§3.6.2数列应用题(2)
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
数列应用题
1、 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，将受到环保部门的处罚。
第一个月罚款3000元，以后每个月增加2000元。
这种情况下该工厂生产的总收入是生产时间n 的一次函数，生产一个月收入为7万元，生产三个月收入21万元。
如果投资22万元改善环境，该工厂不但不受处罚，而且收入不断增长，近几年总收入是时间n 的二次函数，生产一个月收入10.1万元，两个月20.5万元。
问投资几个月开始见效。
1题解：210.3(1)0.2720.159.95225n n n n s n n n n n T n n S T n =+-⨯-=+-<⇒>2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，与95年相比连续五年的变化情况如下表：时间 96年底 97年底 98年底 99年底 2000年底增加数 0.200 0.4001 0.600 0.7999 1.0001请进行预测，（1）如果不采取任何措施，2001年底，该地区沙漠面积大约多少?(2)若果从2000年底后植树造林，每年改造0.6万公顷沙漠，到那一年底该地区沙漠面积可减少到90万公顷？2题解1795,0.2,96.295(1)0.20.6(60)90,21,2015a d a n n n ===+-⨯--==3、一栋大楼共有21层，每层出一人到某层楼开会。
已知下一层楼的不满意度为1，上一层楼的不满意度为2，问开会地点选几楼较合理。
3题解2(1231)2(12320)343210.7,13322k S k k k k k s =++++-⨯+++++-=-+==4、某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 4题解：因购买住房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{}n a ．则 60%11000501=⨯+=a ，5.59%1)501000(502=⨯-+=a ，59%1)2501000(503=⨯⨯-+=a ，5.58%1)3501000(504=⨯⨯-+=a ， ∴*),201)(1(2160%1)]1(501000[50N n n n n a n ∈≤≤--=⨯--+=． ∴数列{}n a 是以60为首项，21-为公差的等差数列． ∴5.552196010=⨯-=a ，5.5021196020=⨯-=a ， ∴1105)5.5060(1020220120=+⨯=⨯+=a a S ， ∴实际共付12551501105=+（万元）．例1、容器内装有10升纯酒精，倒出1升后用水加满，再倒出1升后用水加满，如此进行下去。
等量递增的原理及应用题
等量递增的原理及应用1. 什么是等量递增等量递增是指在一定条件下，有一个固定的数量在逐步增加，每次增加的量都相同。
这种增量的规律可以用数学公式表示，方便计算和处理。
2. 等量递增的数学表达式等量递增可以用数学表达式a(n) = a(1) + (n-1)d来表示，其中: - a(n)表示第n项的值 - a(1)表示第1项的值 - d表示公差（即每次增加的量） - n表示项数3. 等量递增的示例下面通过几个具体的示例来说明等量递增的原理及应用。
示例1：等差数列等差数列是一种常见的等量递增序列，每一项与前一项的差值都相等。
例如，给定一个等差数列的首项a(1) = 2，公差d = 3，那么这个数列的前5项可以表示为： - 第1项：2 - 第2项：2 + 3 = 5 - 第3项：2 + 3 + 3 = 8 - 第4项：2 + 3 + 3 + 3 = 11 - 第5项：2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14示例2：工资递增假设有一位员工的工资从初始工资a(1) = 2000开始，每年增加固定的金额d = 500，那么这位员工未来5年的工资可以表示为： - 第1年工资：2000 - 第2年工资：2000 + 500 = 2500 - 第3年工资：2000 + 500 + 500 = 3000 - 第4年工资：2000 + 500 + 500 + 500 = 3500 - 第5年工资：2000 + 500 + 500 + 500 + 500 = 4000从以上示例可以看出，等量递增的特点是每次增加的值都相同。
4. 等量递增的应用题应用题1：梯形的面积一个梯形的底边长为a(1) = 5，顶边长为a(n) = 10，高度为h = 8，梯形的面积应如何计算？解答： - 底边的长度等量递增，所以每次增加的量为d = (a(n) - a(1)) / (n - 1) = (10 - 5) / (n - 1) = 5 / (n - 1) - 第1个梯形的底边长度为 5，面积为(5 + 5/ (n - 1)) * h / 2 = 5h / 2 + 5h / (2 * (n - 1)) - 根据等量递增的原理，第2个梯形的底边长度为5 + 5 / (n - 1)，面积为(5 + 5 / (n - 1)+ 5 * 2 / (n - 1)) * h / 2 = 5h / 2 + 5h / (n - 1) + 5h / (n - 1) - 依此类推，将每个梯形的面积相加，得到梯形的总面积。
数列题图型应用题整合
