最新人教版初中初三九年级数学上册初三数学-上学期期末复习

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2023部编人教版九年级数学上册总复习知识点梳理

2023部编人教版九年级数学上册总复习
知识点梳理
本文档对2023年部编人教版九年级数学上册的知识点进行总复梳理，旨在帮助学生系统地回顾和巩固所学的数学知识。

一、有理数与整式
1. 整式的概念及运算法则
2. 有理数的概念及表示法
3. 有理数的大小比较
4. 有理数的加减运算
5. 有理数的乘除运算
二、线性方程与一元一次不等式
1. 一元一次方程与一元一次不等式的概念与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式的解集求解方法
三、几何图形的认识
1. 二维图形的基本概念
2. 三角形的分类及性质
3. 四边形的分类及性质
4. 三角形和四边形的周长与面积计算
四、函数的概念与性质
1. 实数及其分类
2. 函数的概念与表示法
3. 函数图像与函数的性质
4. 函数关系的建立与应用
五、数据的收集、整理与分析
1. 数据的收集与整理方法
2. 统计图表的绘制与分析
3. 概率的基本概念与计算方法
六、三视图与解题方法
1. 空间几何体的认识
2. 三视图的基本概念与表示法
3. 解题的基本方法与策略
七、复与巩固
1. 各单元的重点与难点概述
2. 典型例题的练与思考
3. 重要知识点的总结与总复
4. 模拟测试与综合训练
通过本文档的复习知识点梳理，希望能够帮助学生对2023年
部编人教版九年级数学上册的知识有一个系统、全面的复习与巩固，为学生在数学学习中取得更好的成绩提供帮助。

人教版九年级上册数学复习资料

九年级上册考点第一章一元二次方程1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。

一元二次方程的解就叫一元二次方程的根。

2、一元二次方程的一般形式：a 2x+bx+c=0(a 、b 、c 分别为二次项系数；一次项系数；常数项)3、三种解一元二次方程的方法： (1)、配方法例：2x 2+1=3x(解法在课本P7) (2)、公式法求根公式：x =−b±√b 2−4ac2a;判别式公式：△=b 2−4ac（3）、因式分解法（包括：提公因式法；完全平方公式及平方差公式法；十字相乘法）例：3x 2+6x=0; x 2-4x+4=0; 9X 2-1=0; X 2-5X+6=0 解:3x(x+2)=0 解:（x-2）2=0 解:(3x-1)(3x+1)=0 解:(x+2)(x-3)=0 x 1=0;x 2=-2 x 1=x 2=2 x 1=x =13;x 2=−13 x 1=-2;x 2=3 4、韦达定理如果方程a 2x+bx+c=0有两根：x 1与x 2，那么x 1+x 2=−ba ;x 1.x 2=ca 5、用一元二次方程解实际问题（应用题）步骤：1、根据题意设未知数（x ）;2、根据题中数量关系列一元二次方程；3、解方程（不符合题意的解舍去）；4、做答第二章二次函数知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象y ax c与性质：上加下减（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数图象的画法 ①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：③ 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+y 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故如果0=c ，抛物线经过原点；如果0>c ,与y 轴交于正半轴；如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个相等实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.第三章旋转知识点一旋转的概念1.旋转的定义：把一个图形绕着某一O 转动一个角度的图形变换叫做旋转点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点 .重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等3.作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角作图的步骤：1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；第一章 (4)连接所得到的各对应点.知识点二、中心对称与中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2.中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4.中心对称和中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系①指一个图形本身成中心对称②对称中心不定②对称中心是图形自身或内部的点联系：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．5. 关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即P(x,y)关于原点的对称点Q(-x,-y)的坐标为，反之也成立知识点三、平移、轴对称、旋转1.平移、旋转、轴对称之间的对比三、规律方法指导1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：(1)先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；(2)在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；(3)利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：(1)实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；(2)类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；(3)理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识第四章圆考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

