高中数学：234 平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示(精心修改)共22页
+
P1P
=
0 P1
+
1 3
P
1P
2
P1
y P2
P
=
0 P1
+
1 3
(
0
P
2
-
0 P1)
O
x
=
2 3
0 P1 +
1 3
OP
2
= ( 2x1 + x 2 ,2y1 + y 2 )
3
3
∴ 点 P的 坐 标 是 ( 2x1 + x 2 ,2y1 + y 2 )
3
3
解法二:
设 点 P 的 坐 标 为 （ x ,y ）
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1),(x2, y2) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
2
x
由x、y唯一确定，我们把有序
数对（x，y）叫做向量a的坐标的x叫做向量a在x轴上的坐标， y叫做向量a在y轴上的坐标。
2. 向量的坐标运算： a(x1，y1) b(x2， y2)
a b (x1 x2，y1 y2) a b (x1 x2，y1 y2)
解： ∵a//b
∴ 4y-2×6=0 ∴ y=3
练习： 已 知 a / / b , 且 a = ( x , 2 ) , b = ( 2 , 1 ) , 求 x 的 值 .
解 ： ∵ a// b ∴ x-22=0 ∴x=4
平面向量共线的坐标表示
a0
b
得
x1
这就是说:
y2 x2
a // b(b
y1
0)
0
的充要条件是
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:
((12))aa////bb((ba
0)
a
(x1, y1),b
b;
(x2
,
y2
),
b
0)
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
例题
1. 已知
a
(4,2),
b
(6,
y),
且a
//
b,
求y
Hale Waihona Puke 2. 已知 A ( 1, 1), B (1,3), C ( 2 ,5 ),
求证: A、B、C 三点共线。
3. 若向量 a (1, x), 与
b (x,2)
共线且
方向相同, 求 x.
巴急速从里面伸出……接着，一颗墨蓝色车灯模样的邪恶巨大兔头快速探了出来……一簇簇水蓝色蜜桃模样的时尚巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只浅绿色橱窗模样的 阴冷巨爪威武地伸了出来……随着淡蓝色长绳模样的震撼银光的狂速飞舞，无数深黑色贝壳模样的疯狂羽毛和绿宝石色鳞甲飞一样射出……突然，无数灰蓝色汤勺模样的绝 妙鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个梦唇怪模样的武士……与此同时壮扭公主朝梦唇怪变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝 那伙校精的真身冲飞去……梦唇怪的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看梦唇怪的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿， 直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们还是走吧！”佛玻爱信徒见无法取胜，急忙变成长着离奇眼睛的橙白色古怪水牛朝西北方向飞去……月光妹妹笑道： “嘻嘻！除非你们往回走！想过去是不可以的！”月光妹 优游 www.youyoupi 优游 妹 一边说着一边变成长着怪异手掌的纯蓝色超级纸条追了上去……佛玻爱信徒 “见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇脚趾的亮蓝色古怪将军朝东北方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我的存货能让你们欣赏到万年以后……” 月光妹妹一边说着一边变成长着怪异牙齿的深黑色超级蛋黄追了上去……只见女强盗Ｎ．娆丝米女士和另外二个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的布帘枪尾怪！这个 巨大的布帘枪尾怪，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分发疯般的枪尾！这巨怪有着紫宝石色熊猫形态的身躯和紫葡萄色细小门柱一般的皮毛，头 上是亮白色篦子般的鬃毛，长着鲜红色蛤蟆形态的玉葱粗布额头，前半身是紫红色冰块形态的怪鳞，后半身是虔诚的羽毛。这巨怪长着浅灰色蛤蟆样的脑袋和亮黑色洋葱形 态的脖子，有着钢灰色篦子一样的脸和中灰色匕首样的眉毛，配着碳黑色丝瓜般的鼻子。有着白象牙色领章一样的眼睛，和深红色果盘形态的耳朵，一张白象牙色小鬼形态 的嘴唇，怪叫时露出浅黑色冰雕样的牙齿，变态的紫红色狮子一般的舌头很是恐怖，紫葡萄色鼓锤造型的下巴非常离奇。这巨怪有着仿佛圆规样的肩胛和特像路灯般的翅膀 ，这巨怪紧缩的紫玫瑰色牛肝一般的胸脯闪着冷光，如同螺母般的屁股更让人猜想。这巨怪有着极似软管形态的腿和浓黑色蒲扇样的爪子……跳动的亮白色玉兔一般的六条 尾巴极为怪异，暗红色面具样的标枪天石肚子有种野蛮的霸气。紫玫瑰色鱼杆般的脚趾甲更为绝奇。这个巨怪喘息时有种碳黑色酱缸一般的气味，乱叫时会发出墨
平面向量共线的坐标表示
B
又 2×6 -3×4 = 0, 所以 AB∥AC.