数列题图型应用题整合（2021高职考最后冲刺模拟卷七）（本题10分）如图所示，在矩形ABCD 中，22==AD AB ，连接四条边的中点成一个新的四边形，记其面积为1b ；然后在得到的四边形中，再连接四条边的中点又成一个新的四边形，记其面积为2b ；按此方法依次做下去……(1)求1b 和2b ，记n b 为第n 次()+∈N n 得到的四边形的面积，写出n b 关于n 的表达式（不必证明）；（5分）(2)求经过n 次()+∈N n 后得到的n 个四边形的面积之和.（5分）（2021高职考最后冲刺模拟卷十五）（本题10分）如图，设正三角形ABC 的边长为20cm ，取BC 边的中点E ，作正三角形BDE ；再取边DE 的中点G ，作正三角形DFG ……如此继续下去，可得到一列三角形DFG BDE ABC ∆∆∆,,……记ABC ∆的面积为1a ，BDE ∆的面积为2a ，以此类推.求：(1)第2个和第3个三角形的面积：（4分）(2)前10个三角形的面积之和.（6分）（2021高职考最后冲刺模拟卷十九）（本题10分）谢宾斯基三角形是非常奇妙的一个图形（如图所示），在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形的周长为1a ；在剩下的3个三角形中，再以同样方法，挖去3个三角形，记挖去的3个三角形的周长之和为2a ……重复以上过程，记挖去的13-n 个三角形的周长之和为n a ，并得到数列{}n a .(1)写出321,,a a a 和n a ；（5分）(2)试判断数列{}n a 是否为等比数列，并求出前6项的和.（5分）（2021高职考最后冲刺模拟卷十四）（本题10分）如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，H G F E ,,,是各边的中点；连接H G F E ,,,成为第2个正方形；再取GH FG EF HE ,,,的中点并连成第三个正方形……依次规律进行下去.求：(1)第3个正方形的面积；（5分）(2)依次连成第n 个正方形后，所有正方形的面积之和是多少？（5分）（2021胜券在握考前60天押题卷四）（本题10分）如图所示，在边长为2的正方形中，挖去一个由四边中点所构成的正方形，记挖去的正方形面积为1a ，再以同样的方法挖去第二个正方形，面积记为2a ，重复以上过程，记挖去的第n 个正方形面积为n a ，得到数列{}n a .(1)写出321,,a a a 和n a ；（5分）(2)证明数列{}n a 是等比数列，并求出前n 项和n S .（5分）（2021胜券在握考前60天押题卷十三）（本题10分）如图所示的树形图：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1,；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段，重复前面的作法至第n 层，设题中树形图（从下而上）新生各层高度所构成的数列为{}n a .(1)写出432,,a a a 和n a ；（5分）(2)设第n 层的最高点至水平线的距离为到第n 层的树形的总高度n h ，试求10h .（5分）（2021高职考最后冲刺模拟卷十八）（本题10分）堆垛是经常采用的物品存放方式，常见的有长方垛、四角垛和正三角垛.进行清点时，不可能逐一地去数物品个数，需要根据堆垛的类型进行计算.下面以正三角垛为例，它的每一层都是正三角形（如图），一般地，如果正三角垛共有n 层，假定最顶层只有1个，以下各层的个数依次为21+，321++，4321+++，…，第n 层的物品个数记为n ++++ 321，若第n 层的物品个数记为n a ，求：(1)数列{}n a 的通项公式；（3分）(2)设这个数列的前n 项和公式为()()2161++=n n n S n ，若有一个10层的正三角垛，则它包含物品的个数是多少：（3分）(3)若数列{}n a 满足nn a b 1=，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2021T .（4分）（一线名卷：2021年浙江省单独考试招生文化考试数学模拟试卷十）（本题10分）某设计师以西湖景点“三潭映月”中的石塔为灵感，设计了如下图形.如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AB DB AC 41==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2；对图2中最上方的线段EF 进行相同的操作，得到图3；依次类推，我们就得到了以下一系列图形（图1为第1个图形）.求：(1)第n 个图形的所有线段的条数n a ；（4分）(2)第n 个图形的所有线段长的和n S .（6分）（2021单考单招全真模拟试卷集十八）（本题10分）如图是一块边长为1的正三角形纸板，沿AB 边剪去一块边长为21的正三角形纸板后，得到第一块剩余纸板图（1），其周长记为1P ；然后沿同一边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得到图（2），图（3），…，记图（n ）（第n 块剩余纸板）的周长为n P ，设n n n P P T -=+1.(1)求1P 、2P 、3P，并直接写出数列{}n T 的通项公式；（5分）(2)当以上操作进行8次（即剪掉8个小三角形后），底边AB 还剩多长没被剪下？（5分）（2021胜券在握考前60天押题卷三）（本题10分）如图所示，正方形ABCD 的边长为1，分别取CB CD ,的中点，G E ,作“L 型”多边形ABGFED ，记为1L ，其面积为1S ，以同样的方法，在正方形EFGC 中取CG CE ,的中点，作“L 型”多边形2L ，其面积为2S .以此类推，求：(1)第3个“L 型”的面积；（4分）(2)前n 个“L 型”面积的和.（6分）。