初三上学期期末数学复习重点

初三上学期期末数学复习重点一、有理数1. 整数、自然数、正整数、负整数、零的概念及表示方法- 整数的定义：包括正整数、负整数和零- 自然数的定义：正整数，不包括零和负整数- 整数的表示方法：可以用数轴、数线图或数字表示2. 有理数的概念及性质- 有理数的定义：可以表示为两个整数的比例或分数形式的数- 有理数的性质：可比较大小，可以进行四则运算（加、减、乘、除）3. 数轴上有理数的表示及排序- 数轴上有理数的表示：将有理数与数轴上的点一一对应- 有理数的排序：通过比较数轴上的位置来确定大小关系4. 有理数的加减法- 有理数的加法：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值决定 - 有理数的减法：减去一个数，相当于加上其相反数5. 有理数的乘除法- 有理数的乘法：符号相同的两数相乘，结果为正；符号不同的两数相乘，结果为负- 有理数的除法：除以一个非零数，相当于乘以其倒数；除以零没有意义二、代数式与方程1. 代数式的概念及运算- 代数式的定义：由数、字母和运算符号组成的式子- 代数式的运算：加法、减法、乘法、除法、指数运算等2. 方程的概念及性质- 方程的定义：含有未知数的等式- 方程的性质：可以有一个或多个解，也可能没有解3. 一元一次方程- 一元一次方程的定义：指未知数的最高次数为一次的方程- 解一元一次方程的方法：可用逆运算、消元法或代入法来求解4. 一元一次方程的应用- 一元一次方程的应用问题：如年龄、速度、距离等问题三、几何1. 平面图形的分类及性质- 三角形：根据边长、角度分类（等边三角形、等腰三角形等） - 四边形：根据边长、角度分类（矩形、正方形等）- 圆：直径、弧长、圆周角的关系2. 相似三角形- 相似三角形的定义：三角形对应角相等，对应边成比例- 相似三角形的判定：AAA判定、AA判定、SSS判定3. 三角形与平行线的性质- 平行线的定义及性质：同位角相等、内错角相等等- 三角形对应角与平行线的关系：内错角、同位角4. 三角形的面积计算- 三角形面积的计算公式：底乘以高的一半- 应用问题：如广场、菱形、三角形等的面积计算以上为初三上学期数学复习的重点内容，希望同学们能够将这些知识理解清楚，掌握好相关的运算方法和解题技巧。

人教版数学九年级上册期末复习知识点 (11)

第5讲二次函数（三）3．二次函数与几何综合【随堂练习】1．（2020•碑林区校级模拟）如图，抛物线L 1：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0），OB ＝OC ＝3OA ．若抛物线L 2与抛物线L 1关于直线x ＝2对称．（1）求抛物线L 1与抛物线L 2的解析式：（2）在抛物线L 1上是否存在一点P ，在抛物线L 2上是否存在一点Q ，使得以BC 为边，且以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵A （﹣1，0）∴OB ＝OC ＝3OA ＝3∴B （3，0），C （0，3）∵抛物线L 1：y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ∴ 解得：∴抛物线L 1的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3＝（﹣x 1﹣）2+4∴抛物线L 1的顶点D （1，4）∵抛物线L 2与抛物线L 1关于直线x ＝2对称∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L 2的顶点D '与点D 关于直线x ＝2对称∴D '（3，4）∴抛物线L 2的解析式为y ＝（﹣x 3﹣）2+4（2）存在满足条件的P 、Q ，使得以BC 为边且以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．设抛物线L 1上的P （t ，﹣t 2+2t +3）①若四边形BCPQ 为平行四边形，如图1，∴BQ ∥PC ，BQ ＝PC∴BQ 可看作是CP 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的∴Q （t +3，﹣t 2+2t ）∵点Q 在抛物线L 2上∴﹣t 2+2t ＝（﹣t +33﹣）2+4解得：t ＝2∴P （2，3），Q （5，0）②若四边形BCQP 为平行四边形，如图2，∴BP ∥CQ ，BP ＝CQ∴CQ 可看作是BP 向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的∴Q （t 3﹣，﹣t 2+2t +6）∴﹣t 2+2t +6＝（﹣t 33﹣﹣）2+4解得：t ＝∴P （，﹣），Q （，﹣）综上所述，存在P （2，3），Q （5，0）或P （，﹣），Q （，﹣），使得以BC 为边且以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．。

