【选修2-1课件】3.3空间向量的数乘运算(2)

A
B’
C’
c
b
M
a
B
N
C
小结
1 .a b (b ≠ 0) ⇔ ∃ λ ∈ R , a = λ b
推论：P , A, B三点共线 ⇔ ∃λ ∈ R, AP = λ AB ⇔ OP = (1 − λ )OA + λ OB
2.若a与b不共线则c 与a，b 共面 ⇔ c = xa + yb
推论：P , A, B, C四点共面 ⇔ AP = x AB + y AC ⇔ OP = xOA + yOB + zOC ( x + y + z = 1）
B A
C
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， 则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， O
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对 ， ， 由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y， 使c＝x a＋y b 则可选定一点O， （2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点 ， ）充分性： a 于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ 作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是 ＝ 显然OA，OB，OC，都在平面 显然 ， ， ，都在平面OAB内，故c，a，b共面 内
共面向量定理的剖析
如果两个向量 不共线, a，b 不共线,
存在唯一的一对实数x， 存在唯一的一对实数x y ，使 c＝x a＋y b
★ 向量c与向量a，b共面
★ c ＝xa ＋yb
(性质) 性质) 向量c与向量a，b共面 (判定) 判定)
如图, 且平行两不共线 思考 1:如图,平面 α 为经过已知点 A 且平行两不共线 的非零向量 a 、 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P b 平面,如何表示平面 表示 P 呢? p C
= OF − OE = kOB − kOA
O
= k ( OB − OA ) = kAB 由①知 EG = kAC
D
C
⇒ EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得： 由面面平行判定定理的推论得：
A
H
B
G
面 EG // 面 AC
E
F
课外补充练习: 外补充练习: 练习
A 1.对于空间任意一点 ，下列命题正确的是： 对于空间任意一点O，下列命题正确的是： 对于空间任意一点
A
H
B
G
= OF − OE + OH − OE E F = EF + EH 共面。 所以 E、F、G、H共面。 、 、 、 共面
例2 已知
ABCD ，从平面 外一点 引向量 从平面AC外一点 外一点O引向量
OE = kOA ,ຫໍສະໝຸດ OF = kOB , OG = kOC , OH = kOD
求证： 四点 、 、 、 共面 共面； 求证：①四点E、F、G、H共面； 平面EG。 ②平面AC//平面 。 平面 证明： 证明： EF ②
A a B
b
O
①点 P 在平面 α 上 ⇔ ∃ 唯一有序实数对 (x, y),使 AP = xa+ yb 唯一有序实数对 有序实数
存在唯一有序实数对 P B C ② 点 P 在平面 ABC 上 ⇔ ∃ 是存在唯一有序实数对 (x, y),使 A =xA +yA
是存在唯一有序实数对 ⇔ ∃ 是存在唯一有序实数对 (x, y),使 OP = OA + xAB + yAC
3、共面向量定理： 共面向量定理：
如果两个向量a， 不共线 则向量c与向量 不共线， 与向量a， 如果两个向量 ，b不共线，则向量 与向量 ，b 唯一的一对实数 ， ， 共面的充要条件是，存在唯一 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 c＝x a＋y b ＝ ＋ c
证明： 证明： （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面， 与向量a 共面， ）必要性：
2.共线向量定理：,对于空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), 共线向量定理： 对于 共线向量定理 对于空间任意两个向量
a // b ⇔ ∃ λ ∈ R , a = λ b .
推论: 为经过已知点A 推论:如果 l 为经过已知点A且平行已知非零 的直线,那么对任一点O, O,点 向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 l上
1 1 1 (1)OM = OA + OB + OC ; 3 3 3 (2)OM = 2OA − OB − OC.