应用题等比数列的求和
应用题等比数列的求和等比数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之比等于同一个常数。
对于等比数列，我们可以使用以下的公式来求和：S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，S表示等比数列的和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
根据这个公式，我们可以很方便地求解等比数列的和。
那么，下面我们来举几个具体的应用问题来讲解如何求解等比数列的求和。
应用题一：小明每天的身高增长的比例是30%，如果他从出生到第30天，身高增长了多少？解析：这个题目可以使用等比数列的求和公式来解决。
首项a为小明的出生身高，公比r为1 + 30% = 1.3，项数n为30。
代入公式，我们可以得到身高增长的总和。
应用题二：某项投资的本金为1000元，每年增加10%，共投资了10年，求最终的总金额是多少？解析：这是一个等比数列的求和问题。
首项a为1000元，公比r为1 + 10% = 1.1，项数n为10。
代入公式，我们可以得到最终的总金额。
应用题三：一只细菌的数量每小时增长50%，从开始繁殖到第6小时，共有多少只细菌？解析：这是一个等比数列的求和问题。
首项a为1只细菌，公比r为1 + 50% = 1.5，项数n为6。
代入公式，我们可以得到细菌的总数量。
通过以上的应用题，我们可以发现等比数列的求和公式非常实用，能够方便地解决各种问题。
在实际应用中，只需要确定好首项、公比和项数，就可以利用公式进行求解。
最后，我们可以总结出等比数列的求和公式是一种非常有用的工具，在数学问题的解决中起到了重要的作用。
通过合理运用这个公式，我们可以轻松地求解等比数列的和，解决各类应用问题。
等比数列应用题
等比数列应用题等比数列在数学中有广泛的应用，常常用来解决各种实际问题。
下面将介绍几个等比数列应用题，通过实例分析来加深对等比数列的理解。
1. 一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度前进，到达目的地需要3小时。
如果汽车以同样的速度前进，但每小时增加10公里的速度，问汽车到达目的地需要多少小时？解析：设汽车到达目的地需要x小时，则根据等比数列的性质可得：60，60+10，60+2*10，...，60+(x-1)*10 是一个等比数列。
由等比数列的通项公式可得：an = a1 * q^(n-1)其中，an 为第n项，a1 为第1项，q 为公比。
因此，60 + (x-1)*10= 60 * 10^(x-1)，解得x=4。
所以汽车以每小时70公里的速度前进时，到达目的地需要4小时。
2. 有一条长为10米的绳子，现要将它分成若干段，使得每一段比前一段多1米，且这些段依次构成等比数列。
问这些段各有多少米？解析：设绳子被分成n段，则根据等比数列的性质可得：n，n+1，n+2，...，n+m 是一个等比数列。
根据等比数列的和公式可得：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn 为前n项和，a1 为第1项，q 为公比。
由题意可知，10 =n * (n+m) / 2，解得n=2，m=3。
所以这条绳子被分成2段，分别为2米和5米。
3. 一支生长在湖中的莲藕，每天长高10厘米，且每次长高的长度构成等比数列。
如果莲藕经过4天长高了60厘米，问这支莲藕的初始高度为多少？解析：设莲藕的初始高度为n厘米，根据等比数列的性质可得：n，nq，nq^2，nq^3 是一个等比数列。
根据等比数列的和公式可得：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn 为前n项和，a1 为第1项，q 为公比。
由题意可知，60 =n * (1 - q^4) / (1 - q)，解得n=10，q=1.5。
初二数学等差数列应用题解析
初二数学等差数列应用题解析初二数学：等差数列应用题解析一、题目分析在初二数学教学中，等差数列是一个非常重要的概念。
掌握了等差数列的概念和应用，能够帮助学生更好地理解和解决数列问题。
下面，我们将通过解析几道初二数学等差数列应用题，来帮助大家更好地理解等差数列的应用。
二、等差数列的定义与性质回顾在开始解析具体的应用题之前，先回顾一下等差数列的定义和性质：等差数列是指数列中相邻两项的差恒定。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d等差数列的性质包括：公差d固定，任意两项之和等于其前一项与后一项的和，等差数列的前n项和公式等。
三、应用题解析1. 题目：一个等差数列的首项是5，公差是2，前n项和为105。
求这个等差数列的前n项。
解析：根据题意，已知等差数列的首项a1=5，公差d=2，前n项和Sn=105，需要求解这个等差数列的前n项。