新人教版九年级数学上学期期末复习知识点填空(最佳、最优、最全、最有效)

期末复习重点学问点：一、一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是次的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）干脆开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用干脆开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤假如是非负数，即0n ≥，就可以用干脆开平方求出方程的解.假如n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式ax 2+bx +c =0;2.确定系数:用a ,b ,c 写出各项系数;3.计算: b 2-4ac 的值;4.推断：若b 2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b 2-4ac <0，则方程没有实数根.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=x . （2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）ac b 42-≥0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 同时：若α、β为一元二次方程0132=++x x 的两个实数根，则有01α3α2=++ 与01β3β2=++ 5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。

人教版初中九年级数学上册数学期末总复习(全面)精品课件

2
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2，则：x1 x2 p, x1 x2 q
（1）确定对称中心；（2）确定关键点；（3）作关键点的关于对称中心的对称点；（4）连结各点，得到所需图形.
7、关于原点对称的点的坐标：
（ -a,-b）（a，b）关于原点的对称点是 ______
例、点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是；点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转 90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
.
4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，c= .
二、选择 2 1、若方程x m x n 0 中有一个根为零，另一个根非零，则m, n 的值为 ( ) A m 0, n 0 B m 0, n 0 C m 0, n 0 D mn 0
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

新人教版九年级上册数学期末复习资料知识点归纳

新人教版九年级上册数学期末复习资料知识点归纳二次根式1.二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子。

1）下列哪些式子是二次根式？① $m^2+1$。

② $3-8$。

③ $x-1$。

④ $5$。

⑤ $\pi$2）当 $x$ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？2.最简二次根式最简二次根式是指同时满足以下两个条件的二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。

1）下列哪些式子是最简的二次根式？8y^2x^2+1$。

422）若 $18-n$ 是整数，求自然数 $n$ 的值。

3）若 $24n$ 是整数，求正整数 $n$ 的最小值。

3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。

1）若 $\sqrt{a+4\sqrt{3}b-1}$ 和 $\sqrt{a+4}$ 是同类二次根式，则 $a=\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_$。

2）若 $\sqrt{3x-1}$ 和 $\frac{x}{\sqrt{3}}$ 是同类二次根式，则 $x=\_\_\_\_$。

4.二次根式的性质① $(\sqrt{a})^2=a$ （$a\geq 0$）；② $\sqrt{a^2}=|a|$，即当 $a\geq 0$ 时，$\sqrt{a^2}=a$，当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a$。

1）化简 $x-1+1-x=$ ______。

2）若 $a<0$，化简 $a-3-a^2=$ ______。

3）要使 $3-x+\frac{1}{2x-1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

5.二次根式的运算① $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ （$a\geq 0$，$b\geq 0$）；② $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ （$a\geq 0$，$b>0$）。

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3、关于x的方程()0212=++-mmxxm有实数根，则m的取值围是知识点8．韦达定理1212,b cx x x xa a+=-=(a≠0, Δ=b2-4ac≥0)使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0∆≥1、已知方程25x mx6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。

2、已知22x4x30+-=的两根是x1,x2，利用根于系数的关系求下列各式的值1211x x+2212x x+12(1)(1)x x++212()x x-3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+14m2－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．知识点9．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题（单循环问题）4、贺卡问题（双循环问题）5、围栏问题6、几何图形（道路、做水箱）7、增长率、折旧、降价率问题8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）9、数字问题10、折扣问题旋转知识点1．旋转：在平面，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度1、如图，D是等腰Rt△ABC一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为，旋转角度为度（2）△AD D′的形状是。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是度知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；1、如图，9030AOB B∠=∠=°，°，A OB''△可以看作是由AOB△绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A'在AB上。