O
x
A
因为直线AB与直线AC有公共点A,
所以A，B，C三点共线.
注意向量共线与 直线重合的区别
思考3：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分 别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方 法求点P的坐标？
分析：中点
My
OP
1 2
6.已知 a =(1, 0), b =(2, 1), 当实数k为何值时,向
量 ka－b与a 3b平行? 并确定它们是同向还是反向.
解：ka－b =(k－2,－1), a 3b =(7, 3),
因为ka - b与a +3b平行, 所以k 1 .
3 它们是反向的.
1.应用共线向量的坐标表示可以解决一些简单问 题：如证明共线、求坐标等等. 2.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在 引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代 数化，将数与形紧密地结合起来，这样，很多几 何问题就转化为我们熟知的数量的运算.
O
x
O
x
如果
P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1 OP1
P13（1POPO2 P1OP113）P1
P2 2
3
OP1
1 3
OP2
（ 2x1 x2 , 2y1 y2 ）,
3
3
即点P的坐标是（ 2x1 x2 , 2y1 y2 ）.
3
3
同理，如果 P1P 2PP2 ，那么点P的坐标是
即
x1 y1
x2 , y2.
消去 后得 x1 y2 x2 y1 0.
第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2．3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 前提条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论 当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？三点共线问题[典例](1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－323．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2)D ．(－4，－8)4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－65．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)． (1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．层级二应试能力达标1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13B．－13C．9 D．－93．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5) B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5) D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．6．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C 能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．。
234平面向量共线的坐标表示29463
AB// CD
A, B,C, D无三点共线(如AB与AC不平行)
r
r
例3 :已知a (1, 2),b (3, 2),
rrr r
当k为何值时, k a b与a 3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
例4 书本P74 例6
练习: (1)若a (1, x)与b (x,2)共线且方向相反,则x 2
其中
rr a0
如果 a P b ，x1、x2、y1、y2 之间有怎样的关系呢？
r
r
rr
已知 a (x1, y1),b (x2, y2) ，其中 a 0 ，
rr 如果 a P b ，那么 x1 y2 x2 y1 0 。
rr
反之如果 x1 y2 x2 y1 0 ，那么 a P b 。
小结: 两向量平行的条件:
1.b // a(a 0) 存在唯一实数,使b a.
2.若a (x1, y1), b (x2 , y2 ), 则a // b(b 0) x1y2 x2 y1 0,即x1y2 x2 y1
这两种表示本质上是一样, 解题时根据具体 情况适当选用.
(2)A(1,1),B(1,3),C(x,5), A, B,C三点共线,则x 2
(3)AB i 2 j, BC i m j,i, j分别是x轴, y轴正方向 上的单位向量, 试确定m的值使A, B,C三点共线.
(4)已知A,B,C,D四点的坐标分别为 m=-2 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),试证明:四 边形ABCD是梯形.
例1:已知a (4,2)，b (6, y),且a // b,求y.
例2 :已知A(1,1), B(1,3), C(2,5), 求证 : A, B,C三点共线.
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
平面向量共线的坐标表示
a0
b
得
x1
这就是说:
y2 x2
a // b(b
y1
0)
0
的充要条件是
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:
((12))aa////bb((ba
0)
a
(x1, y1),b
b;
(x2
,
y2
),
b
0)
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1. 只向有量一a个与实非2数零.3向.4平量,面b使 向得平a行量 (共共线线b)的的坐充要标条表件示是有且
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
设会得a到什(x么1,样y的1),重b要 结(论x2?, y2 )
,b
即 x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
例题
1. 已知
a
(4,2),
b
(6,
y),且aຫໍສະໝຸດ //b,求y
2. 已知 A ( 1, 1), B (1,3), C ( 2 ,5 ),
求证: A、B、C 三点共线。
3. 若向量 a (1, x), 与
b (x,2)
共线且
方向相同, 求 x.