根据等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)将已知的数值代入公式，得到：105 = (n/2)(2*5 + (n - 1)*2)化简公式，得到二次方程：(n/2)(10 + 2n - 2) = 105(n/2)(2n + 8) = 105(n^2 + 4n) = 210n^2 + 4n - 210 = 0解这个二次方程，可以得到n的值。
通过计算，我们得到的正数解为n=14。
所以，这个等差数列的前14项为5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31。
2. 题目：一个等差数列的首项是3，公差是4，已知这个等差数列的第5项是19，求这个等差数列的第n项。
解析：根据题意，已知等差数列的首项a1=3，公差d=4，第5项an=19，需要求解这个等差数列的第n项。
根据等差数列的通项公式：an = a1 + (n - 1)d将已知的数值代入公式，得到：19 = 3 + (5 - 1)*419 = 3 + 4*419 = 3 + 1619 = 19通过计算可得，当n=5时，这个等差数列的第5项是19。
数列高考题选讲(2节)
D、 Y Y X X Z X
三、利用an与Sn 解题
（2010 安徽文数）(5)设数列 {an } 的前 n 项和
Sn n2 ，则 a8 的值为
（A） 15
(B)
16
(C)
49
（D）64
（2010 全国卷 2 理数） （18） （本小题满分 12 分） 2 n S ( n n ) 3 a n 已知数列 n 的前 项和 n ． （Ⅰ）求 an
（2010 湖北文数）7.已知等比数列{ am }中，
1 a3 , 2a2 a 各项都是正数， 且 1， 成等差数列， 2
a9 a10 则 a7 a8A. 1 2源自B.1 2C.
3 2 2
D3 2
2
（2010 浙江理数） （3）设 Sn 为等比数列 an 的 前 n 项和， 8a2 a5 （A）11 （B）5
n1
(q 0, n N ) ， 求
*
七、数列综合题型
1、与函数相结合 2、与不等式相结合 3、与导数相结合 4、与数学归纳法相结合
5、与解析几何相结合
（2010 江苏卷）19、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为
Sn ， 已知 2a2 a1 a3 ， 数列 Sn 是公差为 d
（2010 江苏卷）19、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为
Sn ， 已知 2a2 a1 a3 ， 数列 Sn 是公差为 d
的
等差数列。
（ 1） 求数列 an 的通项公式 （用 n, d 表示） ；
四.证明数列为等差、等比数列
（2010 天津文数） （22） （本小题满分 14 分） 在 数 列 a n 中 ， a 1 =0 ， 且 对 任 意 k N ，
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一．课题：数列综合应用（二）——分期付款中的有关计算
二．教学目标：1. 理解分期付款中的有关规定；
2．掌握奋起付款中的有关计算；
3．会应用分期付款的原理解决现实生活中类似于分期付款的问题。
三．教学过程：
例1. 王老师购买一套售价为26万元的商品房，购买时，先一次性付款18万元，余下的8万元欠款按分期付款的方式在五年内付清，销售商提出如下表所示的三种付款方案，供王老师选择，请你帮王老师填写下表。
（注：分期付款中的规定：（1）每期所付款额相同；（2）月利率为0.3%，每月利息按复利计算；（3）每期所付款额会随着时间的推移而不断增值，商品售价在货款付清前也会随着时间的推移而不断增值；（4）各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。
）
思考1：如果王老师把方案3中每月支付的数额按零存整取的方式每月到银行存款，存满一年（共存12次）后将本息全部取出，再按方案1支付房款，这样是否更省钱？（已知1年期零存整取存款的月利率是0.1%，不计复利）
思考2.观察上面3个方案中的x的表达式，它们有什么共同特点和不同之处？你能发现其中的一般规律吗？
思考4.购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数x的计算公式是什么？
四.课后作业：班级学号姓名
1. 某人从1990年初向银行贷款10万元用于购房，贷款的年利率为10%，并按复利计算，若这笔贷款分20年从1991年初开始归还，求每年归还的款项。
2. 张明的父母为他将来上大学准备学费，从他出生的那年起，每年8月底到银行存入一定数额的人民币。
若张明18岁高中毕业考入大学，这年起不再存款，并且从这年起，每年9月1日取出a元支付学费。
为满足四年大学学费，问张明的父母每年至少应存入多少元？（设银行利率保持不变）。
如果张明上大学每年需要1.5万元，银行利率问10%（复利），那么张明的父母每年应为张明存入多少元，才能保证张明有足够的钱交学费？
3. 随着人们日常生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的
标准在飞速发展，为此各种花园住宅小区在全国各处涌现，现有某市一住宅小区出售面积为150平方米，售价为每平方米4000元的住房。
若一次性将房款全部付清，可降低10%，若无力一次性付款，可先付房款的30%，即刻入住，剩余房款在15年内分三次等额付清，年利率为1.2%，求每次付款多少元？总共付款多少元？比售价高出多少元？比一次性付款多付多少元？。