人教版九年级数学上册期末总复习

解题突破根据一元二次方程根的情况构建不等式求解.
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴20－8k>0, ∴k<52. (2)∵k 为正整数， ∴0<k<52且 k 为整数，即 k 为 1 或 2. 解方程得 x＝－1± 5－2k.又∵方程的根为整数， ∴5－2k 为完全平方数．当 k＝1 时， 5－2k＝3，3 不是完全平方数，不符合题意，舍去；当 k＝2 时， 5－2k＝1，符合题意．故 k＝2.
例17 已知二次函数y=(x+1)(x-m)的图像的对称轴在y轴的右侧, 则实数m的取值范围是___m__>_1____.
解题突破依据抛物线的对称轴公式与对称轴的位置构建不等式进行求解．解析 ∵y＝(x＋1)(x－m)＝x2＋(1－m)x－m,
1－m m－1 ∴它的对称轴为直线 x＝－ 2 ＝ 2 . 又∵对称轴在 y 轴的右侧， ∴m－2 1>0, 即 m>1.
例4 已知x=1是一元二次方程x2＋mx＋n=0的一个根, 则m2 ＋2mn ＋n2 的值为__1__.
解题突破将方程的根代入原方程, 并结合完全平方公式求解.
解析依题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋n＝0, 得1＋m＋n＝0, 则m＋n ＝－1, 故 m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝(－1)2＝1.故答案为1.
考点二一元二次方程的解法
例5 一元二次方程x(x-2)＝2-x的根是( D ).
A．x=-1
B．x=0
C．x1=1,x2=2
D．x1=-1, x2=2
解题突破将方程的一边化为0后, 另一边能分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程用因式分解法解较简便.

人教版九年级上册数学知识点汇总

作为资深教师，整理人教版九年级上册数学知识点汇总如下：一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式为：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

2. 解法•配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程。

步骤包括：移项、除二次项系数、配方、开平方。

•公式法：利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)（当b² - 4ac ≥ 0时）求解。

•因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解为两个一次因式的积，从而转化为求解两个一元一次方程。

3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -p，x₁x₂ = q。

二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审：读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。

•设：设出未知数。

•列：列出方程，这是关键步骤，需找出能够表达应用题全部含义的相等关系，并列出含有未知数的等式。

•解：解方程，求出未知数的值。

•验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

•答：写出答案。

2. 常见类型•数字问题：如三个连续整数、连续偶数（奇数）的表示。

•增长率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。

•利润问题：常用关系式有总利润=总销售价-总成本，或总利润=单位利润×总销售量，或利润=成本×利润率。

•图形的面积问题：根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

三、二次函数1. 定义•一般地，形如y = ax² + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

人教版九年级数学上册期末考试总复习提纲

人教版九年级数学上册期末考试总复习提纲同学们在学习数学的过程中，会认为只要会做题既可以了，其实你在平时还要做好复习提纲，下面小编给大家分享一些人教版九年级数学上册复习提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读人教版九年级数学上册复习提纲一、相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用.考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数(4个考点)考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义.考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.注意：(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念(6个考点)考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点18：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19：画正三、四、六边形.考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.数学学习方法1、基础很重要是不是感觉数学都能考满分的同学，连书都不用看，其实数学学霸更重视基础。

人教版数学九年级上册期末复习知识点 (14)

第5讲二次函数（三）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.1.列二次函数关系【例题精选】例1（2019•开远市一模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式．【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围；（2）根据总利润＝销量×每件利润可得出利润的表达式．【解答】解：（1）设每件涨价x元由题意得，每星期的销量为y＝15010﹣x＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x为整数）；（2）设每星期的利润为W元，﹣x）＝﹣10x2+50x+1500．W＝（x+4030﹣）×（15010【点评】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式．【随堂练习】1.（2019秋岑溪市期中）小李家用•40m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图．（1）写出这块菜园的面积y（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式；（2）直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为x，﹣x，∴平行于墙的边长为402﹣x），∴y＝x（402即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x；（2）由题意，得，解得0＜x＜20．。