课本例)如图 例2(课本例 如图，已知平行四边形 课本例 如图，已知平行四边形ABCD,从平 从平 面AC外一点 引向量 OE = k OA , OF = k OB, 外一点O引向量 外一点
16
例3：已知斜三棱柱 ：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’，设AB＝a， ， ＝
在面对角线AC’上和棱 上 上和棱BC上 AC＝b，AA’＝c，在面对角线 ＝ ＝ 上和棱 分别取点M和 ， 分别取点 和N，使AM＝kAC’，BN＝kBC ＝ ， ＝ （0≤k≤1）。 ）。
A’
求证：MN与向量 a 和 c 共面 求证： 与向量 变式： 变式： 求证： 求证：MN∥平面 ∥平面ABB’A’
3.3空间向量的 3.3空间向量的 数乘运算（ 数乘运算（2）
一、共线向量: 共线向量:
1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线 共线向量
段所在直线互相平行或重合, 段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫 做共线向量(或平行向量), ),记作 做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
1 则 OP = OA+ OB 则A、B、P三点共线。 2
(
)
向量参数表示式
共面向量:平行于同一平面的向量 叫做共面向量 共面向量 平行于同一平面的向量,叫做共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量.
a
O A
α
a
注意： 注意：空间任意两个 向量是共面的， 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。 一定共面的了。
其中向量 a叫做直线 若 OP = OA + t AB
的充要条件是存在实数t,满足等式 的充要条件是存在实数t,满足等式OP = OA + ta t,
l
的方向向量. 的方向向量.
P B A
a
(或 AP = t AB)
三点共线。 则A、B、P三点共线。 、 、 三点共线 A,B中点 若 = xOA 中点, O 若OP P为A,B中点, ( x + y = 1)， + yOB
OG = k OC , OH = k OD ,
求证： 求证： 共面； ⑴四点E、F、G、H共面； 四点E、F、G、H共面 平面AC. ⑵平面EG//平面 平面 平面
课本例)已知 例2 (课本例 已知 课本例
ABCD ，从平面 外一点 引向量 从平面AC外一点 外一点O引向量
OE = kOA , OF = kOB , OG = kOC , OH = kOD
思考2（课本 思考） 思考 （课本P88思考） 思考
试证明:对于不共线的三点 B C 试证明 对于不共线的三点 A、 、 空间一点 P 满足 关系式 OP = xOA + yOB + zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内 则 ⇔ x+ y+ z =1.
例1、已知 ，B，C三点不共线，对平面 三点不共线， 、已知A， ， 三点不共线 对平面ABC外的 外的 任一点O，确定在下列条件下， 是否与 是否与A， ， 任一点 ，确定在下列条件下，M是否与 ，B，C 三点共面： 三点共面：
复习： 复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行 、如果向量 的向量，那么，该平面内的任一向量a与 的向量，那么，该平面内的任一向量 与 e1, e2 有什么关系? 有什么关系
2、平面向量基本定理 、
如果e 是一平面内的两个不平行的向量， 如果 1和e2是一平面内的两个不平行的向量， 那么，该平面内的任一向量a， 那么，该平面内的任一向量 ，存在惟一的一 对实数a 对实数 1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2 ＝
(A)若 OP = OA + t AB ，则P、A、B共线 若 、 、 共线 (B)若 3OP = OA + AB ，则P是AB的中点 若 是 的中点 (C)若 OP = OA − t AB ，则P、A、B不共线 若 、 、 不共线 (D)若 OP = − OA + AB ，则P、A、B共线 若 、 、 共线 2.已知点 在平面 已知点M在平面 已知点 在平面ABC内，并且对空间任意一点 内 O， ， OM = xOA ＋
求证： 四点 、 、 、 共面 共面； 求证：①四点E、F、G、H共面； 平面EG. ②平面AC//平面 平面 证明： 四边形ABCD为 证明： 四边形 ∵ 为 ① ∴AC = AB + AD （﹡）
D
O
EG = OG − OE = kOC − kOA
C
= k ( OC − OA ) = kAC = k ( AB + AD ) （﹡）代入 = k ( OB − OA + OD − OA )
1 1 的值为( 的值为 OB ＋ OC , 则x的值为 D) 3 3
( A)1
( B) 0
(C )3
1 ( D) 3
练习: 课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D 下列说明正确的是： 下列说明正确的是 (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线 在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： 2.下列说法正确的是：C 下列说法正确的是 (A)平面内的任意两个向量都共线 平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面 空间的任意三个向量都共面