蜂巢飞花额头，前半身是火橙色长号模样的怪鳞，后半身是圆圆的羽毛。这巨魔长着绿宝石色红薯似的脑袋和灰蓝色香槟模样的脖子，有着淡蓝色仙鹤形态的脸和纯蓝色瓜秧 似的眉毛，配着淡青色领带一样的鼻子。有着深绿色磁盘形态的眼睛，和深紫色马妖模样的耳朵，一张深绿色龟壳模样的嘴唇，怪叫时露出水青色椰壳似的牙齿，变态的火橙
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
这两种表示本质上是一样, 解题时根据具体 情况适当选用.
如果 a // b ，那么 x1 y2 x2 y1 0 。
反之如果 x1 y2 x2 y1 0 ，那么 a // b 。
例1 : 已知a (4,2)， (6, y ), 且a // b, 求y. b
例2 : (1)已知A(1,1), B (1,3), C (2,5), 求证 : A, B, C三点共线.
例 4：如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 直线AC、OB交点P的坐标．
[例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． (1)求AB的中点M的坐标； (2)求AB的三等分点P、Q的坐标；
例6： P1 P PP2 ( 1), 点P1 , P , P2坐标分别为（x1 , y1 ), ( x , y ), 设
问1:向量共线定理是什么？ b 对于向量 a ， (a 0) ， a // b存在唯一实数λ，使得 b a -4) 8) 向量a (1 ， 与b (2 ， 是否平行? 问2:向量 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) 其中 a 0 如果 a // b x1、x2、y1、y2 之间有怎样的关系呢？ 已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，其中 a 0 ，
x ( x 2 , y2 )求证： y
x1 x 2 1 y1 y2 1
小结:
两向量平行的条件:
1.b // a(a 0) 存在唯一实数 , 使b a.
2.若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0, 即x1 y2 x2 y1
【高中数学必修四】2.3.4平面向量共线的坐标表示
( x1, y1 ),( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y
解：（2）
若 P1 P 2 PP2 ，同理可得， x1 2 x 2 y1 2 y 2 P , 3 3
P P1
P2
O
x
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
( x1, y1 ),( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y
思考.
若P1P:PP2＝如何 求点P的坐标?
P1
P
P2
O
x
课堂小结
向量共线的两个等价条件
y P
P2
1 P1 OP OP P 1 P 1 P OP 1 1P 2 3 1 OP OP2 OP 1 1 3 2 x1 x2 2 y1 y2 2 1 , OP1 OP2 3 3 3 3
复习
平面向量的坐标运算
若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则
AB ( x2 x1 , y2 y1 ).
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
复习 两个向量共线的充要条件是什么?
设 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 其中 b 0 . a 与 b 共线， 当且仅当存在实数 ，使 a b .
a b a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
第二章23234平面向量共线的坐标表示
解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起 点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
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[活学活用] 已知直角坐标平面上四点 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求 证：四边形 ABCD 是等腰梯形． 证明：由已知得， AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)， CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)． ∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴ AB与CD共线．
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AD＝(－1,2)，BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)， ∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴ AD与BC 不共线． ∴四边形 ABCD 是梯形． ∵ BC ＝(－2,1)， AD＝(－1,2)， ∴|BC |＝ 5＝| AD|，即 BC＝AD. 故四边形 ABCD 是等腰梯形．
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问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？ 提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a. 问题2：以上几组向量中a，b共线吗？ 提示：共线．
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[导入新知] 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论
当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a、b(b≠0) 共线
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解：(1) AB＝(x,1)，CD＝(4，x)． ∵ AB∥CD，∴x2＝4，x＝±2. (2)由已知得 BC ＝(2－2x，x－1)， 当 x＝2 时， BC ＝(－2,1)， AB＝(2,1)， ∴ AB和 BC 不平行，此时 A，B，C，D 不在一条直线上； 当 x＝－2 时， BC ＝(6，－3)， AB＝(－2,1)， ∴ AB∥ BC ，此时 A，B，C 三点共线． 又 AB∥CD，∴A，B，C，D 四点在一条直线上． 综上，当 x＝－2 时，A，B，C，D 四点在一条直线上．