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二次根式专题知识点1a ≥0)叫做二次根式．1、下列各式 ①－12+m ②38- ③1-x ④5 ⑤π 是二次根式的是2、x 为怎么样的值时,下列各式在实数范围内有意义知识点 2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不含根号)；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是：①28y③a ④7.1⑤34⑥3722、（1,求自然数n 的值是n 的最小值是知识点3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式． 1、若aa =b =2与,则x = 知识点4．二次根式的性质2=a(a ≥0）0(0)a ≥≥│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；1、化简x x -+-11= ______．2、若a <0，化简3______.a -=3、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是4、若,x y 为实数,且20x +=，则2010()x y +的值为___________．52n =-，求n 的取值范围知识点5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．1、已知：2a =2b =a bb a-的值 2、a b ==则a b知识点6．二次根式的运算≥0,b ≥0);=b ≥0，a>0）．1、÷ 2、23、4、)12131(12-÷一元二次方程知识点1．一元二次方程的判断标准：（1)方程是整式方程（2）只有一个未知数—-（一元）(3）未知数的最高次数是2——（二次）三个条件同时满足的方程就是一元二次方程1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=1x；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2—1．一元二次方程的个数是 .2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k是一元二次方程,则k 的取值范围是_________．4、若方程（m —1）x |m|+1—2x=4是一元二次方程，则m=______．知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理,都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠，2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数,c 为常数项。

初三数学期末复习资料上册

初三数学期末复习资料上册初三数学期末复习资料上册数学是一门需要不断探索和实践的学科，而初三的数学学习更是至关重要。

随着期末考试的临近，复习资料成为了同学们备考的重要依据。

本文将为大家整理一份初三数学期末复习资料上册，希望能够帮助同学们更好地备考。

一、代数与函数代数与函数是初中数学的基础部分，也是初三数学的重点内容之一。

在代数与函数的学习中，同学们需要掌握解一元一次方程、一元一次不等式等基本的代数运算规则。

此外，还需要熟练掌握函数的概念和性质，包括函数的定义域、值域、图像等。

在解一元一次方程的过程中，同学们需要掌握如何利用加减消元法、代入法等解题方法。

而对于一元一次不等式的解法，则需要注意不等号的方向和不等式的性质，灵活运用加减乘除法则进行推导。

二、平面几何平面几何是初中数学中比较直观的一部分，也是初三数学的重点和难点之一。

在平面几何的学习中，同学们需要掌握各种图形的性质和计算方法，包括直角三角形、相似三角形、平行四边形等。

对于直角三角形的学习，同学们需要掌握勾股定理和正弦定理、余弦定理等基本的三角函数公式。

同时，还需要熟练运用这些公式解决实际问题，如求解船的航向和距离等。

三、立体几何立体几何是数学中的一门重要分支，也是初三数学的难点之一。

在立体几何的学习中，同学们需要掌握各种立体图形的性质和计算方法，包括长方体、正方体、圆柱体等。

对于长方体和正方体的学习，同学们需要掌握计算体积和表面积的方法。

而对于圆柱体的学习，则需要掌握计算侧面积、底面积和体积的公式，并能够将这些知识应用到实际问题中。

四、数据与统计数据与统计是数学中的一门实用学科，也是初三数学的重点内容之一。

在数据与统计的学习中，同学们需要掌握如何收集、整理和分析数据，以及如何利用统计方法进行推断和预测。

在数据的收集和整理过程中，同学们需要学会制作表格、图表和统计图等。

而在数据的分析和推断过程中，则需要掌握如何计算平均数、中位数、众数等统计指标，并能够解读这些指标的意义。

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