用逻辑用语逻辑联结词“且”“或”“非”知识归纳素材北师大版选修1-1
逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。
3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。
4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或. 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。
5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙插
入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路
1。
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1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”同步练习
一、选择题
1．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（）
A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同
B.命题p与命题“非q”的真值不同
C.命题q与命题“非p”的真值不同
D.命题“非p且非q”是真命题
2．命题p：60是5和4的公倍数；命题q：梯形不是平行四边形；命题r：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形；命题s：等腰三角形的底角相等。
上述四个命题中，简单命题的只有（）
A.p、q、s
B.p、s
C.q、s
D.s
二、解答题
3．把下列语句看成复合命题时，指出它们各是由哪些简单命题构成的？是哪一种形式的复合命题？
（1）35是7和5的倍数；
（2）他既懂日语又懂英语；
（3）他是复旦大学或同济大学的学生；
（4）我们的数学教师外语（英语或法语）说得很好。
4．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断其真假：
（1）p：集合的元素是无序的；q：集合的元素是互异的；
（2）p：0的倒数还是0；q：0的相反数还是0。
5．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
（1）π是实数，π也是无理数；
（2）方程012
=+x 没有实根；
（3）一个实数大于0或小于0。
6．写出下列命题的否定，并判断真假。
（1）不论m 取什么实数，02=-+m x x 必有实根；
（2）存在一个实数x ，使得012≤++x x 。
7．分别指出由下列各组命题构成的“p 或q”、“p 且q”、“非p”命题的真假。
（1）p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆；
（2）p ：角平分线上的点到角两边距离不相等；
q ：线段中垂线上的点到线段的两端点等距；
（3）p ：1∈{2，3}；
q ：{矩形}∩{菱形}={正方形}。
（4）p ：正六边形的对角线都相等；
q ：凡是偶数都是4的倍数。
8．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出此复合命题的真假。
（1）中国在外交政策上，既不欺压弱小国家又不畏惧超级大国；
（2）B A A ⋃⊄。
参考答案
1．D 由题意“p 或q”是假命题，∴p 是假命题，q 是假命题
∴“非p 且非q ”是真命题。
故选D 。
2．C 要注意简单命题与复合命题的关系，命题p 是“p 且q”的形式，命题r 是“p 或q”的形式。
故选C 。
3．解：（1）这是p 且q 形式的复合合题；
p ：35是7的倍数；q ：35是5的倍数。
（2）这是p 且q 形式的命题：
p ：他懂日语；q ：他懂英语。
（3）这是p 或q 形式的复合命题：
p ：他是复旦大学的学生；q ：他是同济大学的学生。
（4）这是p 或q 形式的命题：
p ：数学教师法语说得很好；q ：数学教师英语说得很好。
4．解：（1）p 或q ：集合的元素是无序的或互异的，为真命题。
p 且q ：集合的元素是无序的且互异的，为真命题。
非p ：集合的元素是有序的。
为假命题。
（2）p 或q ：0的倒数还是0或0的相反数还是0。
为真命题。
p 且q ：0的倒数还是0且0的相反数还是0。
为假命题。
非p ：0的倒数不是0。
为真命题。
5．解：（1）此命题是“p 且q”的形式，其中
p ：π是实数
q ：π是无理数
（2）此命题是“非p”的形式，其中
p ：方程012
=+x 有实根
（3）此命题是“p 或q”的形式，其中
p ：一个实数大于0；q ：一个实数小于0
6．解：（1）原命题可以写成“对所有实数m ，02=-+m x x 必有实根”，因此否定形式为“至少有一个实数m ，使得02=-+m x x 没有实根”。
要使方程02=-+m x x 没
有实根，041<+=∆m ，4
1-<m ，取m=-1即可。
命题的否定为真。
（2）原命题的否定是“不存在实数x 使得012≤++x x ”，即“对所有实数x ，
012>++x x 。
”显然是一真命题。
7．解：
（1）∵p 真、q 真，∴p 或q 真；p 且q 真；非p 假。
（2）∵p 假、q 真，∴p 或q 真；p 且q 假；非p 真。
（3）∵p 假、q 真，∴p 或q 真；p 且q 假；非p 真。
（4）∵p 假、q 假，∴p 或q 假；p 且q 假；非p 真。
8．解：（1）“p 且q”形式；p ：中国在外交政策上不欺压弱小国家；q ：中国在外交政策上不畏惧超级大国。
此复合命题为真命题；
（2）“非p”形式；B A A p ⋃⊆:。
此复合命题为假命题。